Л.Н. Сретенский - Теория волновых движений жидкости (1163302), страница 114
Текст из файла (страница 114)
тз 4 2 (8) Отсюда получаем функции э)2 (и): )2)и)т ЙА2 и — — 2и— дит Ыи дифференциальное уравнение для определения + 2э)2 + ( — Ь вЂ” т)тф' 2) и + (3 — 2 $) 2 Ьт)1) ит + — Ьит+ ЗЬ'и' = т. (5) 758 ГЛ. Ч. ТЕОРИЯ ВОЛН КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ Обратимся теперь к уравнениям (7) . Так как число Ь отлично от нуля, то уравнениям (7) можно придать такой вид: — Ь' — ~/26т1т = О, 3 — 2 )Г26Н, = О.
Отсюда вытекает, что 62=1, Ьтн= 3 2 г'2 Коли Ь принять равным 1, то будем иметь = (Ь =- 1); 3 2т2 (9) если же Ь принять равным — 1, то будем иметь 3 н, = - = (Ь = -1). 2 У'г (10) (и) 0~ = — — Ьяп30 — — яп40+ и яп 20. 13 4 Перейдем теперь к составлению наиболее сложного уравнения (19) 3 23. Пользуясь значениями функций (4) и (11), ваписываем уравнение (19) 3 23 так: — +3 30 — 20з+(3 — 2 и+26и+ г'2т)т)япВ+ + [ 4 Ь вЂ” 2и + р 2 (26т), + 2ит)т — — т1т~~ яп 20+ 359 9 + ( — — — — и — 26и) яп 30+ (21Ь вЂ” 4Ьи — 3 ~~ 2т),) аш 40 + 24 2 + 4 зш50+ е Ьаш60 = О.
(12) 81 . 13 Тот и другой выбор числа Ь законен. Дальнейптие вычисления будем вести, не заменяя в формулах числа д н т), найденными значениями, однако же величину Ь', когда она будет встречаться, будем заменять единицей. Это поаволит нам рассматривать одновременно два решения: (9) и (10). Таким образом, функций атт две, их выражения даются формулой (8), в которой Ь имеет значение 1 нли значение — 1, коэффициент и остается еще произвольным. Действительная и мнимая части тю дт функции ат, (и) имеют на окруткности ~ и ~ == 1 следующие значения: т, = — Ь сое 30 + — сое 40 — и сов 20 13 1 4 ' 2 25. КАПИЛЛЯРНО-ГРАВИТАЦИОННЫЕ ВОЛНЫ ЛРН 759 По той же самой причине, по какой в уравнении (5) были устра- нены слагаемые (6), устраним и в этом уравнении слагаемые с з1п 0 и зш 20.
Это дает два уравнения: 1 3 — 2 п+ 2Ьп+ )Г2272 = О, (13) 45 1 4 Ь вЂ” 2п + )' 2 (2Ьт12 + 2пгп — — тЦ = О. 2 з "'зз изззз 7359 9 из з 2и з +2ю + + п+2Ьп )из+ Низ Зи (,24 2 -,'- ( — 21Ь+ 40п + 3 г' 2т(,) и — 4 и' — — Ьи = т. — 81 з 13 6 Интеграл этого уравнения, не содержащий фундаментального ин- теграла и, пишется так, если т заменить нулем: 83 з 173 з 27 з 13 ю, = — — и' — — и'+ — из — — и'+ йи' 12 60 16 120 (14) где Ь вЂ” произвольная постояниая интегрирования. Функции тз и дз запишутся так: тз = — соз 30 + — соз 40 — —, соз 50 + —, соз 60 — Ь соз 20, 83 173 27 13 60 16 120 (15) 83 .
