Л.Н. Сретенский - Теория волновых движений жидкости (1163302), страница 111
Текст из файла (страница 111)
Отсюда вытекает, что функция ср (р) есть функция, ограниченная в круге ~ р ~ = 1. К уравнениям (6) и (7) должны быть присоединены граничные условия. Прежде всего, будем требовать, чтобы скорости и, Р стремились к нулю при погружении на бесконечную глубину или, что то ясе, при стремлении р к нулю. Затем, должно удовлетворяться условие постоянства давления вдоль свободной поверхности жидкости: — [с' ((1 )- и)' + Р')) + ду~ = сопз1. Проднфференцируем это условие по переменному х, получим после небольших преобразований (9) где ЕХ 2иси (10) Для интегрирования системы уравнений (6), (7) применим метод малого параметра.
Обратимся к заданию функции ср (р); будем считать, что эта функция есть степенной ряд, расположенный по степеням некоторого малого параметра е, сходящийся для малых значений е и для всех р внутри круга ~ р ~ =- 1: р(р) = Х з"р.(р). (11) иат Приняв это, будем искать решение уравнений (6) и (7), удовлетворяющее условию (9), в виде степенных рядов по параметру е. 740 гл.
у. твогия ВОлн конечнОИ Амплитуды ПОЛОН1ИМ и и = ~ епип(р, а), и = ~ спи (р, а); п=1 и=-1 (12) представим величину Р также з виде степенного ряда: Р = Рэ + Х Рпе . (19) Функции и„(р, а), г„(р, а) и числа Р„нвляются искомыми и будут получены подстановкой рядов (12) и (13) в уравнения (б), (7), (9) и сравнением коэффициентов при различных степенях е. Сравнение коэффициентов при первых степенях е дает систему уравнений — — — — =О, — + — — =р (р) ди1 1 ди1 ди1 1 ди„ др р да ' др ' р да (14) ( — „"' — рэи1) =- О. (15) Сравнение коэффициентов при п-й степени е приводит к такой системе уравнений: ди„1 дип ди 1 дг —," — — —" = Р„, —" + — —" = ~„+ 1р„(16) др р ди п| дп р да и п~ (17) где приняты такие обозначения: дип „) Оп= и — 1 В„= ~~~1 '(рэи„1 — (2и„„" ' +- и " и )— и=-1 ~ =- р соз а, 1) = р е1п а. Решим систему уравнений (14).
Введем временно вместо и, новую функцию и, ==. и, — 1р1 и перепишем эти уравнения, заменяя р и а на новые независимые переменные з и 11, вводимые по формулам 2 22. ВОЛНЫ НА ПОВЕРХНОСТИ ОДНОРОДНОЙ ЖИДКОСТИ 744 В новых переменных система уравнений (14) запишется так: дг1 ди д21 ди1 — — — =О, — + ., =О. дЦ дл ' дч д~ Следовательно, Р, + 2и, есть функция комплексного переменного ~=~+ нр Рг + ~и, -= Я ( Ь). Граничное условие (15) может быть представлено так: Ве(ь — — рю7 = О.
дй (18) Отсюда вытекает, что па окружности ~ ~ ~ = 1 имеет место равен- ство ах ь — — рг'= а~, дь (19) где а — действительное число. Принимая теперь во внимание, что функция х' (~) голоморфна внутри единичного круга, выводим, что равенство (19) соблюдается не только для ) ~ ~ — 1, но и для всех значений ь внутри круга ~ ь ~ ~( 1. Следовательно, (19) есть дифференциальное уравнение для определения функции г' (Ь).
Интегрируя это .уравнение, получаем г = — — "+Ср. Рз (20) Отсюда следует, что число рэ должно быть положительным целым числом; действительно, только при таком значении р, функция х (Ь) будет голоморфной однозначной, функцией переменного Ь. Полагая в равенстве (20) ь == О, находим в согласии с определением функции 2 (ь), что л2 — — =Рг(х, )+1аг(х,- ). Ро Но правая часть этого равенства обращается в нуль согласно формулам (4). Следовательно, а = О, и поэтому с = Сьг*. В вершине волны э, =- 0 и Я =- 1и, (О, 0).
