Л.Н. Сретенский - Теория волновых движений жидкости (1163302), страница 112
Текст из файла (страница 112)
При изложении этой теории особенно удобно воспользоваться методом Леви-Чивита. Рассмотрим бесконечно глубокую жидкость, текущую со скоростью с на бесконечной глубине. Допустим, что под влиянием силы тяжести и поверхностного натяжения образовались на свободной поверхности жидкости периодические установившиеся волны длины Х. Определим вид этих волн и соответствующее движение жидкости.
Введем на плоскости течения систему прямоугольных координат, беря начало их в вергпине волны О и направляя ось абспксс по скорости с потока в бесконечности, ось Оу проводится вертикально вверх. Рассмотрим часть потока жидкости, ограниченную сверху линией ВСР одной волны свободной поверхности и двумя вертикалями АВ и РЕ, уходящими на бесконечную глубину от двух соседних наипизвшх точен В и Р линии волны (рис. В), а) *).
в/ ат Рис. 80. Придадим поверхности волны ВСР нулевое значение функции тока ар(х, у) н допустим, что вертикальной прямой, проходящей через вершину волны С, отвечает нулевое значение потенциала скоростей тр(х, у). При этих предположениях вертикальные линии АВ и РЕ будут эквипотенциальными линиями со значениями потенциала скоростей, соответственно равными — сХ/2 и сХ/2. Эти предположения соблюдаются для волн, симметричных относительно вертикальной прямой СЕ, проходящей через вершину волны. Такие волны мы н будем рассматривать в дальнейшем. Рассмотрим комплексную функцию течения ю(з) = ~р (х, у) + + пр (х, у). На плоскости комплексного переменного ю = ~р + + йр области потока АВСРЕ плоскости комплексного переменного з будет отвечать полубесконечная полоса, ограниченная в) В рукописи автора отсутствует рис.
80. (Прим. рвд.) 2 23. КАПИЛЛЯРНО-ГРАВИТАЦИОННЫЕ ВОЛНЫ 747 прямой А'В' (для ее точек ~р= — сХ!2), отрезком оси ~р от точки В' до точки Р' (для них ср = — сХ/2 и <р = — сХ/2 соответственно) и вертикальной прямой Р'Е' (для ее точек ~р = — сХ!2) (рис. 80, б). Отобразим конформно область А'В'С'Р'Е' на круг радиуса 1 плоскости вспомогательного комплексного переменного и ~ + + 2Ч. При этом отрезку В'С'Р' оси абсцисс плоскости и будет отвечать окружность плоскости и, прямым же А'В' и Р'Е' будут соответствовать два берега разреза, проведенного из начала координат з .= О, ц =-- 0 в точку и == — 1.
Верхний берег соответствует вертикальной прямой А'В', нижний — вертикальной прямой Е'Р' (рис. 80, в). Рассматриваемое преобразование полуполосы плоскости 2с на круг с разрезом ( — 1, 0) осуществляется функцией сХ АЬО си $ 2с = —,!пи, (1) 22Н ' йи 2я2 и ' Отобразим на этот же круг рассматриваемую область течения АВСРЕ плоскости г так, чтобы неизвестной линии волны ВСР отвечала окружность, а вертикальным линиям АВ и РЕ соответствовали берега разреза.
Такое конформное отображение устанавливается функцией г =- г (и), находимой квадратурой из уравне- ния 1(и) аи АЛ2 и (2) когда из динамических условий задачи будет найдена неизвестная функция г (и). Эта функция должна быть голоморфной внутри круга и на его окружности. Из формул (1) и (2) находим комплексную скорость течения У (и) 7'(0) = 1. Обозначим через У скорость частицы жидкости, а через О угол вектора скорости с осью 0281 в этих обозначениях формула (3) перепишется так. Р е-Е2 Ы~ Иг Введем вместо 1' новую величину т, полагая К = се', получим и-'е = — свил йи (4) Так как точке и = 0 отвечает бесконечно удаленная точка плоско- сти течения, где скорость жидкости есть с, то значение функции ~ (и) должно быть равно единице при и = 0: 718 ГЛ.
Ч. ТЕОРИЯ ВОЛН КОНЕЧНОИ АМПЛИТУДЫ Левая сторона этого равенства есть некоторая функция комплексного переменного, и, следовательно, функция ю (и) =-. — т + 1О есть аналитическая функция переменного и. С помощью этой функции равенство (4) запишется так: ее-м1и). (5) Чтобы определить функцию ю (и), а через нее и функцию 1 (и): 1 (и) = Е"'1'4, составим граничное условие для двух гармонических сопряженных функций — т и д. Применим интеграл Бернулли †.=- с — ду — — р р 1 р 2 (6) к точкам свободной поверхности жидкости.
Непосредственно над свободной поверхностью давление имеет некоторое постоянное значение р,; непосредственно же под поверхностью жидкости давление р будет больше, чем рю на величину, пропорциональную кривизне поверхности жидкости в соответствующей точке. Этот закон Лапласа в теории капиллярных сил приводит к следующему соотношению между величинами р и ре: Ю р — р = — а —, е где а — постоянная поверхностного натяжения, а 1(г — элемент дуги линии свободной поверхности.
