Л.Н. Сретенский - Теория волновых движений жидкости (1163302), страница 110
Текст из файла (страница 110)
Нас интересует гл. у. Теория волн кОнечнОЙ Амплитуды форма линий тока ф = сопз1. Чтобы определить этп линии, целесообразно дать уравнению (6) новый вид, вводя переменные р и а, которые были использованы в предыдущем параграфе. Прежде всего, вместо переменных х, у вводим новые независимые переменные х, ф; искомой функцией будет у (х, ф). Затем, вместо функции у вводим новую неизвестную функцию О' (х, ф), полагая у = — Аф + Н (х, ф); величину А можно рассматривать как значение, обратное скорости потока: А = 1/с. 2.".А — — Ф рг а 2я а = — х.
Л Первоначальная область течения, определяемая неравенствами — — Л(з( — Л, — Н(у(0, 1 1 преобразуется на плоскости полярных координат р, а в корону, ограниченную окружностями а~А р=1ир=е ' <1. В точках первой окружности функция Н (и, р) обращается в нуль, в точках внутренней окружности функция Н (а, р) также будет равна нулю, если числу А приписать значение Н(д. Уравнение (6) после выполненных замен переменных примет следующий вид для функции Н (р, и): р др (~ др)+ рз дат+ (р)(р р др) ~(р) ' ( здесь приняты такие обозначения: В= —, р= — А', /(р)= — ( — )А Л(Ф) дЛ э т Лт ((4Р) 2Я АРз ' 2Я ' (, 2Я ) рз Л(ф) = — — ' др д'Р ' В уравнении (8) функция г' есть многочлен второй степени по Н и ее производным первого порядка с коэффициентами, зависящими от р и а.
Поставленная задача гидродинамики состоит в определении интеграла нелинейного дифференциального уравнения (8), обра- 2пА щающегося в нуль на двух окружностях р = 1 и р, = е Таким образом, вместо уравнения (6) будем иметь новое уравне- ние для функции Г с независимыми переменными х, ф.
Вместо этих независимых переменных вводим новые независимые переменные р и а, полагая 1 21. О ВОлнАх нА пОВеРхнОсти неОднОРоднОЙ жидкости 735 (11) где т — какое-нибудь целое число. Функции ат (р) и Ь (р) являются интегралами уравнения дМ дс р' —,, + р(1 — рэв(р)) — + (рр'В(р) — и'] с = О, (14) удовлетворяющими условиям ат (ра) = ат (1) = 0 Ьт (ро) = Ьт (1) = О. Очевидно, что функции ат (р) и Ь (р) тождественны между собой. Введем вместо функции а,„(р) и числа р новую функцию 1 (р) и число )г, полагая )А = р — т, р 1 (р) = — а (р) = — Ь (р).
Заменим вместе с тем неаависимое переменное р на новое незави- симое переменное 1, вводимое интегрированием уравнения дэр /( Ыр )а 2т+1 — рэВ(р) асс /~д1/ Р Искомый интеграл ищется в виде суммы двух функций 0 и удовлетворяющих соответственно уравнениям — — ) р — ) + в (р) ~ро — р — ) — у (р) = о, д Г дВ ~ ~ дВ 1 а ) (9) 1 д / д6'11 1 Ф171, I дб', т — — ~р — '~+ — —,'+ в(р)('ри,— р — ''~ = в. (1о) р др (, др) ре дат др ) Интеграл уравнения (9), обращающийся в нуль при р = 1 и р == р„не всегда может существовать. Если число р будет соб- ственным числом однородного дифференциального уравнения 1 д ' дВ ~ / дВ 1 — — (р — )+в(р)(ре — р — ) =о, Р др ~ "Р др то функция ) (р) должна удовлетворять условию, вытекающему иа третьей теоремы Фредгольма, чтобы существовал надлежащий интеграл уравнения (9).
Если же число р не будет собственным числом, то уравнение (9) будет иметь интеграл с рассматриваемы- ми граничными условиями. Будем предполагать в дальнейшем, что число р не является собственным числом уравнения (11). Обратимся к решению уравнения (10) и рассмотрим линейное уравнение, получаемое отбрасыванием нелинейной правой части этого уравнения: 1 д ~ дУ т 1 дав, / дУ) — — (р — ') + — — '+ В(р) (рӄ— р — ~ = О. (12) р др (, др ) ра даа др Это уравнение имеет частные решения такого вида: У,=а (р)соата, У,=Ь (р)а(пта, (13) ГЛ.
У. ТЕОРИЯ ВОЛН КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ при граничных условиях р=1, — =1 при 1=1; 21Р пусть вместе с тем будет ~а = а (Ро). В новых переменных уравнение (14) примет такой вид: — "" +р~В( — "'Д( =0. Из теории граничных задач для уравнений второго порядка следует, что существует бесконечное число положительных чисел (А, при которых уравнение (15) имеет интеграл, отличный от нуля и удовлетворяющий граничным условиям 1 (1)==0 при Е=йои1= — 1. числа (А зависят от целого числа т, неявно входящего в коэффициент .уравнения (15); обозначим эти числа (2 так: )А ю т=-0,1,2,3,..., )2=1,2,3,4,...
(16) Каждому числу (2 о будут отвечать две функции (13), удовлетворяющие уравнению (12) и соответствующим граничным условиям. Здесь следует отметить одно любопытное обстоятельство, которое может иметь место при некоторых законах распределения плотности жидкости. Это обстоятельство состоит в том, что число р, входящее в уравнение (12), может иметь одно и то же значение при разных значениях целого числа т. Это будет при соблюдении следующего равенства для целых чисел Л21 и Л22: Л21 + (от Н = Л22 + (оаап При соблюдении этого равенства уравнение (14) будет иметь для соответствующего числа р не два решения вида (13), а несколько (вообще говоря — четыре). Такой исключительный случай требует особого изучения и оставляется в дальнейшем в стороне.