Отсюда следует, что константа интегрирования С есть чисто Определим константу С. Начало координат плоскости течения совпадает с вершиной волны; для вершины волны х .—.= 0 и, следовательно, а = О, р = 1, ~ = 1, ц —.= О, ~ =- 1. 742 ГЛ. У. ТЕОРИЯ ВОЛН КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ мнимое число й,; таким образом, выражение функции 2 будет я = й,~р. Отметим, что Р, можно принять равным единице без ущерба в полноте решения задачи.
Действительно, если целое число ро будет больше единицы, то на круге ~ р ~ ~. 1 будет укладываться не одна волна, а р, волн. Но так как достаточно исследовать одну волну, то можно принять ро — -- 1. Поэтому окончательное выражение функции Я будет г = )й,~. Составим на основании этой функции соответствующие ей выражения и, и Р,: и, <Р) (р) + й, р сов и, и) = — й,р в)п и. (21) Пользуясь найденными значениями функций и, и и„можно затем составить и решить уравнения (16) для всех значений и ) 1.
Решая последовательно эти уравнения, можно удостовериться, что функции Р„б)„и Л„имеют следующие выражения: Р„=- ~ Р~ )(р)вшта, (),„= ~ ()~,)(р)совта, Я1=-1 ы=о о (Л„)р., — — ~~ г вшта, чч ш) где Р ) (р), ()' ) (р) — некоторые функции переменного р, величины г — некоторые числа. ш) В согласии с этими значениями функций Р„и ()„будем искать функции и„и го в таком виде: и о и„= ~) и'")(р)совта, Р„= ~ и'")(р)в)пта. Подставляя эти выражения функций и„и го в уравнения (16), находим прежде всего р ио" = ср, + ~ (),") (г) Й о и затем систему уравнений для определения й (р), и (р) с индексом т )~ 1: ш) НР Р (22) со) Нищ т со) Ш) + ит — ()т оР Р ) 22. ВОлны нА пОВВРхяости ОднОРОднои жидкости 743 )( этим уравнениям должны быть присоединены условия, вытекающие из соотношения (17), и требования обращения в пуль и(„") н й ) для р = — О.
Эти условия запишутся так: й"'(0) =- РОО (0) =- О. Общее решение уравнений (22) будет ( ~ ( и ) + С ( и ) ) + и ( и ( и ) + К ( и ) ) — т (1(п) + С(п)) т (у(п) + К(п)) (24) где У и 1 имеют следующие выражения: (п) (п) 1 у,' =- —,' ~( й'()-ой'(и — '", Г Р У~ )= — ~(Р~~)(г) -, '()~ )(г)) г ((г. о 'и) (и) Величины С и К вЂ” произвольные постоянные интегрирования. Для их определения служат условия (23).
Эти условия показывают, что для всех значений индекса т постоянная С~ равна нулю; что же касается постоянной К("', то для ее определения устанавливается уравнение (т — 1) К'"' + г'"' + (т + 1) 1('"'' (1) = О. (25) Из этого уравнения могут быть определены все константы К (и) у которых индекс т отличен от единицы. Для )и =- 1 уравнение (25) приводит к соотноп)ению г("' + 22(ю (1) — -- О. рсоза и — рз)па.
(26) Принимая во внимание строение функции Л„, можно установить, что это соотношение содержит все числа р„р„..., р„, н число р„с коэффициентом, отличным от нуля. Следовательно, определив числа р„р„..., р„„, получаем возможность найти число р„. Коэффициент К("' остается произвольным и вносит с собой в выражения функций ип и пп слагаемые К) р соз а 2~2) р з)п а (и) (и) Собирая в рядах и и и такие слагаемые вместе, получаем в выражениях функций и, Р члены, изображаемые степенным рядом по е с множителями ГЛ.
