Л.Н. Сретенский - Теория волновых движений жидкости (1163302), страница 119
Текст из файла (страница 119)
Определягощей точкой при построении этого асимптотического выражения по методу перевала будет точка 1 Ого У 1 гвг овг О (4) Линия б' + С встречает ось абсцисс под углом 45', поэтому, применяя формулы метода перевала, положим ш=— + ре"нг. "гг1 — ~в (дз 0 Используя вычисления 4 6, будем иметь вблизи точки (4) савв О (1 — Рг Сог Р) а М = — гсов О Эг1 — Рвьвзй+ 2вгвв пвО Р + ° ° ° 2р (шо) ехр ( — к,1) — ехр ( — кго) + г 1 6 з 1 о в 0 к г Х С 1 г1 ехр[г(АсовОр1 — р'СК'О+4я)) (. Х (йгяг+ Ьзяг) — ("г — "и) о Отсюда следует, что сумма двух первых интегралов формулы (2) будет иметь такое выражение для больших В: 792 ДОПОЛНЕНИЕ Выражение каждого вычета будет содержать множитель ехр ( — В (О гс1 — те яш 6 + зт соя 6]), где т — аффикс полюса. Для действительных полюсов это выражение стремится к нулю, как показательная функция с отрицательным аргументом.
Для кохшлексных полюсов, находящихся под действительной осью, действительная часть корня гг1 — т' положвтельна, а, следовательно, действительная часть показателя степени отрицательна при соя О ) О, н вся функция при этом быстро стремится к нулю при неограниченном увеличении В. Такое же ааключение легко выводится и при соя О ( О. Формулы (5) и (7) приводят к следующему ааключению: внутри угла В имеет место асимптотическая формула ] Ьзз 1 ьз (' 2„= =]Р (еп) ехр ~ 1 ( В соя О г 1 — ()з Сйз 6 + ее + 4 я)~ + 1 + Р (т ) ехр ~ — е (В соя О гг1 — ])з сиз О +;П + 4 я)~) . Беря от правой части этой формулы лишь действительную часть, получим уравнение поверхности жидкости в мелком бассейне для больших значений 2оег переменного В = а именно: ]е'сз — дЬз ' )ЬЬ,' Х у (Р(в ]+Р(т )] соя]ВсояО гс1 — рззйзО+(е+ 4 !.
(9) з 2 ледя Линии равной фазы имеют вид, близкий к гиперболам, обладающим общей асимптотой 6 = агс19 (1(])) и действительной осью. Все предыдущее исследование было проведено в предположении, что скорость с удовлетворяет неравенствам у(Ье — ) Ье~+~) (с (РЬе.
Если же с будет удовлетворять неравенствам (10), то, как показано в конце 9 4, уравнение Л(Ь) = О не будет иметь действительных корней, а мнимые корни будут давать вычеты, стремящиеся к нулю при  — сс, как показательная функция с отрицательным аргументом. Следовательно, и в этом случае для ье имеет место асимптотическая формула (9). В конце 9 6 были указаны аначения переменного т, отвечающие перевальной точке для углов О, удовлетворяющих первенству 1 — 6 ся 6 (О. Для этих вначений перемонного т функция М (т, 6) имеет следующие действительные значения: се,ее- ото е'е е е„,е>ой, ие, ее — — ° ео'Е'~7е — е Е. о<ее. Повторяя разбор функции ьз, изложенный в настоящем параграфе при соблюдении неравенства 1 — ])з сйз О ) О, можно убедиться, что при наличии противоположного неравенства функция зе будет убывать с увеличением В, как показательная функция отрицательного аргумента, 702 допопнвяин Исследуеи теперь ", в предположении, что величина у =- В з)п В может принимать значения от 0 до некоторого У ( О, н найдем асимптотическое выражение ьз для больших значений 3 = г соз О.
