Л.Н. Сретенский - Теория волновых движений жидкости (1163302), страница 113
Текст из файла (страница 113)
Таким образом, общий интеграл уравнения (1) запишется так: а, = С,и+ С,ит'+ —,. (2) Допустим, что величина р' отлична от целого числа: это — общий случай. При соблюдении этого условия ит' будет неоднозначной функцией переменного и, ввиду этого произвольную постоянную С2 следует приравнять нулю. Отсюда вытекает, что функция а, (и) будет равна т/р2 при и = О. Но так как при и = О функция а, (и) должна обращаться в нуль, то число т следует приравнять нулю.
Таким образом, интеграл уравнения (1), удовлетворяющий принятым условиям, может быть записан так: (3) а,=и; 752 гл. ч. твою7я волн конкчнои лмплптчды приравнивая единице константу С„не уменьшаем общности задачи. Из равенства (3) следует, что на окружности ~ и ~ =- 1 имеем т, — — сое О, д, ='- е1п О. (4) Составим теперь граничное условие (11) 2 23; используя найденные выражения функций т, и д„получаем изб,, итт З вЂ” — д — ' — рбт = — 'рт ип 20 — дгп е~п О. иэз ' иэ 2 Перепишем это условие в другом виде, вводя функцию в, (и) 7и ~ .
аи, т З Ке ~аи — ( и — ) — пуи — + 1р от + — Ер и — гргни~ =- О. йи ' ' 2 Это условие позволяет выписать дифференциальное уравнение для функции ют (и), пригодное для всех комплексных значений переменного и: т л '- 2 ' 2 и — ( и — ) — ди — т+ Р а7з -(. —,' Р и — Ргпи = О.
(5) Ыи (, Ни ) Ыи 2 Если число т), будет отлично от нуля, то в силу равенства (13) 2 23 интеграл этого уравнения будет иметь в начале координат логарифмическую точку ветвления и тем самым будет нарушаться условие голоморфности функции отт (и) в круге ) и) ( 1. По- атому число т), должно быть приравнено нулю: Ч1 = О. (6) При этом значении т9, общий интеграл уравнения (5) будет ют = С,и + С,ие'+ — Р и'. 2 рт — 2 (7) Предполагая, как и выше, что число р не есть число целое, мы должны постоянную С~ приравнять нулю. Один из фундаментальных интегралов уравнения (5), как и уравнения (1), есть ют = и.
Все дифференциальные уравнения, определяющие коэффициенты ряда (15) 2 23, имеют и фундамеятальных интегралов. Благодаря этому ряд (15) з 23 будет содержать и с коэффициентом в виде степенного ряда по е с произвольными коэффициентами. Мы можем вместо е ввести новый малый параметр е', равный сумме этого ряда. Тогда ряд (15) 2 23 будет иметь и лишь в первом своем члене с коэффициентом, равным первой степени е'. Будем предполагать, что такое введение нового параметра сделано и в силу атого и будет содержаться лишь в первом члене ряда (15) 2 23. Следовательно, функция ыт (и) может быть записана так: 3 рт О~ =- — и .
Р (8) 1 ЗЗ КАПИЛЛЯРНО-ГРАВИТАЦИОННЫЕ ВОЛНЫ В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ 733 Отсюда имеем 3 рз 3 рз тз — ' сов 20, дз = —. Вш 20. 2рз — 2 ' 2рз — 2 (9) Возьмем, наконец, граничное условие (19) 8 23. Пользуясь найденными значениями функций т„бзз т„бз и числа з)„получвм Язоз Етз, ( ЗРз ае 86 (р — 2 — '+ д — ' — рз Оз + ( — з(п 30 -( рз)з з(п О)— зГ 85Рз — 26 .
