Л.Н. Сретенский - Теория волновых движений жидкости (1163302), страница 107
Текст из файла (страница 107)
2я Следовательно, для точек дна канала или для точек окружности ) и ~ = г„отвечающей дну канала на плоскости переменного и, должно иметь место условие функция Ь (9) задается. Таким образом, на окружности ~ и ~ = 1 должно соблюдаться условие (4) з 15, а на окружности ~ и ~ = г, должно соблюдаться условие (1). Найдем по этим условиям функцию го в точках окружности ( и ) = 1. Допустим, что на окружности ! и ~ = ге известны значения — Ь (9) действительной части функции Я комплексного переменного и, а на окружности ~ и ) = 1 известны значения производной Н 1п ШЫО по углу 9 мнимой части той же функции Е.
Тогда, если функции Ь (О) и и 1п БИО нечетные по отношению к углу О, то значения функции а на внешней окружности короны 7!В ГЛ,У. ТЕОРИЯ ВОЛН КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ будут определяться формулой *) (В) 4 ~ . ( ~~~ 01ппзгбппо ГО + ГО 1! !и В (о) Ч з 010,/ ! п и гп го " Мп В,гп и -и у 0=1 Подставим в эту формулу вместо производной 11 1п 11 (О)гого ее выражение (7) $ 15, вытекающее из условия на свободной поверх- ности, получим и ю(В) = — ~(г(о) ~~ „„г(а— 4 Г ьт 01ппВз!впо гп+г и о г-и гп 2 Г гбвю(о) \ ! го го 01в пз з!ппо — — д~ г(О.
В э и г +ге "Ггп )гй о ! 1 11 ~0!в 10(о)эе 0=-1 о (2) Одновременно с этим уравнением можно вывести другое уравнение для функции ю (0) в точках внешней окружности. Для получения нового уравнения укажем формулу, определяющую 1п В как значения действительной части функции 1п Л + + !ю на окружности ) и ) = 1 через значения функции ю на внутренней и внешней окружностях короны. Имеем и 1пл= 4 ~ь(О)~ В О— 1 'О ГО и — — „~ю(О) ~ О п=1 г,",+ г,,п 'и сов пОэ(п пот!О. г — г и о а Проинтегрируем формулу (7) э 15 по переменному О, получим 1 Л = — — 1П ~1 + )ь $ э1П ю (О) 110~ .
о с помощью определения коэффициентов а„через задаваемые функции Ь (0) и ьг1п Л1ьге, *) Эта формула может быть получена кз разложевкя Лорана функции 2(и) в кольце Ог ь(и)= ~ и 11. МЕТОД ЛЕВИ-ЧНВИТА И ЕГО РАЗВИТИЕ 719 Подставляя это значение [п г( в предыдущую формулу, находим второе уравнение для функции гэ (О): в :т О [в ~1+ р ~з1В1о(О) ЕО~ = — ~ 1о (о) у ' ' '„соз ВОВ1п подо†о о — — [Ь (о) Т """ гЬ (3) — — о ~~ О п=1 Это интегральное уравнение было получено Понсеном в большой работе, посвященной теории установившихся волн на поверхности жидкости, текущей в канале переменной глубины [167[.
Одновременно с этим уравнением Понсеном было составлено и исследовано уравнение для волн, образующихся на поверхности потока, дно которого изобра1кается кривой, обладающей двумя асимптотами: к одной асимптоте кривая приближается при х= — — оо, к другой асимптоте приближается при е = оэ. Понсен дал доказательство существования рассматриваемых волн и для периодически изменяющейся глубины канала, и для непериодически изменяющейся его глубины.
Примененный метод последовательных приближений дает сходящиеся ряды для малых значений параметра (А, что отвечает быстрым потокам или мелким каналам. Отметим, что работа Понсена является развитием исследования Вилла о вытекании тяжелой жидкости из отверстия в трубе переменного сечения [199[.
$ 17. Метод Леви-Чивита и его развитие Исследование Леви-Чивита об установившихся волнах конечной амплитуды отличается от изложенной выше работы А. И. Некрасова иным способом определения гармонической функции Х, подчиненной граничному условию (11) з 13 [143), И44]. Кроме того, начало исследования ведется в более общих предположениях, чем в работе А.
И. Некрасова. Именно допускается, что лишь профиль волны установивпгийся, а не все движение установившееся. С помощью двух добавочных предположений, налагаемых на поток, доказывается, что и все движение жидкости будет установившимся. Эти двапредположения состоят в следующем: 1) дебит течения, обусловленного волнами, конечен через каждую вертикаль, движущуюся с волнами; 2) поток жидкости через всякий отрезок вертикали, переносимой со скоростью потока, остается конечным с увеличением времени.
720 гл. у. тгогпя волн конечиоп Амплитуды Далее, в изложении А. И. Некрасова предполагалось с самого начала, что волны симметричны относительно вертикали гребня. Леви-Чивита не делает этого предположения, а выводит его из получающегося решения. Дадим краткое изложение основ метода Леви-Чивита, используя те обозначения, которые приняты в этом методе.
