Л.Н. Сретенский - Теория волновых движений жидкости (1163302), страница 109
Текст из файла (страница 109)
Так как это уравнение неизвестно и, наоборот, в отыскании его и заключается вся задача, то уравнение (1) и условие (2), взятые в их первоначальном виде, не позволяют еще дать решение задачи, так как требуется найти интеграл известного уравнения (1), удовлетворяющий условию (2) на неизвестной границе ~р = О. Эту трудность 7зя Рл. у.
ТЕОРия ВОлн кОнечнОЙ Амплитуды монино устранитг выполнением некоторой замены иеремеииь1х, аналогичной В достаточной мере замене переменных второго метода Стокса. До сих пор независимыми переменными были х, у, искомой функцией была ф Возьмем теперь в качестве независимых переменных х, ф, а в качестве искомой функции возьмем у. Таким образом, буден искать у как функцию независимых переменных х н ~>, Преобразование уравнения (1) к новым независимым переменным приводит к следующему уравнению для искомой функции Граничное условие (2) примет такой вид: и должно будет удовлетворяться на известной уже границе, а именно при ф =-. 0; К вЂ” постоянная величина.
Для бесконечно глубокой жидкости уравнение (3) должно удовлетворяться в области, определяемой неравенствами — ос< х< со, 0<зр< ао, с подчинением искомого интеграла уравнения (3) граничному условию (4) и добавочным условиям поведения интеграла при ~\ -+. Оо. Для жидкости конечной глубины, характеризуемой некоторым числом д, интеграл уравнения (3) должен определяться в области изменения х и $ — оо(х( оо, 0(~3< д с соблюдением граничного условия'(4) при ~р =- 0 и условия обтекания дна бассейна $ = д. Будем искать такие волновые движения, для которых линии тока мало отличались бьют горизонтальных прямых.
Имея такую цель, введем вместо функции у (х, $) новую искомую функцию и (х, ~р), полагая у (х, $) = — А~у + и (х, $), (5) где А — некоторая константа, которая связывается со скоростью потока в бесконечности или на линии ~р = д. Будем искать такие движения, для которых функция и и ее производные двух первых порядков — величины малые. При таких допущениях кривая ~р = 0 будет близка к горизонтальной прямой и вектор-вихрь будет величиной малой.
Г за Волны нл ИОВБРхностп злнихР1И!нои жидкости 729 Уравнение для новой функции и (х, ф) н граничное условие (4) примут для' ф ==- О более слолкный вид: '.", +А —,"'., +Азйф) = дл~ !' ди ')1 д! ди д1х !! дх ~а д1х дфл ( дх,' + дх дф дхдф ( дф/ дхл дх ! 1 1 дх 1 ! дэ л1 дф — + дА1Р— —, йАз = Аз(й + 2уо) — + —, дф 2:1 ! дф) 2 А( д ) 2 (й+2ао)(Лд 1 ' (7) Вновь введенная постоянная величина )г = К + 4/А! считается малой. Из этого уравнения интеграл и, удовлетворяющий граничным условиям при ф:=- О, ф =- д, ф == оо, может быть найден методом разложения по малому параметру.
Но для доказательства существования периодических установившихся волн, что и составляет главный предмет исследованияДюбреиль-Жакотэн, выгодно уравнение и граничное условие подвергнуть новому преобразованию. Преобразуем декартовы координаты х, ф в координаты р, а по формулам зхЛ х 2л =е л Л и будем рассматривать р и а как полярные координаты точки на плоскости с декартовыми координатами х', у'! х' =- р сова, у' = — р з1п а. Области, занятой на плоскости (х, у) одной волной длины Х, будет отвечать на плоскости (х', у ) корона, ограниченная окружностя- 21Л ми р=1 и р,= е л ' для бесконечно глубокой жидкости внутренняя окружность короны вырождается в точку — в начало координат.
В переменных р, !х уравнение (6) запишется так: 730 ГЛ. Ч. ТЕОРИЯ ВОЛН КОНЕЧНОЙ АЫПЛИТУДЫ Граничное условие (7) примет, после ряда преобразований, такой вид для окружности р = 1: — —,'- —" А'Р— — ~ — 68 = Ф ( Р, —, —,...) . (9) др ' 2я 2л 1 др (, ' де ' др О Правая часть этого условия есть функция второго порядка малости по отношению к и и частным производным этой функции по рна. Функция Ь (р), входящая в уравнение (8), определяется через функцию 7 (1р), дающую распределение вектора-вихря по семейству линий тока, такой формулой: (хл) р1 ~®' Будем рассматривать лишь случай бесконечно глубокой жидкости. Искомая функция Р может быть представлена в виде суммы трех функций: Р =- У1 + У, + У. (10) Функция У1 удовлетворяет уравнению Пуассона М'1 = Р1' (Р) и, следовательно, представима двойным интегралом, распространенным на весь круг р = 1: У1(р) = )1 5ЫВ 11$11т) где г — расстояние между точками ($, т)) и (р, а).
На окружности р = 1 функция У1 (р) удовлетворяет условию 2п '„'~' — —,'„~ д,." 18 = О. о Функция Уз берется равной двойному интегралу, взятому по кругу р = 1: Уз (е, у ) = — — Р (У1+ У, + У,..., $, т)) 1п — Ы$ 111Ъ (11) РГ 1 где Р (Р,..., $, т)) — совокупность всех членов правой части уравнения (8) с исключенным первым членом. Функция Уз удовлетворяет уравнению Пуассона 11У = Р. Функция У будет, следовательно, интегралом уравнения Лапласа, 1 20 ВОлны нА пОВВРхности зАВихРкнной жидкости 731 удовлетворяющим граничному условию ал =- — ~ — с(0 — —.