3 — рз( з(п 30 -( — з(п 0|в '824(рз — 2) ' ' 8 ' — )~~,, 30 „- ', . 0'~-..О. (10) Г 17рз+2 ... Зрз-1-2 . 3 ! 8(рз — 2) 8(р--21 ' Общий коэффициент при з)п О должен быть приравнен нулю, чтобы свободный член в дифференциальном уравнении для функции юз (и) был равен нулю: Это есть уравнение, из которого определяется число цз: ер'+ рз+ 2 (11) зр(рз — 2) ' При этом значении числа з)з условие (10) для определения функций тз и дз будет 8 / йоз~ , з(изз Ве ~(и — ( и — ') — (ди — ' + (р изз1 = изи(, Еи) з(и Отсюда получаем дифференциальное уравнение для нахождения функции юз(и): з 8™з з(изз и — +и(1 — д) — + рюз= Еиз Еи Зрз з 85рз — 26 17рз+ 2 ( рз — 2 24(рз — 2) 8(рз — 2) ) — — - 1" Преобразовав правую часть этого уравнения, переписываем его в более простом виде: з(азиз з з(изз з 1 ! 17 з 41 и' — „— ри — +ри= ( — — р + — р — — )и. Низ 8и рз — 2\ 3 24 4) Интеграл этого уравнения, подчиняющийся дополнительному условию голоморфности и условию определения параметра з, пишется так: 1 !17 з 41 з 11 изз =— — р — — р -(— 2(рз — 2)(рз — 3) (, 3 24 4 ) Гл.у.
ТБОРия Волн конвчной Амплитуды 734 Таким образом, выражение функции а4 (и) можно записать следующим образом, учитывая лишь третьи степени малого параметра е: 42 (и) = еи + — 1 игег + 2 рг — 2 1 !17 4 41 2 11 22 +,, —.р' — — рг+ — ~и'е'+ ... (12) 2(рг — 2)(ри — 3) 1 3 24 4 ) Найдем с помощью разложения (12) функцию 7 (и); имеем 1'1 2рг 1 '(Р' — 8 Р'+4/ .
/(и) = е'"421 = 1+ив+ и'е'+,' игег+ ... рг — 2 4 2 (р' — 2) (рг — 3) Отсюда получаем уравнение для определения формы волны: 11 2л1 32 1 2рг 1 2 (Р— 8 Р 4), 2 — — — = — + е+,, ие'+ ...игег+... А ии и ри — 2 2 (ри — 2) (р — 3) Интегрируя зто уравнение, находим 2Л4 2Р2 — 1 — — г = )пи+ е(и — 1) +,, (и' — 1)ег+ Л 2 (рг — 2) 1 Р Р2+ — 4 ' — 1 2 + 4 (р — 2)(р — 3) (и 1) +'' Принимая во внимание найденные значения чисел 2)2, 2)„составим формулу (10) 3 23. В результате получим = ~ с,'и~(Р+ )+ 8 2 (15) Эта формула устанавливает связь между скоростью потока, длиной установившейся волны и ее амплитудой. Положим здесь и = е", такое значение переменного отвечает точкам поверхности волны. Выполняя эту подстановку и отделяя мнимую часть от действительной, получаем параметрические уравнения волновой поверхности: 2 2рг — 1 — х = — Π— е з)п Π—, з)в 20 — е'— А 2 (р4 — 2) 11 1 3 8 р' — — Р2+ 4 (Рг — 2) (Рг — 3) зшЗОе' —..., (13) 2Л 2рг — 1 — у = — (1 — соз О) е — (1 — соз 20) е'— А 2 (рг — 2) 11 3 8 4 р4 — рг 1 — — (1 — соз ЗО) ез —...
(14) 2 (Ри — 2)(рг-3) 2М КАППЛЛЯРНО-ГРАВИтАционные ВОЛНЫ В ОБщеМ Слу ~АЕ 755 Все полученные формулы, определяющие установившиеся капиллярно-гравитационные волны, зависят от параметра р, равного отношению длины волны к длине волны при наименьшей скорости потока, взятой из линейной теории волн. Значения параметра, меньшие чем единица, отвечают волнам, в образовании которых главную роль играют силы поверхностного натяжения.
Значениям же этого параметра, превосходящим единицу, отвечают волны, в образовании которых главную роль играет сила тяжести. Уравнения первых из этих волн будут получаться по формулам (13), (14), если придать р значения, меньшие чем единица. Придавая же параметру р значения, превышающие единицу, будем получать волны второго вида. Для волн того и другого вида связь между скоростью потока, длиной волны и ее амплитудой дается одной и той же формулой (15).
Обратим теперь особое внимание на коэффициенты формул (13) — (15). Эти коэффициенты обращаются в бесконечность для значений р, равных )Г2 и )ГЗ. Рассматривая разложения координат л, у с точностью до третьей степени параметра е, будем получать коэффиг7иенты, обращающиеся в бесконечность для значений р, равных У 4, )/ 5, ~/6, ... Выясним, с' каким особым обстоятельством в определении волн мы здесь встречаемся. Возьмем формулу из теории малых волн из этой формулы получаем уравнение для определения длины волны через скорость потока: ).