Пользуясь формулой (1) 1 5, запишелг Ьз в таком виДе: г з " тз [ехр ( — к,)) — ехр ( — кИ)] ), ьз ьз 2гсру Р (~) (л,к, + 5 кз) — — (Ь, — Д ) 2ю ! т~',] йи Х ехр — [у [г~ — з+ ' — ~~ (1) Путь интегрироваяия можно преобразовать так, что части его ( — сс, — 1) и (1, сс) останутся без изменения, а отрезок [ — 1, 1] преобразуется в прямые ( — 1, — 1 — сои, (1 — сод 1) и разрез ( — с и, — )з~), Интегралы по этим прямым убывают обратно пропорционально з, и значение интеграла будет определяться вычетами подывтегральпой функции относительно полюсов, которые пересекаются начальным путем интегрированна при его преобразовании в указанные выше части.
Прн определенных соотношениях между величинами Ь„йз и с подынтегральнзя функция может иметь четыре, два или нуль действительных полюсов гз,. Если же выпадают два действительных полгоса, то появляются два мнимых сопряженных полюса. Вычет полюса, имеющего отрицательную мнимую часть, будет при стремлении х — сг к — з неограниченно уменьшаться, как показательная функция отрицательного аргумента. Таким образом, интерес представляют вычеты от действительных полюсов. Определяя эти вычеты, найдем в полосе О,- у ) У следующее выражение: з l, 1 4 з ьз — ~)п Р(ж~) 1 ехР[бв (х СС)+гпг 1 )в~] г )з кз Суммирование распространяется на корни т, уравнения 2ы (Ь,кг + азха] — — (Ь, — йз) = О, (2) расположенные на отрезке [ — 1, 1].
При переходе к действительным числам суммирование распространяется лишь на положительные корни этого уравнения; таких корней может быть два, один или ни одного. Полученная формула для Ь показывает, что в полосе О) у ) У распространяются незатухающие по отношению к з — сг волны. В направлении, перпендикулярном оси Оз, аппликаты поверхности волны резко падают. Найденные волны, обяаанные переменной глубине бассейна, аналогичны волнам Кельвина; скорость их распространения не зависит от длины, равной 2я!й„где й, — корень уравнения (2), переписанного для 2епп й= —.
сз — дЬ С такими волнами, связанными с изменением глубин бассейнов, встретился )И. С. Лонгет-Хиггинс при исследовании распространения свободных волн. допопнннин Все предыдущие рассмотрения относились к тому случаю, когда имеют место неравепства 1 — О« 18« 0 ) О, соэ 0 ) О. Рассмотрим теперь выражение ь«в предположении, что угол 0 удовлетворяет неравенствам 1 — 8 18 0>О, ° ° 0<0. (1) Рис. 88.
по положительным значениям, увеличивающимся до бесконечности; «ЧМ>— линии чисто мнимых значений. Так как нули функции (~к, + Ь,к«) — 2(ю/с)(Ь, — Ь,) обходятся сверху маленькими полуокружвостями, то прй преобразовании начального пути в НОВЫЙ Путъ, КОтОрЫй будЕт ПрОХОдИтЬ дВаждЫ раэрсэ (11«, «оэ), В ПРЕОбраэО- ванное выражение не будут входить вычеты действительных нулей знаменателя (если при данном с они имеются), но могут входить вычеты комплексных корней.
Вычеты этих корней дают в общем выражении (з слагаемые, быстро стремящиеся к нулю при удалении от линии у = О. В силу этого при з— — сг) 0 не будет незатухающих волн кельвиновского типа. Форма пути интегрирования с верхним обходом полюсов и была выбрана так, чтобы при х — сс ) 0 не было незатухающих волн. Таким обрааом, при больших В, а равно и прн больших (х — сг ) аппликаты точек поверхности жидкости убывают до нуля, следуя показательной функции с аргументом, стремящимся к — оэ.
