Л.Н. Сретенский - Теория волновых движений жидкости (1163302), страница 117
Текст из файла (страница 117)
<у<О), (О(у( 2), (2) =О = (12 — хз)— Рз Ру (2 < у < П ((<у< ) (4) =О При переходе от уравнения (1) к уравнению (2) должны выполняться условия Ьз= 21 при у =О; (5'р 2ы~ + с — = — ~2ы~ + с — ~ 0~1 Ьз / ~Ц~~ 1 ,(у = Л,(, 2 бу! Применим уравнения и граннчвыеусловия общей задачи к раабору одного частного случая.
Допустим, что давления, приложенные к поверхности жидкости и изображаемые функцией р (у), сосредоточены в полосе 2 < у < У первого водоема, нрнчем будем предполагать, что функция р (у) сводится к постоянной величине ре. В этом частном случае уравнение (9) $1 должно.
быть заменено тремя отдельными уравнениями, которые надо сопроводить. условиями перехода череа линии у = 2 и у = 1. Эти условия состоят в требовании непрерывности возвыщения жидкости и ее производной по у при переходе укаэанных линий. Таким образом, будем иметь следующие уравнения: дополнинии юри переходе ст уравнения (2) к уравнению (3) мы должны иметь 1 =1 + Ра РУ (6) прп у=о. со, 2юра — (1 — 1)=— Иу ' 1 руе Наконец, при переходе от уравпевия (3) к уравнению (4) должны соблю- .даться условия 1 =1+ Ро ру прп у=(.
<~~ (21 21) р,е (7) 'К этим условиям должны быть добавлены условия излучения волн в бескощечпость, об этих условиях будет сказано ниже. Проинтегрировав уравнения (() — (4), получим Сехю + Не — моУ АемоУ+ Ве-моУ (8) =Се аз+Во м Ро 1 хо Ра 1 Еехоз ) Ре-хоУ 1 Восемь постоянных ивтегрировавия С, Н, А, В, С, В, Е, р связываютоя граничными условиями (5) — (7), которые приводят к следующим урав.ие киям: А+В=С+Н, "2 (21о -(- ек,) А -)- (2ю — ск,) В = — „((2ы + еко) С+ (2ю — ех,) Н), "1 аэро хора (9) Е е™К В Р ехо Й~ро х йра хО 2х~рд 2х~~рд Чакки образом, для восьми постояивых интегрирования имеется шесть уравпевий, добавим к ним из условий иалучеяия два недостающих уравнения. Между величинами е, )оои Ц могут существовать различиые соотношения иеравенств.
В дальнейшем мы будем считать, что глубина хт первого бассейиа больше глубииы ~ второго бассейна и что скорость распространения области давлений по поверхности первого бассейна находится в пределах от ~у'уа, до ууат. В этих предположениях получаются наиболее ивтересвые реаультаты. ДОПОЛНЕНИИ (Не«1з + Р -«,э) еа(~-а) Так как число хг действительное и положительное, то, высказывая требование отсутствия неограниченно увеличивающихся значений Ьг при у со, мы должны положить Е = О. Таким обрааом, в первом бассейне, в той его части, где у ) ), распространяется волна г р Гщх-е)]-кш «1 = Рассмотрим теперь функцию ь = (Се"'з + Не «'") е' ~" ' ). Предположим сначала, что (й ) (йо, и допустим, что прн у -« — сс возвышение ь, не растет до бесконечности.
При таком предположении мы должны положить Н = О. Предположим аатем, что ) й ) ) йо. В атом случае хз будет чисто мнимым. Чтобы определить знак коэффициента при д рассмотрим и, в зависимости от й, считаемого коьшлексным переменным: 2а ее йз ~ р' Разрежем плоскость переменного й по линиям ( — сэ, — йо) и (йо, со) и будем рассматривать верхнюю полуплоскость, значения н на которой будут определяться действительными и положительными значениями и на отрезке ( — йо, йо) оси абсцисс.