— — Ь, Х+Х'=6. аз Возьмем волну длины А„вычисляемую через взятое значение параметра р по формуле )„= РЛ.. Длина Лз волны для той же скорости потока с будет равна А = Х'/)~, Исключая'из двух последних формул величину Х, получаем Хз = 1,,/Рз. Таким образом, для целого числа р' длина волны А2 в р' раз меньше, чем длина волны Х,.
С такими парами волн мы уже встречались в з 62 гл. 1 при изучении капиллярно-гравитационных волн бесконечно малой амплитуды. Скорость потока имеет для таких ГЛ. Ч. ТЕОРИЯ ВОЛН КОНЕЧНОЙ АМЛЛИТУДЫ 750 волн следующее значение где р есть корень квадратный из целого числа. Следовательно, уравнения (13), (14) и все дальнейшие формулы оказываются непригодными для того особого случая, когда отношение длин двух волн, отвечающих данной скорости потока, есть целое число. Таким образом, для целых эначений параметра ра должна быть построена новая теория.
4 25. Исследование каниллярно-гравитационных волн в особом случае при ра=2 Найденные в т 24 разложения, определяющие капиллярно-гра- витационные волны, теряют силу, если р' есть целое рациональное число. Найдем установившиеся капиллярно-гравитационные вол- ны в этом особом случае, когда число ра = — 2. При этом значении числа р' число д будет равно 3. Для определения функции ю (и) будет служить, как и прежде, условие (9) $23.
Это условие приводит к системе граничных ус- ловий (17) — (19) $ 23 для определения коэффициентов рядов (14) — (16) 4 23. Рассмотрим условие (17) $23: +3 — — 2О,.= 9. (1) Это условие приводит к линейному дифференциальному уравне- нию для функции юа (и): а Иаа, и Ыиа — 2и — + 2ю, = т. Ни Общий интеграл этого уравнения пишется так: ю, = Саи + С,и + — и. а (2) Число т следует приравнять пулю, как это делалось и в предыдущем параграфе; произвольную постоянную Са можно взять равной единице, так как в разложении функции ю (и) в ряд коэффициент ю, (и) сопровождается проиэвольным множителем е. Второй фундаментальный интеграл Саи' можно оставить в формуле (2), так как он голоморфен в круге ( и ~ ~( 1; больше того: решение задачи о вычислении функции ю (и) в рассматриваемом особом случае может быть получено лишь при введении второго фундаментального интеграла.
Итак, примем ю =и+Ьиа, (3) 2 25. КАПИЛЛЯРНО-ГРАВИТАЦпОННЫМ ВОЛНЫ пРН н и-'=2 где Ь вЂ” произвольный действительный коэффициент. Для точек окружности ) и ( = — 1 имеем из формулы (3) т, ==.— соз0 — Ьсоз20, д,==яп0+Ьяп20. (4) Обратимся теперь к составлению условия (18) 2 23. 1!ользуясь найденными выражениями функций т„д„придаем этому условию следующий вид: )2)дт Ит, — +3 — ' — 262+()11)/2 —;, Ь) яп0 — ', (2)Г2Ь)11 — 3)яп29— — — Ь я и 30 — ЗЬ' я и 40 =- О. 12 2 Отметим прежде всего, что действительное число т надо взять рав- ным нулю.
Коли сохранить в этом уравнении члены — Ь вЂ” т)1))) 2) и и (3 — 2 )) 2 дтп) ит, (' 2 (6) то функция е)2(и) будет содержать слагаемые, неоднозначные в круге ~ и ~ ~( 1; но функция ют (и) должна быть голоморфной внутри этого круга, следовательно, коэффициенты при и и и' должны быть приравнены нулю: — Ь вЂ” т)1 ф'2 = О, 3 — 2)Г2 Ьт~) = О. (7) При этих условиях общий интеграл уравнения (5) запишется так: ю = — — Ьи — — и +ти+ пи Ы 3 ) 2 2 4 2 где т и п — произвольные постоянные интегрирования. Первая из этих констант может быть взята равной нулю; это устанавливает здесь и будет устанавливать во всем дальнейшем отсутствие слагаемого с и во всех членах разложения е) (и), кроме первого. Таким выбором произвольной постоянной интегрирования устанавливается определенный выбор параметра разложения з. Следовательно, ют= — — Ьи — — и +ни.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
