Л.Н. Сретенский - Теория волновых движений жидкости (1163302), страница 118
Текст из файла (страница 118)
Р (а). Применим к этой функции интеграл Фурье 1 Р(х — ее) = —. ~ е2212 22Ы ~ Р(а) еезеИа. 2л Введем обозначение Р (а) е 'ГеЫа = Р (й). Тогда Р (й) е~з(х-ее)~(й 2я е Лополнпние 784 Иэятому распределению давлений в области у ( О будет отвечать волна, определяемая в силу формул (2) и (3) з 3 следующим интегралом: й, [' [ехр ( — х,1) — ехр ( — х,с)) ехр [хоу -[- 1й (х — сз)) йо 2дру 2а х, р( ) (йсхс + йзхг) ("с — "2) Положим =* — сг= — ° О, у = — гз!пО и запишем интеграл (1) так: [ехр ( — х,Е) — ехр ( — х,о)) ехр [ — г (х, з(а О+ йй соз ОЦ 2а Х (й,х, + йгхо) — — (й, — й,) й, 42 = Ядра йз Х вЂ” р(й)~с, х, Перепишем теперь этот интеграл, пользуясь безразмериыми величинами т, [), Л: 2а со 1с = йот, хэ —— )сг1 — тс, ~/ —, — 1 =[)а У Рйз 2а 2аг во=в )сог = у сз — у~ У сз — уМ М (эс, О) = [) У 1 — тз з(п 0 + на соз О.
'Тогда для функции Ьз получим следующее выражение: й йз йсйе (' ехР ( — хс1) — ехР ( — х,с) 1см< „) т — с (йСХС+ йздс) С (йг й2) (2 Найдем максимумы и минимумы функции М (т, 0) относительно пере пенного эс. Имеем с'М От — Π— з)а О. ат У1 юз Приравнивая нулю ату производную, получим уравнение [) т зш Π— 1 соз 0 '[с ~ — осо = О.
Отсюда имеем О т=+ — Усоз20 — Озз)пзй ' 1 ~Р'1-8 )О О Обратимся к нахождению асимптотического выражения этого интеграла лля больших значеввй расстояния г = Р (з — сг)2 + уо. ДОПОЛНЕНИЕ 785 Допустим сначала, что 1 — ()е)8 0 >О, а угол О лежит в первой четверти. Так как ) т ) ) 1, то лри соз О 1 и— )' созе Π— Ое з)вз О )/ 1 — ()згпз О (3) будем иметь )/1 — жз =+ (3 гч Π— 1/1 — Озсй 0 будет находиться на верхней стороне разреза (1, сс].
Если же ваять 1 )/1 — () сдзО ' то уравнение ЫМ / с)т = 0 будет удовлетворяться при р1 тз= 8 180 )/1 — Озгб 0 Значит, точка (4) будет находиться на верхней стороне разреза ( — ое, — 1), Если угол 0 будет лежать во второй четверти, то при 1 Р'1 — Оз 18з 0 (4) будем иметь 0180 у 1 — жз = + Р'1 — Озгд 0 (5/ Уравнение ЗМ / е)т = 0 будет удовлетворяться при верхнем знаке, и, следовательно, точка т будет лежать на нижней стороне равреза (1, сс). Если же принять 1 Р 1 — ()3 1820 0180 T1 — тз = -)- Р 1 — ОзгбзО то уравнение ЫМ / йв = 0 будет удовлетворяться при т будет лежать на нижней стороне разреза ( — сс, из того, что 18 О с, О. (6) нижнем знаке и точка — 1).
Все зто следует Определим вторую проиаводную функции М (ве, О): ЕМ ОМО (1 — те] ' 26 Л. Н. Сретенский Уравнение ЫМ / с)т, = 0 будет удовлетворено, если взять в последнем равенстве знак минус в правой его части. Следовательно, точка 1 е' 1 — (:з Сдз О дополниник 780 Для углов в первой четверти при значениях т, образ!ающих в нуль первуто пролзводную, будем иметь (т) 0), ЛзЛХ О« — Оз!8 0)"* . Лтз Вз в!пз О' (т < 0).! ЛзЛХ соз'0« — Вз!ОзВ) ' Вте Взз!аз О Для углов во второй четверти будем иметь ЛзЛХ соззВ« — Вз!ОзВ)" . Ытз ()ззшзО аИМ созе В « — Оз !яз 0) * Н~~ !)зв!па О (т) 0), (т < 0).