Подставим в эту формулу вместо р его значение (6), тогда получим соотношение в точках свободной поверхности а Ю 1 з р, — — — — р — др = — — с. р Ие 2 '. р Продифференцируем это равенство по переменному г, получим а азу 1 ЛУ2 Лу — — — — — — д — = О. (7) р Лее 2 Нг Лг Преобразуем это равенство к другому виду, пользуясь формулами иу Ие Ле Ле з'и 6 ез 2езем Введем в эти формулы вместо е потенциал скоростей <р: ,'Ыф «~т сей Ле 1 22. КА11ИЛЛЯРНО-ГРАВНТАЦИОННЫК ВОЛНЫ 749 Получим а, э (,' — )+ р Е% Ер НЧ се В точках окружности ~ и ~ = — 1, отвечающей свободной поверхности жидкости, переменное и может быть представлено так: и=е".
Отсюда формула (1), примененная к точкам свободной поверхности жидкости, запишется так: АЬР ссА ИО 2я ' Введем в соотношение (8) вместо ср угол В, по этой формуле полу- чим а а' ! Ндг с5. /сИ 4А — еыа — (е' — + — — —,— е-2 з1пд) = О. р ЕВ (, НВ ) 2я (,Ж 2яс2 Это и есть то граничное условие, которому должны удовлетворять действительная и мнимая части — 1 и д функции сэ (и) на окружности ) и (:=- 1, Для выполнения дальнейших вычислений выгодно придать предыдущему условию следующий вид: асВ Нт аВ рьсэ ст ерХ2 — + — — + — е= — — —, е-2' з ш б =- О. НО2 аВ НО 2яа аО 4я-'а (11) Для волн малой амплитуды имеет место следующее соотношение между скоростью потока с и длиной волны А: 2 1 2/Х Хюй г л с и — 2с,.~ — + — "), 2 1Х Л/' относящимися к волнам конечной амплитуды. Положим 1,(Х „') 1 2 л ) с — — е — + — = — е 11.
, .(,,)=, „ (1О) Введем этот параметр в граничное условие (9), получим после небольшого преобразования сЮ с11 Ю т ФВ2,40 с(О +(,» рд)е -рэе- з1 а=О, (11) НВ Таким образом, для этих волн разность между числами левой и правой частей этого равенства равна нулю; это позволяет для опре- деления волн конечной амплитуды ввести некоторый малый пара- метр 11, пропорциональный равности между величинами ГЛ. У.
ТЕОРИЯ ВОЛН КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ 750 1 ДЕ зрЛ2 Лз РЛз~и Л Р = — = 7= ™( — + ). (12) 4лза Лз ' 4ла ЛЛ Л,) ' 22 Отметим, что мезкду величинами р и д существует легко устанавливаемая зависимость 1 — у+р'=-О. (13) Будем искать функции т и 1), удовлетворяющие граничному условию (11), в виде рядов, расположенных по степеням некоторого малого параметра: 2 = ет, 4- е'2, -'- езт + О = еб1+ еч)2+ е'Оз+ " ' (14) функция аз (и) будет представляться также степенным рядом по е: аз (и) = еоз (и) + езазз (и) + езазз (и) +„,, (15) причем ь11(и) =- — 21+ 161, азз (и)== — 22+ 162, 012(и)= — 224-11)з, Для возможности определения функции ьз (и) следует считать, что число Ч также зависит от параметра е; положим Ч еЧ1+ еЧ2+ еЧз+ (16) Беря разложения (14) и (15), мы ищем тем самым волны, весьма близкие к невозмущенному горизонтальному уровню жидкости; при е = О все волновое возмущение потока пропадает и поверхность жидкости становится горизонтальной.
Подставим разложения (14) и (15) в граничное условие (11) и приравняем нулю коэффициенты при различных степенях е. В результате довольно продолжительных вычислений придем к следующим условиям, налагаемым на последовательные коэффициенты разложений (14) и (15): 112Е (17) + ~ — — + дт, — + рЧ1 — + 2р т161~ = О, (18) Г |Й'1 ив1 а'т1 12т1 (4в ив ие ие ат1 Л + р'( — 61'+ 2т162 — 2т,'дз+ 2тздз)~ = О, (19) 4 24 КАпилляРно-ГРАВитАционные Волны В ОБщем случАБ 75~ Е 24. Вычисление рядов, определяющих капиллярно-гравитационные волны в общем случае Определим аналитические функции а, (и), а, (и), аз (и) комплексного переменного и, голоморфные внутри круга радиуса 1 и на его окружности, подчиненные граничным условиям (17)— (19) $ 23. Возьмем условие (17) з 23; это условие мы можем переписать так: Ве ~ 2и — ~и — ) — 4ди — + 4риа,1 =- О, й ! 22а~ .
йа2 Ли 4 йи ) ии имея в виду, что а, (и) = — т, + 42гн Таким образом, действительная часть функции й ( йа2'4 . Иа, 4и — ~ и — ) — 4ди — + 4р а„ ии (, ии) 24и голоморфной внутри круга ! и ( ( 1, обращается в нуль на его окружности; следовательно, эта функция имеет везде внутри кру- га чисто мнимые значения 4т, Отсюда вытекает, что функция а, (и) будет интегралом уравнения и — ~и — ) — ди — +р а,= и. л ! иа,'~ ла, (1) Общий интеграл этого уравнения запишется так: а, = С,и" + Сзии'+ —, Р2 где Й, и Й2 — корни уравнения й2 — дй + р' = (). В силу равенства (13) з 23 один корень й, этого уравнения равен 1, а другой корень й2 будет равен р'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