— — А'Кт+ Ф(У+Ус,...). (12) 1 Г д$а дрт дХ 2к 2 др др 2л а Э правую часть этого условия входят значения функции Ут на окружности р: — — 1; эти значения могут быть заимствованы из формулы (11), если считать, что точка (х', у') принадлежит окружноти р =1. Таким образом, определение гармонической функции У привелось к решению двух нелинейных иптегро-дифференциальных уравнений (11) и (12), связывающих граничные значения функций 'т"а и д)11др на окружности *) ) р ) = 1. После решения этих уравнений функции )'т и К найдутся внутри всего круга р ~( 1.
Решение уравнений (11) и (12) ведется методом последовательных приближений; сходимость метода доказывается при соблюдении достаточного условия, что функция Й (1р) удовлетворяет ус- алА — о ловиюГельдера и стремится к нулю по меньшей мере как е при 1р, стремящемся к бесконечности; параметр )А дол1кен иметь достаточно малую величину.
Найденное решение показывает, что волны обладают свойством симметрии относительно вертикали их Вершины. Скорость распространения волн, взятая относительно покоящейся в бесконечности нсидкости, определяется формулой Эри с точностью до первых степеней высоты волны; для волн потенциального типа формула Эри определяет скорость прогрессивной волны с точностью до вторых степеней высоты волны. Отметим, что по характеру стремления к нулю вектора-вихря при неограниченном погружении в жидкость найденные волны повторяют, обобщая их, волны Герстнера. С помощью метода последовательных приближений доказывается существование периодических установившихся волн и для жидкости конечной глубины.
*) Величина У на окружности) р) =1 может быть исключена иа уравнения (12), если нольаоваться формулой тл 1 Г дл' 1 Р(о) = — 1Э вЂ” РА — дЕ, л Э дл г а вытекающей иа основной формулы теории гармонических функций. ГЛ. Ч. ТЕОРИЯ ВОЛН КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ 732 5 21. О волнах на поверхности жидкости неоднородной плотности ди ди 1 др и — + и — =- — — —, дх ду р дх ди ди 1 др и — +и — = — — — — д, дх ду р ду ди ди — + —. =- О, дх ду др, др и — + и — = О.
дх ду (2) Систему уравнений (1) можно представить в такой форме, обозначая через ~ вектор-вихрь: др 1 др — ри1 == — — — — р —, дх 2 дх др 1 дпз ри1 = — — — — р — — ар. ду 2 ду Исключим из этих уравнений давление р, получим дриЬ дриэ 1 д ' дри~ 1 д ! дри~ др — + = — — — ~,Р— )+ —.— 1Р— 1 — й —. дх ду 2 дх ~ ду ) В ду (, дх ) дх Преобразуем это уравнение по уравнениям (2) и (3), найдем дЬ дЬ 1 1'дрэ д1пр дри д1пр 1 д1пр дх + ду 2 1, дх ду ду дх / и дх В этом параграфе мы изложим основное содержание второго мемуара Дюбреиль-Жакотэн о волнах конечной амплитуды (98). Содержание этого мемуара состоит в определении формы линий тока установившегося теченпя неоднородной жидкости между двумя горизонтальными прямыми; предполагается, что течение имеет в горизонтальном направлении данный период.
Эта задача обобщает упомянутое в З 17 исследование П. Е. Кочина о течении двух однородных жидкостей различных плотностей между двумя гориаонтальными прямыми. Па основе решения этой задачи дается далее решение более сложной задачи о движении неоднородной жидкости с открытой поверхностью, вдоль которой давление постоянно. Выведем сначала уравнение для функции тока ф (х, у) неоднородной жидкости плотности р (х, у). Возьмем уравнения гидродинамики в переменных Эйлера для установившегося двизкения неоднородной жидкости: 2 2С О ВОЛНАХ НА ПОВЕРХНОСТИ НЕОДНОРОДНОЙ ЖИДКОСТИ 733 Введем в это уравнение функцию тока, полагая дф дф „д2ф д2ф и= — —, и=— г = — +— ду ' дх ' ~ дх2 ду2 Получим .0(ф, ~) 1 7) (У2, 1э р) д1э р 17(х, у) 2 17(х, у) дх но последний член этого уравнения можно представить так: д 1э р )7 (у, 1э р) д2.
Д )2(х, у) отсюда предыдущее уравненио перепишется так; / 1 11(ф Р 77 2 1 +~У 1'1Р) (5) 11(2, у) 0 (х, у) Но )) — У2+ду 1,1р ))( 12 ) 2У ф) ( так как р — функция величины ф. Следовательно, уравнение (5) примет такой вид: ()(р,г+ — — у +,у) р' 2 О 7) (*, у) Таким образом, между функциями ( ) существует зависимость, не содержащая переменных х и у; итак, Р+,Р(ф) ~2бу+( ф)'+( — ',ф)'1=Р(ф) (6) Это и есть искомое уравнение для функции тока 'ф. Из уравнений (4) находим, что вдоль свободной поверхности жидкости будет иметь место граничное условие (д ) ) ( ) +23'У=сонэ(,. (7) Мы изложим вкратце решение задачи о периодическом двиягении жидкости между двумя горизонтальными прямыми. Допустим, что ось Ох расположена по верхней прямой, которая будет линией тока ф = О; нин1няя прямая граница будет линией тока 2Р = д ) О, и вдоль нее у = — Н. При этих граничных условиях надо найти интеграл уравнения (6), имеющий по переменному х данный период )2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