Допустим теперь, что 1 — )) !8 '0 < О. Предположим, что угол 0 принадлежит первой четвертк; тогда уравнение ЫЛХ/Лт = 0 будет удовлетворяться прн т=, )/1 — тз = 8!80 )/()2!820 1 ' ')/020820 1 (7] Коли же угол О будет во второй четверти, то В !д В т. =— Ь/1 тз =— Л/(Р!ОзΠ— 1 ' Л/Вз!ОзΠ— 1 Для этих значений т будем иметь соответственно янМ соз'В(()з!Оз — 1) ' 2 т ()з!пО з з (первая четверть) ЛзМ свез 0 (вз !Оз О 1)": !)аз!пз 0 (вторая четверть). (8) Точка т, определяемая формулой (3) 5 5, есть перевальная для функции М (т, В); найдем линию наибольшего спуска, проходящую через эту точку.
Эта линия будет определяться уравнением 1ш ЛХ = соне!, Ве М ) О. В точке (3) $ 5 будем иметь 1ш М = сов В 3/! — !)зьйзО, ВеМ = О. Через эту точку, находящуюся на верхнен стороне разреаа «, со), проходят четыре особые линни, необходимые для установления распределеИня значеншз функции ЛХ (т, О).
Прежде всего, зто — верхняя сторона раз- Для того чтобы составить асимптотическне формулы для функция при больших Х), надо установить на плоскости комплексного переменного т распределение значений функции М (т, О). Предположим сначала, что 1 — Вз !д О ) О, совЕ ) О.
ДОПОЛНЕЫИК реза (1, со). Функция вХ (и, О) имеет в точках этого разреза чисто мнимые значения, меняющиеся от 1 соз О до 1 соз 0 р 1 — рз 13' 0 прп изменении ю от 1 до (1 — 3'13' 0) ' и от 1 соз О )Х1 — Рз 13' О до л~ прп лалы.ейпем увеличении и до со. Через точку (3) 4 5 проходят линия С,, вдоль которой 1ш М =- соз )Х1 — ре 13е О, а действительная часть фувкцпп 31 (т, 0) кзмепястся от 0 до сс; при этом линяя С, будет проходвть отчасти по первой четверти плоскоств, а бгскоэечной своей ветвью — по четвертой четвертг| той же плоскости. Лпнпя С, пересекает депствительную ось в точке т =- Р1 — Оегдей(1; функция ХгХ (и, О) имеет в втой точке такое значение: з(пз 0 М = (12 + 1 соз 0 У 1 — 32 132 О, соз О Линия С, может быть продолжена через точку (3) 4 5 на второй лист ркмановой поверхности функции М; вдаль этого продолжения Сг действительная часть функцни М будет увеличиваться от 0 до се.
Через точку (3) 4 5 проходит, кроме того, линия С„в точках которой функция М имеет чисто мнимые значения, меняющиеся от 1 соз О рг1 — ()з 1яз 0 до нуля, Нулевое значение фугжция М (т, О) принимает при 3 130 т=1 )/) — ()е Гее 0 Наконец, через точку (3) 4 5 проходит линия Сз, вдоль которой функция м (т, 0) имеет постоянную мнимую часть 1 сов О (х1 — с' 13е О, в то вреыя как ее действительная часть меняется от 0 до сс. Ливии С„Сг, С„С, могут быть отображены аеркально откосптельпо мнимой оси. В результате мы получим линни С, С„С, С,.