Будем рассматривать вместо функции Я метода Некрасова функцию — Я, которую обозначим через ю (и); отделяя в этой функции действительную ее часть от мнимой, положим ы = 6+1т. Следовательно, 1п Л и ы метода Некрасова должны быть заменены соответственно на — т и д. В этих новых обозначениях условие (11) 2 14, которое должно соблюдаться в точках окружности ( и ~ = 1, запишется так: 7 З сж н2 э1пй ИО 2 или лт рс-ж эгп Ыэ где гЛ р = — нэ 2 2жэ Это есть разрешающее уравнение метода Леви-Чивита. Допустим сначала, что т и д столь малы, что условие (1) можно считать равноценным такому: — = рд.
Ыт э'0 (2) Функция а (и) комплексного переменного и, голоморфная внутри круга единичного радиуса и удовлетворяющая на окружности этого круга условию (2), пишется так: го = — Иир, где р должно быть целым положительным числом; т — произвольное действительное число. Число р следует взять равным единице, чтобы иметь на круге ~ и ~ ( 1 иэображение лишь одной простой волны. Итак, го = — пи, д = т э1п В, т = — т сов О. Заметим, что равенство р = 1 приводит к известной формуле теории бесконечно малых волн г3, с 2я 2 17.
МЕТОД ЛНВП-ЧИВИТА И РГО РАЗВИТИЕ 721 Перейдем теперь к отысканию голоморфной функции ад (и), удовлетворяющей полному условию (1). Метод Леви-Чивита можно определить как метод получения волн, близких по своему профилю к горизонтальной прямой, так как решение задачи ведется путем определения коэффициентов степенных рядов ,2+ .З (3) Й = 1 — р = Йдт + Йзт~ + )ззт~ + (4) В предположении, что параметр т — малое число. Для вычисления коэффициентов рядов (3) и (4) придадим условию (1) следующий вид: — „'„— О = (1 — 12) Р— ОО, (5) где Р = е-'здп Π— О. Разложения искомых функций т и О будут Од~ + 82т + Оз~ + т = тдт + тзтз + тзтз +... (6) (7) которое должно соблюдаться на окружности ~ и~ = 1; функция Р перечисленных в ней аргументов является известной по предыдущим вычислениям.
Согласно указанному выше соглашению о выборе параметра т функции т„и д„не должны содержать в своих разложениях Фурье членов с здп 0 и соз О. Следовательно, правая часть предыдущего равенства не должна содержать зш О. Отсюда получается значение коэффициента й„;. п й„, = ~ РпздпООО. 1 Можно считать, что функции О„и т„не содержат, для и )~ 2, в своих разложениях Фурье членов с здп 8 и соз 0; такие члены присутствуют лишь в выражениях функций О, и т,.
Этому допущению соответствует вполне определенный смысл вспомогательного параметра т. Подстановка разложений (6), (7), (4) в условие (5) приводит к серии условий, накладываемых па коэффициенты рядов (6) и (7). Если коэффициенты О и т, номер которых равен или меньше чем п — 1, уяде найдены, то коэффициенты д„и т„могут быть вычислены из условия пдт Оп Рп (тдд тз~ д тп-дд 01 Оз~ ' д Одд-1~ ~д~ й2 ' гп-2) — йп дздпО, (8) 722 ГЛ, У. ТЕОРИЯ ВОЛН КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ При соблюдении этого равенства функция ы„(и) определится внутри круга [ и[ ( 1 формулой оз„(и) =.
— ~ ие [и м (Р— )с„,з[ЛО)НО. г 1 — ие Таким образом, коэффициенты четырех рядов (3), (4), (6), (7) вычисляются. Построением соответствующих маткорантных функций ЛевиЧивита доказывает сходимость этих рядов для малых значений параметра у. Тем самым задача о периодических установившихся волнах конечной амплитуды может считаться решенной. Используя метод Леви-Чивита, Струик дал доказательство существования периодических установившихся волн конечной амплитуды на поверхности жидкости постоянной конечной глубины. Решение задачи о существовании таких волн достигается построением степенных рядов вида (3), (4), (6), (7), удовлетворяющих условию (5) на окрузкности ~ и[ = 1 и условию обтекания дна бассейна: д = — О при ) и ! = г ( 1.
Методом мажорантных функций устанавливается сходимость еееречисленных рядов между окружностями ! и ) = 1 и [ и ! = ге и тем самым доказывается существование рассматриваемых волновых движений е). Применяя метод Леви-Чивита, Н. Е. Кочин [14) дал решение задачи о периодических установившихся волнах на поверхности раздела двух жидкостей различных плотностей.
Содержание задачи, решенной Н. Е. Кочиным, такое: на поверхности раздела двух слоев жидкостей различных глубин и плотностей, заключенных между двумя горизонтальными прямыми, образовываются установившиеся периодические волны. В ревультате решения находится, что длина этих волн и средние скорости движения жидкостей вдоль граничных прямых связаны соотношением, включающим в себя амплитуду волн. По отношению к задачам Леви-Чивита и Струнка задача, рассмотренная Н. Е. Кочиным, отличается особой трудностью, заключающейся в том, что потенциалы скоростей верхнего и нижнего потока по-разному меняются вдоль линии раздела потоков, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
