Л.Н. Сретенский - Теория волновых движений жидкости (1163302), страница 115
Текст из файла (страница 115)
33 21 у = — — ( — е+ — ез). 2л (,4 16 )' (80) Подставляя сюда вместо соз О его значение (27), находим величину второй производной для экстремальных точек (28) и (29) волновой поверхности: 2л 32у 3! — — = — з-~- .. Л 062 2 для0=0 2л 82у — — = — Зз — ' Л сЮ2 764 ГЛ. У. ТЕОРИЯ ВОЛН КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ Для  — — ~ л ордината волны имеет максимум, равный 7 3 2л(, 2 (81) Для малых отрицательных значений е поверхность волны имеет з начале координат минимальную ордянату (разяуго нулю), а в точках (28) и (29) — максимальные ордияаты, определяемые формулой (ЗО); в точках Π— ~ л ордипаты волны имеют минимальное значение, равное (31). По первой из формул (22) можно найти величины абсцисс зкстремальных точек (28) и (29) волновой поверхности; имеем соот- ветственно Л ( 2 7 а = — ~ — л+ — а~За+...
), 2л А3 6 Л / 2 7 г— х= — — ( — л+ —,) Зе+...). 2л(36 ~ л Л / л 7 х =- — ( — + —. ) гЗе ) и х = Л вЂ” — ( —, + —. ~/ Зе), (82) 2л (,3 зо, 2л (,3 30 Пользуясь полученными сведениями о главных точках кривых (22), можно начертить сами кривые. На рис. 81 изображены кривые (22) для е = 0,2 и е === — 0,2. г~=г Построенные кривые показывают наличие на Ш них при положительном е двух впадин небольшой е=цЕ глубины. При е отрицательном на кривой обнаруживаются два небольРис.
81. ших бугорка, симметрично расположенных относительно вертикальной прямой х =- Л/2. Присутствие таких впадин и бугорков — явление, характерное для капиллярно-гравитационных волн конечной амплитуды. Скорость прогрессивной волны конечной амплитуды превосходит при е ) 0 скорость бесконечно малой волны той же длины. При е ~ 0 противоположное обстоятельство имеет место: при одинаковых длинах скорость волны конечной амплитуды меньше скорости волны бесконечно малой амплитуды. Эти заключения вытекают из формулы (20). Повторяя в значительной мере все предыдущие вычисления, можно установить, что при 6 = — 1 кривая (23) имеет для е ) 0 минимальную ординату при х ="- О, две положительные максимальные ординаты для 25, кАпиллярно-РРАВитлциОннык ВОлны пРи р* = 2 та, равные (33) При х 11 л г $ — — — и Ь вЂ” 'е) и г= и — —,, ( —,, и+ — 'е) (34) 2л (, 2 " ' 4 ) " 2л (, 2 кривая (23) пересекает ось абсцисс.
При х =- Х!2 кривая имеет минимальную отрицательную ординату, равную Х ~, 8 — — ~2е + —, е') . 2л (, 2 )' (35) Длина атой ординаты почти в восемь раз больше максимальных ординат (33) бугорков. Если параметр е меньше нуля, то в точке х =- 0 кривая имеет максимальную ординату, равную нулю; в точках (32) имеет отрицательпые минимальные ординаты (33); в ' точках (34) кривая Рис. 82. пересекает ось абсцисс и в точке х = Х!2 имеет аначительную по величине положительную ордикату (35).
Прогрессивная волна со значением Ь = — 1 и е '- 0 имеет скорость, меньшую чем скорость соответствующей бесконечно малой волны; при е ( 0 волна конечной амплитуды обладает скоростью, большей чем соответствующая волна малой амплитуды. На рис. 82 изображены капиллярно-гравитационные волны при Ь = — 1 и е =- О 2 и при Ь = — 1 и е =- — О 2. Заключая ато исследование особых волн для р' = — 2, можно сказать, что значению с', вычисляемому по формуле теории бесконечно малых волн, соответствуют трп периодические установившиеся волны: две волны, найденные в этом параграфе для Ь .== 1 и Ь = — 1, и, кроме того, волна, соответствующая значению р' =— = 1/2. Вид этой волны определяется без затруднений по формулам (13), (14) 8 24.