Уравнение (10) в частных производных может быть приведено к интегро-дифференциальному уравнению, определяющему тот интеграл уравнения (10), который удовлетворяет поставленным граничным уловиям. Это интегро-дифференциальное уравнение устанавливается введением функции Грина С для задачи Дирихле с нулевыми значениями на окружностях р = р, и р = 1. С помощью функции Грина уравнение (10) заменяется интегродифференциальным уравнением 1 оя У1 = —,~ ~ С~В(р) (рр — р —." ) — Р~рйр((а. (17) оа о 2 2! О ВОЛНАХ НА ПОВВРХНОСТИ НКОДНОРОДНОИ ЖИДКОСТИ 737 Пользуясь результатами теории нелинейных уравнений, Дюбреиль-Жакотэн показывает, что уравнение (17) имеет решение, близкое к тем решениям (13), которые даются линейной теорией.
Таким образом, устанавливается (за исключением тех особых случаев, о которых говорилось выше) существование установившихся периодических движений тяжелой неоднородной жидкости, заключенной между двумя горизонтальными прямыми. Найденные движения жидкости, имеющие по отношению к переменному х период А„ зависят при взятом )з от числа р ю у которого индексы т и 72 принимают целые значения от 0 до оо. Таким образом, периодических движений данной длины 7 существует бесконечное множество.'Функция В (р) зависит от параметра )с!д и от числа т; следовательно, собственные значения (А а зависят от целых чисел т и 72 и от параметра )зс/д.
Отсюда, принимая во внимание определение числа р, получаем соотношение с' = "7" (18) 2Я (Ас ) При наличии этого соотношения простое поступательное двиясение жидкости со скоростью с переходит в периодическое установившееся движение, характеризуемое числами (ь а и длиной периода 2, в направлении оси Ох.
Таким образом,при соблюдении соотношения (18) движение жидкости с прямолинейными линиями тока может перейти в периодическое двия<ение с волнообразными линиями тока, т. е. возникает новое по форме движение. Отсюда соотношение (18) можно назвать уравнением разветвления в данной нелинейной задаче. Задача о волнах на поверхности потока неоднородной жидкости, имеющей открытую поверхность, приводит такпее к рассмотрению нелинейного интегрального уравнения.
Это уравнение вытекает, как и в рассмотренной задаче, из дифференциального уравнения (8), но граничное условие для р = 1, отвечающее свободной поверхности, имеет в новой задаче более сложный вяд, чем У =- О. Это условие, выражая постоянство давления в точках свободной поверхности, повторяет условие (9) э 20. Рассмотрение интегро-дифференциального уравнения новой задачи несколько сложнее, чем рассмотрение уравнения (17).
Результат изучения этого уравнения состоит в доказательстве существования периодических установившихся волн *). *) Пря доказательстве существования периодических волковых двкжеявй неоднородной жидкости Дюбрепль-7йакотзп пользуется результатами, полученными ею в статье [97). 24 л. Н. срстенснна ГЛ. Ч. ТЕОРИЯ ВОЛН КОНЕЧНОЙ АЬГПЛИТУДЫ тзв 5 22. Периодические волны на поверхности завихренной однородной жидкости Основные результаты, полученные Дюбреиль-Жакотэн в теории волн, были снова найдены и широко развиты Гуйоном (104).
Возьмем сначала в качестве независимых переменных величин х и ф. Компоненты', скорости и, Р частицы жидкости будут функциями этих переменных: и = и (х, ф), и =- Р (х, ф), причем дс дф и= — —, ду ' дх Перепишем уравнение непрерывности в переменных х, ф, получим ди ди ди — +Р—,— и — =О. дх дф дф (1) Составим затем выражение вектора-вихря в переменных х, ф, имеем дг ди ди ди , ди (2) дх ду дх. дф ' йф Величина ь есть функция только переменного ф; обозначим ее через ((ф) и будем считать заданной.
Отсюда равенство (2) перепишется так: ди ди, ди — + и —. + и — =- 1 (ф). дх дф дс (3) Таким образом, для определения компонент скорости и, и имеем два уравнения (1) и (3). При рассмотрении этих уравнений будем считать, что составляющая скорости и близка к скорости потока с в бесконечности. В согласии с этим положим и = с(1+ (1), Р =- — сУ.
(4) Новые функции й1, У малы по своей абсолютной величине и являются функциями переменных х и ф в пределах одной из периодических волн длины Х и для жидкости бесконечной глубины эти переменные заключены в таких пределах: 1 1 — — Х(х( —,)„0(ф( О. 2 2 (3) Нулевому значению ~)~ отвечает свободная поверхность жидкости, причем для х = 0 имеем вершину волны с горизонтальной скоростью.
Преобразуем уравнения (1) и (3) к функциям (У, У и введем вместе с тем новые независимые переменные а и р по формулам 2 Ф х р с ы 1 1 ан ВОлны нА пОВеРхнОсти одногоднон жидкости 739 Область потока, ограниченная свободной поверхностью и двумя 1 вертикальными прямыми х = — 2 ), х =- — „, ), преобразуется во внутренность единичного круга с разрезом по радиусу я = ~ я. В переменных а и р уравнения (1) и (3) запишутся так: дс 1 ди ди (1 — ' и) — — — — Р— == 6, (6) др р ди др ди дс ! ди (1+ н) д +и —,+ — д =ср(р), (7) где 2яср 2 (8) При написании этих уравнений У, й заменены и, ш Относительно функции / (р), определяющей величину вектора-вихря на линиях тока, будем считать, что 7 (р) стремится к нулю по меньшей мере как р, когда это переменное стремится к нулю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
