Л.Н. Сретенский - Теория волновых движений жидкости (1163302), страница 116
Текст из файла (страница 116)
Имеем Г 1 З Г 1 сЫ х (ф — фа)) + соя хср = 2 соя ~ —, х (в — ва) ~ соя ~ —, х (в — в)~, [х ! Г 1 Г 1 со [х (ф — 'ф,) ) — соя хср = 2 яш ~ —, х (в — ва)~ я)п ~ —, х (в — ва)~, где в = 'Р + Ф ва = )фа~ в= р — Ф ва= — )фа. Отсюда формула (14') перепишется так Г 1 З Г 1 е' = сся ~ —,х(в — ва)~ ОСЛ ~ —.х(в — ва)~, и, далее, т = )и ~с10 ~ ~ х (и — ва)~ с СК~ —, х (в — ва)Д (1б) Пользуясь соотношением дд дт д~р дф находим уравнение для определения функции б: дб 1 — = х) .т = [я,в[к(;;.,)) я.з[к(--а)3 жидкости на гребне волны (илн во впадине), где ~р = О, равна скорости потока в бесконечности. Течение жидкости симметрично относительно вертикали гребня (или впадины) волны, которому соответствует нулевое значение потенциала ~р; значит, в двух точках ~р и — Гэ должны быть одинаковые значения т, поэтому величина ра должна быть взята равной нулю.
Принимая во внимание эти замечания, придадим формуле (14) следующий вид: 1 го. клпиллягные Волны Интегрируя это уравнение, получаем то — г 1п 1см ~ — (ео — юо)11й ~ — (и — и)О)2 . (17) Соединяя формулы (16) и (17), находим функцию Г1 ео = — т+ 1О = 21п(1й! — х(ю — юо)1). с 2 Отсюда получаем, применяя формулу е~ю — = — се-", о'е выранеение комплексной скорости еве ,Г х — = — с с1я" — (ш — ело)~ . «1е Проинтегрируем обе части этого равенства и заметим, что при и = О переменное г равно нулю; отсюда находим связь между г и ил сг = и — — ~гй~ — (ие — ело)1+сд ~ — иго)~.
(18) Положим в этом равенстве ф = О и будем считать величину ф переменной; отделим затем действительную часть от мнимой. В результате этих операций получим параметрическое уравнение волновой поверхности сх = ф — — ем"' (19) 1 + 2емФ ооо хф + еомоа си ( 1+емысоохф 1 (2О) Х 1, 1+2Емовосгмф+ сомы 1+ мое /' Абсцисса х возрастает на величину 2я/(хс), когда переменное ф увеличивается на 2я/х; при этом увеличении ф ордината у не меняет своей величины, отсюда выводим, что волна имеет длину Х, равную 2я Х=— хе Найдем значения у, экстремальные по своей величине. Диффе- ренцируя формулу (20) по переменному ф, получаем ои 4емое (1 — е ОмФ ) с — —— з1п хф.
"ф (1+ 2Емы СОО Хф+ Еемо') Эта производная обращается в нуль при ф = О и при ф = х1х. При этом последнем вначении ф ордината у имеет величину а, 25 772 Гл. т. теОРия ВОлн конечной Амплитуды которую назовем амплитудой волны, а=— хе зь х4~, Перепишем это выражение так: 2Л 1 а= — —. я за х'т2 (21) Отсюда имеем 1Ь х'то = 2Л у 422+ х222 Подставляя это значение 1Ь х2р2 в формулу (15), находим зависимость между скоростью потока, длиной волны и ее амплитудой: 22 С2= 2 (22) где сэ = 2ла!(рЛ) — квадрат скорости бесконечно малой капиллярной волны длины Л. Формула (22) показывает, что волны конечной амплитуды распространяются медленнее, чем волны бесконечно малой амплитуды.
Интересно отметить, что каждая линия тока найденного течения может быть принята за свободную волновую поверхность. Действительно, предположение, что волновой поверхностью является линия тока ф = О, используется лишь при установлении формулы (15). Для линии тока ф = 2р', являющейся свободной границей, будем иметь вместо формулы (15) такую формулу: х1Ь(ф',— фэ) = (23) И далее, зависимость (18) между з и ю будет давать следующие значения для ординаты рассматриваемой линии тока при 2р = = я!х и Ч~ = О соответственно: 4,' — + ~.