Па верхних сторонах разреаов будем иметь га) Г йз кэ= у —,— ) ( — ° <й< — й), йо 2а) Г йэ яз )ее 1 (йо(й(сс) ууйз о Отсюда Ьэ запишется так: ху)а ) Н -хе еу) цдх-е)) (Н -«йт ) Н «,)з) )а(х-с)) — <й< — й,) (йо (" ('"')1 где 2а / йз Для отрицательных й, а равно и для положительных й волна Н ехр ()й(х — ее) — ле у) приходит иа отрицательной бесконечности и поэтому, как не образованная единственным источником воабуждевия в виде перемещающейся области давлений, должна быть устранена. Таким образом, Н = О. Итак, во втором бассейне, где у (О, распространяется волна л )а)х-с))еку, (2) Число я будет длн всех значений й действительным, но число х бу число хе удет деиствительным лишь для значений й, удовлетворяющих неравенству 2а )й)< =й,.
у еа — уь Для значений ) й ) ~ й, число х, будет чисто мнимым. Рассмотрим функцию ьд (х — ед у); в области изменения у от ) до са будем иметь ДОПОЛНЕНИЕ 580 Вернемся к уравнениям (9) 4 2 и перепишем их, учитывая принятые условия излучения: А+В=С, Из (2а + схВ А + (2а — сх,) В = — (2а+ с«2) С, Е1 Решив эту систему уравнений, получим й2р 1 С— хсре' 2а (И5«1 + !12«2) — —, (Л, — Лз) — «,! ( е — е йзро — (е " ! е " 5) 2хзрд (8) 2а (И1 И2) с й, (Л,«1 — И2х2)+ В ( -«5! е — Х55) 2а — (Л, — Лз) 2х "1РУ (й х -(- й.х,)— /52р 15 В (е«5! е«,5) 2х Ру С помощью этих формул можно составить выражении всех волн,но нас бу- дет интересовать главным обрааом волна ~, как наиболее примечательная по своим свойствам.
Для дальнейшего исследования образовавшихся волн необходимо научить корни уравнения 2а 55 (й) = (й,х, + Изхз) — — (И, — Из) = О. Рассмотрим функцию 1(й) = йьх1 + ~х и найдем ее проиаводную 52) й )51/Л, уй,— сз 1/ й, ей,— сз (1) 2/ 1+ 4!сз й о/ 1+ 4аз Эта производная обращается в нуль при й = О и для малых й имеет такое значение: 5() й — „, ==(УЙ+Уйэ)(у(йг — Уй!Из+И,) — с). 2а д И2 А — С=— ' Ро -«5.5 2«~ру -«5! йз е 2«зрд РО «55 В 55 «55 2хзру В В е«5 йзро 2ххрд ДОНОЛНЕНИЕ 781 Так как й, > й, будем иметь айз < а (й1 — РсйА + йз) <Уй1. Поэтому, если будет соблюдаться неравенство сйэ < сз <е (й1 ]/ чй + й ) то при малых значениях й функция 7 (й) будет возрастать.
Если же будет соблюдаться неравенство у(~ — у'Щ+ ~) <сз <д~, то при малых значениях й функция 1 (й) будет убывать. Отметим, что 222 ) (()) = т;- (] й1+ У "г) Уа Проиаводная (' (й) будет обращаться в нуль и при обращении в нуль выра- жения в скобках равенства (1). Соответствующее значение й будет опреде- ляться формулой сс — 22 (й + Ьз) сз+ дз (йз+ й1ч + Ьт) й' = 4ы' (дй — 22) (сз — дйз) ] д (й1+ Ьз) — сз] Числитель этой дроби может быть представлен так: Цl йз (сз — уй,) — тсй, (сз — уй1)] ]сз — д (й1 — усй1йз+ йз)] р'7,. — р"й, Этот числитель будет полоя1втелен, если будет выполняться неравномерно неравенство Отсюда после ряда вычислений получим )(+й')— 2 (й,— йз) р"у(й,+й,) —.2 ]/(уй1 — сз) (ст — дй ) Найдем, наконец, значение функции 7 (й) при й = ~ йс: 2ы 1(~ йс) = - М й1(й1 — йз) у сз — уйз (4) Покажем теперь, что величина 222 — (й, — ~) сз < д (Ь1 — ~/йтйз + Ь,).
(2) Следовательно, при соблюдении этого неравенства функция 7 (й) будет иметь в промежутке ( — йс, йс) два максимума ( — й' и й') и один минимум (в точке й=б). Если же неравенство (2) не будет выполняться, то в промежутке ( — йс, йс) будет иметься лишь один максимум функции 7 (й) в точке й = О.
