Л.Н. Сретенский - Теория волновых движений жидкости (1163302), страница 103
Текст из файла (страница 103)
Вновь введенные величины Р,, Р„..., Л, являются вполне определенными функциями переменных Ь, с. Укажем разложение величины у: 7 = 1 + — езезк" (пз -]- 2и' совз пЬ). 1 2 (44) Слагаемые с нечетными степенями е отсутствуют в атом разлозкепии. Далее имеем такие разлозкения: з Г 1 д =- — = о ~1 — — е'сз"" (и' —,'- 2из сов' пЬ)1, 2 (15) т = ] 1 — —, е'е'к" (и' + 2т' соя' пЬ)~Р1. 2 Определим давление в жидкости с помощью интеграла Бернулли — = С вЂ” дз — — У. Р з Р 2 Подставим в правую часть зтого интеграла вместо х, у, г их выражения через переменные Лагранжа. Имеем '= '[( —::)'+( —:")'+( —."')'1 Подставим сюда вместо а, у, г, о их разложения (6) и (15). Пользуясь формулами ([3), находим для р/р следующее выражение: —" = С вЂ” дс — — оз [т' (Р,' + (1', + Л,') — 4уз1 е'— — Г, сов [т (т + а) 1 — Гз сов [2т (ъ + а)1 — Г, сов [Зт (т + а)1, (46) 692 ГЛ.
У. ТВОРИЛ ВОЛН КОНБЧНОЙ АМПЛИТУДЫ где Гз = ф1з е + тизрз е + айве + тэз (Рз + тРзРз + т()з()з + + тйзй, — 2узР,)е', Г уй в + 4 т и ( Р 0 й + Рз/в зз/ з з з 8 Г, = дйзе' + ти' (ЗРз + тР,Р, — тДз()з — тйзй,)е'. Каждая частица жидкости, принадлежащая свободной поверхности, испытывает все время одно и то же давление, и поэтому величина р, рассчитанная для точек поверхности, не должна зависеть от е.
В силу этого для точек поверхности жидкости должны соблюдаться следующие три условия: Гз О~ 1з О~ Гз О (17) При соблюдении этих условий формула (16) принимает следующий вид: Р' = С вЂ” яс — — Уз[те(Рз'+ /7, '+ й,') — 47,! в' +..., 4 или, если пользоваться значениями функций Р„~/з, й,, у„ Рз = С вЂ” дс+ — уз(из -(- 2тз сове пЬ) езз"вз +...; 4 здесь р, — постоянное внешнее давление.
Не ограничивая общности задачи, можно принять С = рз/р; тогда получим зз с = — (и'+ 2тз сов' пЬ) е'з "в' +... 4в Это есть уравнение открытой поверхности; решая его относительно с, получаем уравнение волновой поверхности, записанное в координатах Лагранжа: с = —" (и'+ 2т'сов' пЬ) в'. 4в Ставя своей задачей найти установившиеся волны в нелинейном приближении, мы должны в силу этого считать, задаваясь длинами 2и/т и 2и/п, что величина у должна быть функцией параметра е, определяющего вертикальные размеры волны.
Переходя от установившихся волн к волнам прогрессивным, мы должны по длинам этих волн в двух взаимно перпендикулярных направлениях найти скорость распространения этих волн. Эта скорость должна необходимо зависеть от параметра е, поэтому положим Уз + е "з + где Р„ Р„ ... — неизвестные величины, 2 22. пРостРАнствнннАя 3АдАчА 693 Заметив зто, приравняем нулю коэффициенты при О и Оз в условии Гз = О. Получим следующие два уравнения: О т2 хй, (19) Хйзп' Зд Хпз соз пй ~тоз + —, + — (З)222 — )2,) р, + — ()21+ + соззпБ~ — Х()О,— З)а,з)~, — фа,т1 = О.