Предположим, что с«<д~ < гЬ,; тогда для всех действительных Ь величины к, и к, будут действительными и возрастающими вместе с переменным Ь. При Ь = 0 Ьгк, + )ь«кэ = 2ю (~ — ~ + ~гг — ) . Следовательно, если будет иметь место неравенство 2ю (~/ — '-)- ~У~«) < — (Ь,— Ь ), (2) На рнс. 88 показано распределение аначений функции ЛХ (т, 0) в предположении (1). Вдоль линии «Д +з действительная часть функции М меняется ДОПОЛНЕНИБ 795 то уравнение 2ю (ЛР1+ Лзк ) — (Л1 — Лз) = О будет иметь два действительных корня, приводящих к одной волне.
Неравенство (2) соблюдается, если скорость с достаточно мала, а именно удовлетворяет неравенству с ( 3/К вЂ” РГЬ'А. В этом случае в окрестности иаменения глубин будет развиваться система незатухающих волн кельвнновского типа. Точка экстремума функции М будет находиться на мнимой оси, и в силу этого асимптотическое выражение интеграла будет порядка убывающей показательной функции. Допустим теперь, что имеет место неравенство у~ с. уЛ1 с с'.
Значения функции )Чкг + ~на в промежутке ( — Ле, Ле) будут заключены между 2ю Р у (Л1 — Лт) 2сг Л1 Г ДIЛ1+ ггаз) у уЛ1 у'се — дЛз ую Для выполнения уравнения 2ю (ЛР,+ Лзмг) — с (Л1 — Лз) =О необходимо соблюсти неравенство 2о Рся (Л, — Лз) 2ы — Л1 ( — (Л1 — Лз)' )' УЛ Р се — УЛз из этого неравенства следует, что Л, г' се — уЛз Л1 — Лз~ с Но зто неравенство противоречиво. Следовательно, уравнение (3) не имеет действительных решений.
Значит, нет свободных волн типа Кеяьвина, свяванных с разломом глубин. ф йо Рассмотрим теперь вкратце свойства функции ь1 для значений у от 1 до со. Взятому в 5 5 закону изменения давления р (х — сг) будет отвечать следующая функция ь11 1 — Лзр (Л) (сЬ к1) — сЬ х,я) ехр [ — я у -)- 1Л (л — с1)) сЛ -[- 2нру О +— Г лер(л) [ехр( — кгН вЂ” ехр( — н,г)] ехр [ — лгу+ 1л(л — сс)) 2ярд Э к, 201 УЛ. (() (ЛР1+ Лекг) — „. (Л1 /': ) Введем для исследования этих интегралов вместо л — са и у новью УОЕ дополынние независимые переменные г и ф по формулам з — с»= — гсозф, у= »+гз»п и положим вместе с тем сз — — =а, В =йгг, й =угу, уй, 2ю = йп 1/ уй — сз с/ (д, ф) = а эш ф уг» + д~ +»у соз ф где д — новое переменное интегрирования.
При таких обозначениях показатель экспоненты — х,у + гй (х — с») запишется так: 2ю» — „У», у — ПЕ(у, фй Ууй Отсюда выражение функции 1, примет вид Л'„ / 2ю1 — — ') д~р (д) (сан㻠— ой х е) ехр ( — — )/» + уз) е ~О/с' О/с/д+ йз уэр (д) ехр ( — хг») — ехр ( — х,е) + 2яру,) х„ — (й,х, + йзхэ) — — (й, — йэ) 2ю» Х ехр( — — уг»+ дэ) е ко»с о»/»у, (2) )/уйг Асимптотическое выражение функции э, для больших значений Л будет определяться поведением функции й»(д, ф) около нулей ее производной «е зшф+»созф 'Ч )/»+уз которые имеют следующие значения: — + ')/» + аз Сдз ф Отсюда вытекает, что для больших значений Л и для всех углов ф величина э, будет убывать, как показательная функция. Таким образом, для у ) не будет тех волн, которые были нацдены в $7 в определенной угловой области второго бассейна.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