173 . 27 . 13 6 = — — з1п30 — — зтп40+ — з1п50 — — зш 60+ Ьз1п20. 12 60 16 120 Обратимся теперь к уравнениям (13); решим их относительно неизвестных п и т),. Получим 9 1 3 36Ь вЂ” 19 4 ЗЬ вЂ” 2 ' 8)/2 2 — ЗЬ Для Ь = 1 имеем 9 51 п = — т12 4 ' Зр2 для Ь = — 1 имеем 9 33 п= — —, т)з= — = 20 ' ~~/~ (16) (17) 'Теперь мы получаем возможность придать формулам(8), (11) При впесении такого упрощения уравнение (12) дает следующее линейное дифференциальное уравнение для функции атз (и): 760 ГЛ. Ч. ТЕОРИЯ ВОЛН КОНГЧНОЙ АМПЛИТУДЫ окончательный вид.
Для Ь 1 имеем 9 2 13 2 1 4 4О, = —,И вЂ” — и — — и, 4 2 13, 1 тг = — — 'соя 20 -!- — соя 30 + —,соя 140, 44 ;13) 0 . !3 . ! 28 =- — 'я!я 20 — — 'я!н 30 — —,я!н 440. 2 Для Ь вЂ” — 1 имеем 9 ., !3 1 огг = — —, ия + — и — —,— и, 20 4 2 9 !3 22 = — —, соя 20 — — соя 30 + — соя 40, 20 ' 4 ' 2 9 !3 02 =- — — 'яш 20+ я!п 30 — — я!И 40.
20 4 ' 2 (19) Выпишем выражение величины г) для обоих значений параметра Ь. Для Ь -= 1 имеем 3 51 з2 для Ь =- — 1 имеем 3 33 — з — =аз+... 2У2 8)42 Пользуясь формулой (10) 3 23, установим связь между скоростью потока, длиной установившейся волны и параметром разложения е. В рассматриваемом особом случае число р = Х/Х = 1г 2; отсюда указанная формула запишется так: для Ь =- 1 3 2/ 1 17 с' = =с (1+ — я — — з'+ ...), ут -(, (20) для Ь = — 1 с ==с !ч1 — — я — — е +...). 3 С 1 П 2у2 'г 2 8 (21) Все проведенные вычисления учитывали члены третьего порядка малости по отношению к параметру я, тем не менее мы не можем записать с атой степенью точности выражения функции ю (и) и числа 2)2, так как в выражение функции юз (и) входит неизвестное число Ь, которое, как и число 2)2, может быть найдено лишь после составления и рассмотрения уравнения для функции агг.
Такое уравнение, по причине большой его сложности, мы не составляем. 5 25, кАпилляРно-ГРАВитАциОнные ВОлны пРи р«2 781 Таким образом, мы можем записать функцию ю (и) лишь в таком виде: для Ь -- 1 «о = (и + и') е ~ ( — и — — и — — и е« -)- .. /9 5 13 (,/, 41 2 для Ь вЂ” — 1 9,, 13 5,1«~ 5о =- (и — ив) е — ( — 'и« вЂ” — и + — и ) е + . ~20 4 2 Этим двум функциям отвечают следующие функции / (и), входящие в основную формулу (2) в 23: для Ь =- 1 / (и) = 1 + (и + и') е + ( — и« вЂ” — и') е' +..., 4 4 для Ь == — 1 //и)=- 1 '-(и — и)е+(20 и + —,и)е + Интегрируя эту формулу с условием 2 (1) == О, получаем: для Ь = — 1 2л1 /з — — 2 = 1пи — ( — и — — и«) е — ( — — и'+ — 'и«) е«+ ..
(2 2 ) (,8 8 4 / д Ь= — 1 2л« вЂ” — 2 = Ьл и — ( — и Ь вЂ” и«) е — ( — — и« вЂ” и«)е«+ . х (, 2 ' 2 ) ~ 40 40 4 — л = — 0 — (япО+ — яп20) е— 2л /. 1 2 — ( — яш20 — — яп30) е + .. / п . з 8 4 2л à — у = — ~(1 — сов О) + — (1 — оя 20)1 2 — ~ — (1 — сов 29) — — (1 — сов 30)~ ее+ .. (22) для Ь == — 1 — л = — 0 — (в1ВΠ— —,яш20) е— 2л /. ! 2 — ( — яп20+ — яп30)ее+... 3 40 4 2л Г 1 — у = — ~~(1 — сояО) — — (1 — соя20)1е— 2 — ~ —,„(1 — соя29)+ 4 (1 — сов30)1е'+ ..