(20) Условие Г, = 0 дает одно уравнение, определяющее козффицнент рз: и2й т (т — 2йз) (21) Условие Г, = 0 приводит к уравнению 5изй, / ( 22 + З (т )О')(~ б)О')()'+()О' З )Оз)р'=0' 22тз Если п ~ О, то из уравнения (20) вытекают два уравнения: дйзиз Зд Хиз 2ипз+ — ', + — (Заза — й,)6,+ — „62=0, — (й, — З)222) (32 — д)азт = О. 42 т (22) (23) (24) Ра "2 Рз Рз> Рз. Решая зги уравнения, получаем Ойз (Зтз — 5п') т — 2 (Зтз — пз) й, О= т2 ' 2= О 4т2(т Зй) тзйз пзйз 4(йз — Зйп) ' т(т — 2йз) ' й из 2(5из+12тз)й,— (25из+24тз)т (— ( й,— З йз)(т- ~з) Пользуясь найденными значениями иа и п„находим скорость зс Зйз Г (Зт' — 5п')т — 2(Зт' — и')й, тз Ь + 4т2(т — 2й) +''')' и выражение (4) потенциала скоростей. Возьмем первое из разложений (6).
Из выполненных подсчетов следует, что хз, х„х, — периодические функции переменного 2 с периодом 2п)т; период этих функций по времени будет 2п Т = — у. Таким образом, имеем пять уравнений (19), (21) — (24) для опре- деления пяти неизвестных 694 ГЛ. Ч. ТЕОРИЯ ВОЛН КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ Отсюда вытекает, что для данной частицы жидкости координата х увеличивается на 2я!т, т. е. На длину волны в направлении потока, в течение времени, равного указанному выше периоду: Т = — '" (1+ — еж*'(и'+ 2т'соз'пЬ) е'~. 3эу~ э Это время всегда болыпе чем 2я!(тэ) и для каждой частицы жидкости — свое.
Таким образом, и для пространственной задачи мы имеем явление приповерхностного течения, указанного Стоксом для плоской задачи об установившихся волнах. Уравнение (18) есть уравнение свободной поверхности жидкости, точное до третьих степеней параметра е. Если в ряды (6) подставить вместо с его выражение (18), то получатся уравнения волновой поверхности, содержащие два независимых параметра а + + т, 6 как гауссовы криволинейные координаты точки на поверхности. В этих уравнениях присутствуют три первые степени параметра э.
Возьмем коэффициент при ээ в формуле (25) и перепишем его, полагая т = пр; получим -(2(зр — 1)У1+р — р(зр -3)). 4тэ (За — м) Величина, стоящая в квадратных скобках, имеет отрицательные значения для р в пределах от О до некоторого числа )А', меньшего чем 11~' 3. Следовательно, прогрессивные волны, очень вытянутые в направленни своего распространения, имеют скорость меньшую, чем скорость движения бесконечно малых волн соответствующих длин. Выше мы предполагали„что и =~ О; если же и будет равно нулю, то уравнение не распадется на два отдельных уравнения, а приведет после упрощений к одному уравнению э,— от=О. Уравнения (19), (23), (24) дадут РО = Ф~~, ()э = О, 63 Коэффициент ~, остается неопределенным в данном приближении. Потенциал скоростей запишется так: ф = и ( — х -)- э'е ' э(п тх), э' = е + р,э', и формула для скорости волны примет вид ээ = Х (1+ шве' ), указанный Стоксом.
1 13. ИНГЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ А, И НЕКРАСОВА 695 Ю. М. Крылов определил пространственные установившиеся волны применением к данной задаче первого метода Стокса, развитого для решения плоских задач о волнах [21!. В своем исследовании Ю. М. Крылов рассмотрел случай конечной и бесконечной глубины бассейна. Останавливаясь на этом последнем случае, дадим уравнение открытой волновой поверхности, записанное в декартовых координатах: г лз(6Ь вЂ” т) 1 ~ = асоятхсояпу — — азе ~1+ соя2пу+ 1соя2тт+ Ы[2Ь вЂ” т] 2 1 ~Р + 4 1 соя2пу, й= Г т +и; здесь а — произвольный параметр. Б.
ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ $ 13. Интегральное уравнение А. И. Некрасова для определенна установившихся волн конечной амплитуды В первой части этой главы были наложены приближенные решения задачи об установившихся периодических волнах конечной амплитуды на поверхности тяжелой жидкости. Некоторые из этих решений обладают большой степенью точности, но не дают, однако, полной уверенности в существовании рассматриваемых волн. Впервые строгое доказательство существования периодических установившихся волн конечной амплитуды на поверхности жидкости бесконечной и конечной глубины было дано в 1921 и в 1927 гг.
А. И. Некрасовым [33!. Иными методами, чем А. И. Некрасовым, эти же задачи были решены Т. Леви-Чивита для бесконечно глубокой жидкости [143[, [144! и Д. Струиком для жидкости конечной глубины [189[, [190!. Работы Т. Леви-Чивита были опубликованы в 1924 — 1925 гг., опубликование работ Д. Струпка относится к 1925 †19 гг. Изложим с достаточными подробностями содержание исследования А.
И. Некрасова. А. И. Некрасов предполагает с самого же начала своего исследования, что искомые волны обладают симметрией относительно вертикалей своих гребней. Такое предположение вносится на основе рассмотрения приближенных решений задачи и оправдывается затем полученным строгим решением задачи. Без такого априорного допущения решает задачу Леви-Чивита, устанавливая уже после решения задачи, что полученные волны обладают симметрией относительно своих гребней. Принимая допущение А. И. Некрасова, возьмем ось симметрии профиля какой-нибудь одной из периодических волн за ось Оу, проводя ее вертикально вверх.
Начало координат поместим 696 ГЛ, Ч. ТЕОРИЯ ВОЛН КОНЕЧНОИ АМПЛИТУДЫ на вершине волны и проведем через пее ось Ог в направлении потока в бесконечности: слева направо. Отобразим область АВОСР потока, занятую одной волной (рис. 77) *), на плоскость комплексного переменного и = сс + + (ф на этой плоскости получим полуполосу АВОСР, ограниченную прямыми линиями. Если поверхности волны приписать нулевое значение функции тока ф а значение потенциала скоростей Ркс. 7?. ср взять равным нулю, то полуполоса будет находиться в верхней полуплоскости и будет симметрично расположена относительно оси ~р = О и ограничена слева прямой ср — — — с)./2, справа прямой ~р = сХ/2, снизу полуполоса ограничена отрезком оси ср от точки — сХ/2 до точки сХ/2.
Здесь с — скорость потока в бесконечности, а ) — длина волны. Отобравим в свою очередь полуполосу на плоскость вспомогательного комплексного переменного и = $ + ст), полагая сЛ дю сХ ю = — )ни, (() 2я~ ' ди 2гн и Полуполосе АВОСР будет отвечать внутренность единичного круга Г с центром в точке и = 0 и с разрезом вдоль отрицательной части оси абсцисс от точки и = — 1 до точки и = О. Окружности круга ( и ( = 1 отвечает отрезок [ — сХ/2, с)/21 оси абсцисс, он соответствует неизвестной поверхности волны. Соответствующие точки плоскостей г, в, и помечены на рис. 77 одинаковыми буквами.
Определим теперь соответствие между областью, занятой одной волной на плоскости г, и кругом на плоскости и. Так как бесконечно удаленная точка области волны перешла в начало координат плоскости и и так как при обходе точки и = 0 по часовой стрелке функция г должна увеличиваться на )., то искомое соответствие между плоскостями г и и найдется в результате интегрирования с) Рис. 77 дан редакторами. (Прим.
ред.) 1з. интегРАльное уРАВнение А. и. некРАсоВА 997 соотношения ае Л у)(и) йи эае и (2)) Функция 7'(и) голоморфна внутри круга радиуса единица плоскости комплексного переменного и, разложение ее в ряд Маклорена должно иметь такой вид: 7'(и) = 1 + а,и + а,и' + а,и' + ... Коэффициенты а„ав, а„... действительны, так как волна симметрична относительно вертикали вершины. Функции 7' (и) не должны обращаться в нуль при ~ и ~ ~( 1, так как скорости частиц жидкости не обращаются в бесконечность в потоке.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