Теория капиллярно-гравитационных волн бесконечно малой амплитуды была развита, как это было упомянуто в 8 62 гл. 1, 766 ГЛ. У. ТЕОРИЯ ВОЛН КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ в трудах Кельвина и Рэлея. Теория капиллярно-гравитационных волн конечной амплитуды получила свое начало в работе Виль- тона [206], остававшейся долгое время вне поля внимания. Применяя второй метод Стокса, Вильтон рассчитал форму волны с точностью до пятой степени параметра з. Вместе с тем Вильтон обнаружил волны особого вида; теория этих волн изложена в настоящем параграфе. Непосредственным продолжением работы Вильтона является работа Пирсона и Файфа [164], содергкащая подробное исследование волн около значения числа р' = 2.
За последние годы теория капиллярно-гравитационных волн получила широкое развитие, главным образом, в направлении исследования взаимного воздействия волн папиллярного типа на волны гравитационного типа при особых значениях параметра р' [157] — [159]. Вместе с тем общие теоретические выводы проверялись в экспериментальных работах [149], [150]. Во всем предыдущем изложении теории волн были приведены расчеты движения жидкости и формы волн и были выяснены, рассмотрением полученных приближенных формул, главные особенности, относящиеся к распространению волн и их внешнему виду. Математическая теория существования установившихся периодических капиллярно-гравитационных волн в различных условиях была построена в ряде работ Я.
И. Секерж-Зеньковича, прилоигившего к данной задаче метод Леви-Чивита из теории гравитационных волн конечной амплитуды. Вместе с тем в работах Я. И. Секерж-Зеньковича был использован метод Ляпунова— Шмидта для доказательства существования и устачгсцМения единственности волн для данной скорости потока. Волны особого вида приведены в связь с фундаментальными числами основного нелинейного уравнения задачи [45] *). й 26.
Капиллярные волны конечной амплитуды Определение гравитационных волн конечной амплитуды и тем более определение капиллярно-гравитационных волн конечной амплитуды требует решения весьма сложных задач гидродинамики с нелинейными граничными условиями, и единственное, что удается большей частью сделать,— это построить бесконечные ряды, представляющие решение.
В ряде случаев представляется возможным доказать сходимость таких рядов. Построение этих рядов требует, как это можно видеть из предыдущих параграфов, проведения большой вычислительной работы. При таком положении в решении нелинейных задач теории волн особенное значение и интерес имеет исследование Крэппера, *) Работа [45] содержит полный список статей автора, посвященных задачам теории капиллярио-гравитациоякых волн. ~ 26. кхпиллягные Волны 767 содержащее полное и законченное определение в элементарных функциях капиллярных установившихся волн конечной амплитуды (93).
Определение этих волн может быть получено для жидкости конечной глубины и для жидкости бесконечной глубины. Мы рассмотрим лишь этот последний случай. Возьмем основное граничное условие (8) 2 23 теории капиллярно-гравитационных волн и положим в нем д = О, тогда мы получим граничное условие теории чисто капиллярных волн: — е-' — (е — ) + с — = О. а и е ~Юг лт р аф "ф "ф Проинтегрируем это уравнение, получим — =- Се-' — ре', дд Нф (1) где С вЂ” константа интегрирования, а р имеет следующее значение: рс 2а Чтобы определить константу С, применим условие (1) к той точке волны, отвечающей значению ф =- О, в которой касательная горизонтальна; обозначим через т, значение переменного т в рассматриваемой точке. Условие (1) даст такое соотношение: Се 'о — ()еч = О.
Зто соотношение позволяет выразить числа р и С в зависимости от некоторого постоянного числа б: р = — — Ь~-'*, г (2) Теперь условие (1)примет такой вид: — = бзп(т — т,). дб Ыф (3) Комплексное переменное — т + 2О является функцией комплекс ного переменного ф + пр, следовательно, дб дт дф дф ' Благодаря этому условие (3) может быть переписано так: дт — = овЬ(т тс). дф Отметим, что это условие должно соблюдаться при значении ф, равном нулю.