Вдоль линий С, и С мнимая часть функции М нс меняется и остается равной — 1 соз ОХ Х "гг1 — 3е гяз О; действительная же часть меняется от со до 0 на ветви С, расположенной на втором листе рнмановой поверхности. В точках линии С действительная часть увеличивается от 0 до со. Прн движении по липни С от точки мнимой оси () 130 аг = 1 р'1 — О Сйз0 до точки (4) $5 действительная часть функции М равна нулю, а мнимая изменяется от 0 до — 1 соз 0 у'1 — (Хз гйз О. Вдоль линии С функция М (вг, О) сохраняет свою мнимую часть, равную — 1 соз О г'1 — ре где О; действительная же часть меняется от нуля до — зс. В ааключение ааметим, что в точках мнимой оси функция М (т, 0) имеет действительные значения, при т = 1оо функция М (и, О) равна — сэ, при ОнйО уг1 — Оз сйэ 0 26е 788 ДОНОЛНЕННК функция М(т, 0] обращается в нуль, а при т = — соо опа равка со.
Распределение значений функции М (т, 0) показано ка рис. 85 (через «ЧМ» Рис. 85. и «Д» с «+» или « — » обозначены линии чксто мнимых и действительных значений функции с соответствуюшпми их знаками). Возьмем интеграл (1) 1 5 и выполним его исследование для со20 О, считая сначала, что соблюдается неравенство «И<с<«(й1)сй«2+5«) и, кроме того, число 2(ю(с)(~ — й,) больше наибольшего из чисел 1(0) и У (-~- й,). При этих предположениях ка пути интегрирования в формуле (1) 1 5 будет четыре особые точки: й2 й1 йс й« вЂ” — «- — О« — —, й« й« й« й« Обойдем эти точки маленькими полуокружностями — 72, — у„у„у„лежащими в верхней полуплоскости комплексного переменвого т.
Вместе с тем проведем на плоскости переменного т разрезы ( — оо, — 1) и (1, со), по верхним сторонам которых будем вести интегрирование. Проведем также раарезы ( — оод — П«) и (П«, оас), относящиеся к функции )/сйы»+ (уй, — с») йз 2«1 / т« 2 с' — Уйз гке 12 й — 2' 21 — С ' На рис. 86 изображена плоскость переменного т со всеми разрезами.
Преобразуем путь интегрирования в формуле (1) $5 с помощью непрерывкой деформации. Имея в виду проведенное в $6 исследование функции М (т, О), мы можем первоначальный путь заменить новым, состоящим из трех частей (рис. 87): (1) С + С, (П) ( — со«, — П«) и ( — П«, — оос), (П1) С1 + С1. Направление интегрирования по этим линиям показано ка рис. 87 стрелками. ДОПОЛНЕНИЕ 789 Тан как числа т, и тг не зависят от угла 8, а абсцисса точки пересечеяия линий Сг н С, зависит от угла 0 и меннется от 1 до 0 и от — 1 до 0 Рис. 86.
Рис. 87. соответственно, то при преобразовании первоначального пути нужно для углов У1 —,.; принимать во внимание вычеты всех четырех полюсов: — вз, — гоь т„тз, Для углов О, находящихся в пределах г' 1 — атз г' 1 — гл~ агсс8 8 ( О ( агсгд надо брать вычеты двух полюсов: — тг, тг. Для углов ф'1 — тз 1 О > агссб , О < агссб— б вычеты будут отсутствовать. 79'г доп Укажем значения вычетов для рассматриваемых полюсов: 1'гво гвр (вг) Вев = —,, (о "г — о " -) ехР ( — Л ((1 У ( — гэг эи 0+ оэ гог О)). Олрыг 1 х, (1) кг 1 В этой формуле переменное ю должно быть заменопо аффнксом соответствующего полюса.
После преобразования начального пути интегрирования получим для гэг следующее выражение: 1 г В этой форыуле г" (и, О) есть результат преобразования подынтегральной функцпи (1) т 5 к переменному л = — гт с учетом изменения значешш функ- ции хг (т) пРи обходе точки ветвлениЯ вЂ” 1(о. Что же касаетса гУ (л, 0), то выражение этой функции будет иметь вкд гУ (и, О) = 0 уг( + и' в(гг Π— и сов О; для всех значений п от — 1одо — оо эта функция имеет положительные значения. Возьмем первые два интеграла формулы (2) и найдем для нх суммы асимптотическое выражение при больших значениях параметра В.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