(23) Полагая в этих формулах и = е", находим параметрические уравнения свободной поверхности жидкости: для Ь = 1 762 ГЛ. У. ТЕОРИЯ ВОЛН КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ Установившиеся волны, определяемые этими уравнениями, можно перевести в прогрессивные волны, распространяющиеся по поверхности жидкости, покоящейся в бесконечности. Уравнения прогрессивных волн получатся из предыдущих уравнений заменой х на х' + с~. Скорость распространения волн (22) будет определяться формулой (20), скорость распространения волн (23) — формулой (21). В связи с этими формулами следует отметить одну особенность, присущую рассматриваемым волнам.
Скорость распространения капиллярно-гравитационных волн общего вида зависит лишь от четных степеней параметра е, скорость же распространения волн особого вида (20) и (21) зависит от первой и дальнейших степеней параметра е и меняет, следовательно, свое значение при изменении знака у этого параметра. Скорость распространеяия волн первого семейства (Ь = 1) отлична от скорости распространения волн второго семейства (5 =- =- — 1) .
Установим теперь общие очертания найденных волн (22) и (23). Рассмотрим сначала волны (22) и найдем положение экстремальных ординат этих волн в пределах длины одной волны. Продифференцируем вторую из формул (22) по переменному О, получим 2п лу ,711 . 9 — — — = (зглО+ э1п20) е -г-'( — з1п 20 — — 'э1п30) е'+... Л ЛО= 4 4 Приравняем нулю эту производную, получим два отдельных уравнения для определения углов О, отвечающих экстремальным значениям ординаты у: (25) !9 г1 (1+2с.О)+( — — — с.Π— 9соз'0) +...
=О. (, 4 2 Первое уравнение определяет начало координат и две крайние точки волны: х = 7/2 и е = — Х/2. В этих трех точках, в силу симметрии волны относительно оси Оу, касательная к волне горизонтальна. Решим второе уравнение (25) для малых значений е, раскладывая искомое решение в ряд по степеням е. При е = 0 имеем сов О= = — '/,; определим неизвестный коэффициент А так, чтобы соз 0 = — — + Ае +... 1 2 (26) удовлетворял уравнению (25) с точностью до первых степеней параметра е. Подставляя разложение (26) в уравнение (25), 1 25 КАпиллярно-ГРАВитАЦиОнные ВОлны НРи р~ = 2 763 находим 11 А =- — —, 8 откуда следует, что значение соз О, удовлетворяющее уравнению (25), будет 1 11 созО = — — — — з+... 2 8 (27) Решим это уравнение относительно угла 0; положим, обозначая через В искомый коэффициент, 2 О = — — л+Ве + 3 Подстановка в уравнение (27) этого значения 0 определяет коэф- фициент В и дает тем самым решение уравнения (27): 2 И 0= — — л — =3+ 3 42'3 (28) Одновременно с этим решением уравнение (27) имеет, в пределах одной волны, еще другое решение:„ О= —,л+ е+...
2 Ы 42'3 (29) Вернемся к формуле (24) и составим выражение второй производной у по О, получим 2л И~у 7 11 27 — — — = (соз 9 -'- 2 соз 20) з + ~ — соз 20 — — соз 30) е' + ... Л 302 4 Таким образом, для малых положительных значений е поверхность волны имеет в начале координат максимальную ординату (равную нулю), в точках же, определяемых значениями (28) и (29) угла О, имеет минимальные ординаты, равные Л 79.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