Ь~+(ф' — ф.)1+ 1Ь (+ф.)~, ~ — — '~ЛЬ~ — ", (ф' — ф,)1+ 1Ь ( — ", ~,)~. Разность этих ординат дает амплитуду а линии тока 2р': а'=— 2Л 1 х за(х(г2 — $')) ' (24) Вычисляя с помощью втой формулы 2Ь (х (фз — ф')1 и подставляя найденное его значение в формулу (22), приходим опять к формуле (22) с новым значением (24) амплитуды и, следовательно, с новым значением скорости потока.
773 е 26. клпиллягные Волны Чтобы определить вид свободной поверхности жидкости, поставим вопрос: может ли вертикальная прямая х = 0 пересекать поверхность жидкости не только в начале координат, но н в другил точках? Из формулы (19) следует, что потенциал скоростей ф, не равный нулю и относящийся к искомым точкам, будет удовлетворять уравнению «ы ее ее В1в Кф = — кф. 1+ 2ехи сов хи+ ее"Ы 4 Перепшпем это уравнение так: 2 св хфс = — в1п хф — сов хф. зф (25) Начертим кривую 2 у =- — в1п х — сов х.
(26) При х = 0 ордината у равна единице, а у = О. Начиная со значения х = 0 ординаты у увеличиваются от единицы до 1,32703; это максимальное значение у соответствует корню х = 2,080 уравнения 2 е 2 у' = — совх — ~ —.— 1)в1пх = О. х ~хе При дальнейшем увеличении х ордината у уменьшается и при х = н принимает значение единица. При значении х, близком Рис. 33.
к Зя!2, ордината у обращается в нуль. Нам достаточно знать изменение у лишь при увеличении х от 0 до н, так как величина мф изменяется в пределах одной волны от — н до я. На рис. 83 показана дуга кривой (25) в пределах изменения переменного х от †за до за. 774 ГЛ. У. ТЕОРИЯ ВОЛН КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ Рассмотрим теперь уравнение (25). Пользуясь рис. 83, мы видим, что если сЬ хфо ) 1,32703, то ось ординат (плоскости течения) пересекает поверхность жидкости лишь в начале координат. Если же сЬ хф, будет равен точно 1,32703, то ось ординат будет являться касательной к кривой, изображающей волновую поверхность.
Точке касания будут отвечать два значения потенциала скоростей: ср = 2,080!х, ~р = — 2,080/х. Если сЬ хфс будет меныпе чем 1,32703, то уравнение (26) будет иметь четыре корня: два положительных и дза отрицательных. ЩРХ ) дюх ) Ра )' ДЖХ ) РЛ77 1 ааж ( ЯФФ/ Рвс. 84. Благодаря атому линия тока ф = 0 будет иметь две двойные точки на оси ординат плоскости течения.
Таким образом,'допустимые значения ОЬхф должны быть не меньше чем 1,32703; зЬ хфс, вычисляемый по этому значению гиперболического косинуса, равен 0,87212. Возьмем формулу (21) и подставим в нее вместо ВЬ хфс указанное значение, получим а7) = 0,7295. Следовательно, самое большое значение амплитуды капиллярной волны есть 0,72951.. При этом значении ау кривой, изображающей волну, будет образовываться у точки х = 0 небольшой мешок, верхний диаметр которого равен 0,211541. На рис.
84, заимствованном из статьи Крэппера (93), показана волна максимального развития (ей отвечает нулевое значение функции тока) и проведен вместе с тем ряд линий тока с различными значениями функции тока. Дополнение ПЕРЕХОД ДЛИННЫХ ВОЛН С ОДНОЙ ГЛУБИНЫ НА ДРУГУЮ ВО ВРАЩАЮЩЕМСЯ БАССЕЙНЕ ) дхг д~, 1 др — +2ыи = — д — — — — с дС с ду р ду дис дгс 1 дь — + — + — — = О. дх ду дс дс Эта система относится к первому бассейну, к поверхности которого прилонсено, как мы предполагаем, некоторое внешнее давление р (х, у, с). Система уравнений движения жидкости во втором бассейне записывается так: диз д~~ — — 2юг. = — д— дС с дх' див дьз — +2ыи = — д —, дС з ду ' (2) диз дгз 1 д~з — + — + — — = О. дх ду Ьэ дС Поверхность жидкости во втором бассейне свободна от внешнего давления.