Гл. ч. Тиогия ВОлн копечной лмплитуды Допустим теперь, что во всей массе жидкости имеет место такое уравнение: '," =((1)эй(« — «,), (4) где )' ($) есть некоторая неизвестная функция лишь одного аргумента ф, принимающая значение 5 для ~р = О. Функция )' (ф) долхсна быть такой, чтобы функция «, определяемая интегрированием уравнения (4), удовлетворяла уравнению Лапласа (5) Проинтегрируем уравнение (4), получим ) с«Ь ','" =- 1($) — й(р) где Ь (~р) — произвольная функция переменного у.
Отсюда имеем г (Ф) + Н (Ч') (б) ~ ('Р) — н(т) где Г (~3) =. Ввел Н (ср) .— — е кт'. (у) Теперь надо так определить функции Г Щ) и Н (~р), чтобы удовлетворялось уравнение Лапласа (5). Дифференцируя равенство (6) два раза по ф и два раза по ср, получаем Зи (' лв — =. — 2Н( Подставим эти выражения вторых производных в уравнение (5), получим следующее соотношение между функциями г', Н и их производными: 2(Н +Ни)+(Н вЂ” Н')( — — — ) =О. Р. (8) Продифференцируем это равенство по переменному ~р и затем по переменному ф, получим 1 И 1" ( д и" л~р Так как ~р и'ф — независимые друг от друга переменные, то общее значение обеих частей этого равенства есть некоторое постоянное число 4йп Отсюда получаем два дифференциальных уравнения: — — = 4й,Рй", — — = — 4й,НН'.
а~ и ' ' лло н 2 26. КАПИЛЛЯРНЫЖ ВОЛНЫ 769 Интегрируя эти уравнения два раза, находим (.) = ИР зз гин (з — „„) = Й,Р'+ Й,[л + й„( —,~ ) = — Й,Н'+ Й,'и + й,', (9) где йз, йз, йз, йз — постоянные интегрирования. Из этих равенств имеем Н вЂ” 2кдНз+ е (10) Н Подставим выражения (9) и (10) в соотношение (8), после вычислений получим (й, + Й;)Е' + (й, + ЫН' + 2 (й + й') = О. Это равенство может соблюдаться лишь при выполнении следующих равенств: Йз Йз Йз = Йз Теперь уравнения (9) могут быть записаны так: ( )= ЫР (з / ЛН~з — ) =Й,Г+Й,Р +Й„( — ) = — Й,Н вЂ” Й,Н вЂ” Й,.
(11) иф)— ' '(лр) Полное исследование задачи требует рассмотрения эллиптических функций, но если ограничиться частным случаем, приписывая коэффициенту Й, нулевое значение, а не оставлять его произвольным, то все исследование можно провести в элементарных функциях. Итак, положим й, = О, тогда уравнения (11) запишутся так: ( )- ЛР тз ! ЛН~з — ) =Йзй +Йз, ( — ) = — ЙзНз — Йз. «) ар (12) Величина т должна обращаться в нуль при 2Р = оо. Это условие будет выполняться, если коэффициент й, взять положительным, а коэффициент Йз отрицательным: й = х', йз = — х'т'. В этих новых обозначениях интегралы уравнений (12) запишутся так: Р =те[2 [х(еР— 2Ре)], Н = т соз [х(ср — <ре)), (13) где ~ре и ер — константы интегрирования. Теперь формула (6) запишется так: ск [х (1Р— ф,Ц -[- соз [х Ор — <реЦ (14) ск [х(ф — феЦ вЂ” соз [х(о — уе)[ При увеличении ф до бесконечности переменное т должно приближаться к нулю, но этого не будет, если те будет отлично от нуля, следовательно, т, = О.
Таким образом, скорость частицы 25 Л. Н. Срезекскка 770 ГЛ. Ч. ТЕОРИЯ ВОЛН КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ сЬ [к (я — ~за)) + соя юр св [к(Т вЂ” ф,)] — соек<~ Из формул (7) и (13) легко найти, что 7' (ф) = х Ж [х (ф — фа)). (14') Эта производная должна иметь при ар = 0 значение Ь; отсюда вытекает такое равенство: хс)1хфа = (15) Обратимся теперь к определению формы волны. Для этого надо найти функцию б. С атой целью придадим формуле (14') другой вид, преобразовывая ее числитель и знаменатель.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