У. ТЕОРИЯ ВОЛН КОНЕЧНОЙ АМПЛНТУДЫ 744 Предположим, что при 1 =- О некоторая частица жидкости, при- надлежащая ее поверхности, находится на вершине волны, т. е. в точке х = — О, у = О. Интегрируя предыдущие уравнения при этих условиях, получаем параметрические уравнения волны 72я х = с1+ х ~ор,(1) сг+ — юп — с1)~, у = — — ~1 — соя ~ — сг)1. (28) Введем вместо з новый параметр х, равный указанному степенно- му ряду; тем самым, функции (26), вводимые интегрированием уравнений (14), будут сопровождаться лишь первой степенью нового параметра х. Подробное рассмотрение функций (24) показывает, что, не- смотря на присутствие множителя р, функции (24) имеют ко- нечные значения при р -- О.
Таким путем строятся все коэффициенты рядов (12) и соотно- шения (13). Большую часть исследования Гуйона занимает доказательство сходимости рядов (12) и (13), проводимое в предположении, что ряд (11) сходится для достаточно малых значений а равномерно в круге ~ р ~ (1. Этого доказательства мы здесь приводить не будем, отсылая читателя к статье (104] автора исследования. Приведем выражения функций и, с, р, учитывающие лишь первые два члена соответствующих рядов: и = Х(ор, + рсоа а) + Х'~фо — 2 (О'+ о о Ыр 2С ~ 7 — (р<р, + р ~ гр, — — — ~ рг ч др ~ соя а — — р' соя 2а1 + ..., р р э ' ) 2 о о с= — хряша+ + хо [( — (ир„+ р ~ гр, — Р + — ~ рор,йр) яш а+ ~ ро я1п 2а1 + ..., (27) 1 р = 1 + 4х~ р<р, (р) Нр+...
о Составим на основе двух последних формул и формул (4) уравне- ние свободной поверхности жидкости, учитывая лишь первую степень параметра х. Имеем Нх 7у ои — = с(1+ и), —. = — си, оп или приближенно 1 ох $ оу . 2я — — = 1 + х (<рг + соя а), — — = — х яш а, а = — х. о сп Ю 1 Мь КАПИЛЛЯРНО-ГРАВИТАЦИОННЫЕ ВОЛНЫ Значение х = Л/2, отвечающее нижней точке долины волны, соответствует времени 1, равному Х!(2с); отсюда ордината волны в нижней точке будет — Лх7л и, следовательно, амплитуда а волны будет равна Лх а= —, 2а Более полное значение амплитуды будет а = — ~х — х' ~ ( — + 2р) 1р„(р) ар1 . О Формула (27) дает связь между скоростью потока с, параметром х и функцией, определяющей вихрь жидкости: 1 с' = 2 2~1 — 4х~р10,(р)др~.
о Формулы (28) показывают, что волна симметрична относительно вертикали своего гребня; это свойство может быть установлено также и из полных рядов (12), решающих задачу в точной форме. Все предыдущие формулы дают, как частный случай, теорию волн конечной амплитуды на поверхности потенциального потока. Упомянем один неожиданный факт, полученный Гуйоном из доказательства сходимости рядов. Ставя вопрос об оценке минимального значения радиуса круга сходимости построенных рядов в задаче о волнах потенциального потока, Гуйон нашел, что построенные ряды будут безусловно сходиться, если амплитуда волны не будет превышать весьма малого значения л 2я 2000 В заключение отметим, что надлежащим изменением приемов доказательств и вычислений Гуйоп определил периодические волны конечной высоты на поверхности завихренной жидкости конечной глубины.
5 23. Капиллярио-гравитационные волны конечной амплитуды В з 62 гл. 1 были исследованы установившиеся капкллярногравитационпые волны малой амплитуды,при этом было установлено, что для целого ряда значений скорости потока существует два разных вида установившихся периодических волн, длины которых соизмеримы ме1кду собой. Эта особенность капиллярногравитационных волн приводит к интересным и неожиданным фактам в теории этих волн при учете конечной кх амплитуды. ГЛ.У. ТЕОРИЯ ВОЛН КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ 746 Поэтому мы и посвящаем нелинейной теории капиллярно-гравитационных волн несколько параграфов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