Величина й' будет прк этом отрицательной и й' будет величиной чисто мнимой. Найдем максимальное значение функции 7'(й) при й = ~ й'. Для этих значений й будем иметь 4ыз (цй1 — с2) 4ыз (Ю йз] 1 (сз — ейз) [с (й, + йз) — сЧ ' 2 (сй1 — сз) ]д (й1+ йз) — сз] ' 782 ДОПОЛНЕНИЕ всегда меньше, чем Г(3-й'). Действительно, мы имеем следующее неравенство: О> — г Ь,Ь,. Прибавляя к обеим частям этого неравенства величину ясз (Ц + й ) — сс, получим гсз (Ьт + ~) — сс > дсз (й~ + Ьэ) — сс — дзйтЬ , или сз [У (Ьт + йз) — сз) > (Гйг — сз)(сз — Уйз) ) О.
Извлекая иа обеих частей этого неравенства квадратный корень, получим или У д (й, + Ь,) — сз 1 >— У (дй, — сз)(сз — уйз) Умножая обе части этого неравенства на 2ы (Ь, — ~), получим требуемое неравенство 2ы ) (+й') > — (й,— йз), (5) Отсюда можно вывести такое заключение. Если соблюдается неравенство (2) при определенном с, то будет соблюдаться и неравенство (5), которое приводит к следующему выводу.
Если число 2эз — (Ьг — ~) (6) больше наибольшего из двух чисел ) (О) и 1 (~ йэ), то уравнение Ь (й) = О имеет четыре действительных корня. Если же чйсло (6) меньше меньшего иа двух чисел 1 (О) и г' (3- йс), то уравнение Ь (й) = О не имеет действительных корней. Предположим теперь, что соблюдается неравенство а (Ьг — Г'Ь,йз+ Ь,) < с' <байт В этом случае функция ) (й) монотонно убывает от — ()~йт+(/йз) до 2ы у'б У Ьт(Ь,— ~) при изменении й от О до йс. Покажем, что наимень- У сз — дйз шее из этих чисел всегда больше, чем (2ы/с)(Ц вЂ” ~). В самом деле, при Ьз ( Ьт мы имеем такое очевидное неравенство: сз > д (аз — Ьг).
Умножим обе части этого неравенства на йз и прибавим затем к обеим частям сзйт. Тогда йтсз + ~сз > К~ (Ьз — Ьг) + Ьтсз. Отсюда следует, что Ьгсз > (Ьг — йз)(сз — а~), или с )' й, > ~Ь,— Ь,. у сз — уйз ДОПОЛНЕНИЕ 783 2ы е— Умножая обе части атого неравенства на — у Ьг — Ьз, получим с 2юр Ь,(Ь,— Ьз) 2ы '~/ ез ь,. ~ е Таким образом, наименьшее значение фувкпди 7 (й) всегда больше, чезь (2ы/е)(йг — Ьэ). Следовательно, при К (~ — у ~7, + ~) ( е' ( уЬ, уравнение Ь(й) = О не имеет решений з действительных числах.
Рассмотрение функции 1 (й) = Ьгкг + Ьзкз на плоскости комплексного переменного й, разрезанной по ливиям приводит к следующим заключениям о комплексных решениях уразневшг Ь(й) = О. Производная Ь'(й) обращается з нуль, при наличии комплексных. решений, для чисто мнимых аначевий -~ й' переменного й. Отсюда вытекает, что через точки й' и — й' плоскости й проходят две кривые, встречающие ось ординат под прямым углом, вдоль которых функция 7 (й) имеет действительные и положительные значения.
На этих кривых линиях, а также и на участке мнимой оси 2еее 2юе Р ейг — сэ У еЬ~ — сз будут располагаться комплексные решения уравнения Ь (й) = О. Эти решения являются комплексными полюсами подывтегральной функции интеграла (1) т 5, выписанного виже. В предыдущем наложении мы предполагали, что внешнее давление иаменяется гармонически с изменением переменного й (х — ег) = а. Допустим теперь, что внешнее давление есть некоторая функция этого переменного.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