Мы будем рассматривать распространение волн в обоих бассейнах в предположении, что вти волны вызваны полем внешних давлений, не изменяющимся по своему виду и равномерно перемещающимся в направлении линии раздела бассейнов с постоянной скоростью с. Уравнение этой линии есть у = О. Будем искать решения систем уравнений (1) и (2) как функции переменных х — сс и у; внешнее давление — функция этих же двух переменных. *) Опубликовано в работе автора (58). (Прим.
рад.)) Рассмотрим два бассейна, находящихся во вращении с постоянной угловой скоростью ы вокруг вертикальной прямой. Допустим, что эти бассейны сообщаются друг с другом вдоль плоскости у = О и первый бассейн распространяется неограниченно во все стороны выше оси Ох, а второй бассейн находится ниже оси Ох и распространяется во все стороны неограниченно.
Предположим, что глубина первого бассейна постоянна и равна йы а глубина второго бассейна равна ~, величине постоянной. Будем все величины, относящиеся к первому бассейну, сопровождать индексом 1, а ко второму— индексом 2. Система уравнений распространения длинных волн во вращающемся бассейне пишется, при использовании обычных обозначений, так: ди, д~с 1 др — — 2ыи = — у — — —— дС ' 'дх р дх' ДОНОЛНЕНИИ 776 При этих предположениях системы уравнений (1) и (2) перепишутся так: диг с— дх дь ( др +2ао,=у дх + до. дог ( др +2аиг5 у д + — д до, с дог + — — — — =О, ду Ь, дх д, В~, с — +2ао =у —, дх з дх' доз с д — 2аиз — — у дх — ° (3) дЬз доз — = О. дх дог с— дх диз доз с — + дх ду Ьз диг дх Такие решения будут найдены в предположении, что давление имеет следующий вид: р(х, у; е)=р(у)е'щ'), (7) где р (у) — данная функция ординаты у.
Пользуясь системой уравнений (3), найдем следующую систему уравнений для функций (6): гй гсйиг+ 2агг — — гуйог+ — р, Р 1 Ф гсйо — 2аи =у + — р дуг сгог гсй рйи + — = — Ь г' гойи, + 2асз — — гуй4зг Щ гсйоз — 2аиз = у — Ыу г(сз гсй гйиг+ ~ = Ь ьз. ду — Ь, Ив этих систем уравнений найдем (4аз — сзйг)из= — у(сйзо +2а й ) — — ~ сйзр+2а й ), 31г~ др Ь сгУ г) Р ду др~ [4аз — сзйг) с = гдй 2аЬ + с — ~ + — (2ар + с — )- ду) (4оР— сзйг) из — — — у (сйзоз+ 2а — ), г(~з Ь ду) ~~из (4оР— сзйз) оз = гуй (2а~з+ с — ) . ду ). На основе этих формул получим два уравнения для определения ьг и ьз.
Запишем эти уравнения, принимая следующие обозначения: 4оР+ (дйг — сг) йз 4аз+ (уйз — сз) йз к, '= Эти две системы уравнений объединяются граничными условиями, которые должны соблюдаться ва всех точках оси Ох: ьг (х — сс, 0) = ьз (х — сц 0), (4) Ьгсг (х — сд 0) = ~из (х — сц 0); (5) к этим условиям следует добавить некоторые условия излучения, о которых будет речь ниже. Найдем частные решения системы уравнений (3), являющиеся произведениями показательной функции ехр(х — сг) на некоторые неизвестные функции одного переменного у: г(у), иг (у), ~г(у)( з(у), оз(у), ~з(у).
(6) ДОПОЛНЕННН Тогда ~Р~, 1 1йзр ') лзг 2(уз 1 1 рд 11(уз ) 2 1(уз 2 2 О. (8) Преобразуем первое из этих уравнений, вводя вместо 21 новую искомуго функцию с, по формуле 1,=1 + ру. Функция ь будет удовлетворять уравнению б2 22 ~1 — яз~' = (аз — яз) (9) Граничные условия (4) и (5) примут следующий вид: ь — =- ьь р ру при у = О. (10~ "~1 У2 < ~З2 2ыь + с 1 — — 2(2ы~ -)- с — 2) бу = а(, (у) с12~ 11у2 2 2 с124 2 — 121 2(222 — — из~ оуз 2(222 2~" = — О ( —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
