Л.Н. Сретенский - Теория волновых движений жидкости (1163302), страница 102
Текст из файла (страница 102)
У. ТЕОРИЯ ВОЛН КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ 888 множитель А у пеового члена а, ряда (2); а1 == — 'и!п У' дй 2 . Такип приемом были определены с точностью до пятой степени величинь1А пять коэффнцпентов бескояечного ряда (2). Полученные результаты совпада1от с теми, которые были найдены методом Лагранжа. Отметим лип1ь более полную формулу для частоты волны: О == бй ~[ — — .42 — — А ) . 2 . 1 2 4 4 ' 128 Если перейти к обозначениям з [О, то будем иметь такое выраже- НИЕ ДЛЯ О': так как В работах Пепнея и др. содержится определение стоячих волн и в бассейне конечной глубины с вычислением двух первых членов в уравнении волновой поверхности йу = У, а„(1)соз11йг.
2=1 Более подробное определение соответствующих волн содержится в работах Я. И. Секерж-Зеньковича, где приводятся формулы с точностью до третьей степени малого параметра [42), [45! н в работе [92!. Стоячая волна малой амплитуды и длины Л обладает частотой колебания, равной и = [/ 2нб(Л. Волна длины ЛIЛ2 обладает частотой в п раз большей, чем волна длины Л. Отсюда следует, что волна, состоящая из суммы двух волн длины Л и Л1и2, обладает длиной Л, и частота колебаний новой волны равна а. Зту новую волну, которую можно назвать составной волной, можно положить в основу построения волн конечной амплитуды, периодических по переменному х и по времени й Пользуясь переменными Лагранжа, Я.
И. Секерж-Зеньковнч построил приблин1енную теорию составных волн и нашел главные их свойства [43!. Теория стоячих волн на поверхности трехмерной пассы жидкости получила продвижение в работах Я. И. Секерж-Зепьковича, Пеннея и Прайса [44), [(60!.
Анализ полученных приближенных решений показал, что волновая поверхность не имеет неподвижных узловых линий и что Кь ПВОСГС.О!СТОВ О~ ЕВ ВЕДАЧА отсутствуют такие моменты в ювовч, по до поверхность жидкости стало бы ~оризонтальной. Все вычисвсвчь были вьшолненьг с точностью до второй степени амплитуды исходной стоячей волны из линейной теории. В работе Пеннея и Прайса [160[ высказывается предположение, что стоячая волна наибольшего развития имеет на своем гребне угловую точку с углом касательных в пен, равным 90'.
Этопредположение нашло свое подтверждение в работе Рейдера, посвященной экспериментальной проверке теорвн стоячих волн конечной амплитуды [191). 5 12. Пространственная задача об определении установившихся волн конечной амплитуды В настоящем параграфе излагается приближенное решение задачи об определении установившихся периодических волн на поверхности трехмерного потока бесконечно глубокой жидкости е). Допустим, что бесконечно глубокий поток тяжелой жидкости имеет на бесконечной глубине скорость ьй направленную в положительную сторону оси Ох. Будем рассматривать движение жидкости, определяемое следующим потенциалом скоростей, задаваемым в переменных Эйлера: Ф (х, у, г) с-в [ — х+(а„ет"' сов пу+а„е""' сов Злу+...) вш тх + + (аеоеев:и + аеее™м' сов 2пу +...) в1п 2тх + + (а„е"" сов пу + аееее"-' сов Зпу +...) в1п Зтх +...).
(1) Здесь с, т, и — данные величины, а й = — [~вело + гете. Коэффициенты а„должны быть определены так, чтобы потенциал Ф действительно соответствовал движению жидкости с открытой поверхностью, покрытой установившимися волнами конечной амплитуды с длинами 2л~т, 2и)п в двух взаимно перпендикулярных направлениях. Для определения этих коэффициентов перейдем от переменных Эйлера к переменным Лагранжа а, 6, с, 1 и, найдя зависимости переменных х, у, в от переменных а, 6, с, г, выразим давление через переменные Лагранжа. Приравнивая давление р постоянной величине, не зависящей ни от времени, ни от координат а, 6, получим соотношение между переменными а, 6, с и ряд уравнений для определения неизвестных коэффициентов а„,. Указанное соотношение и будет уравнением свободной волновои поверхности в переменных Лагранжа.
") Здесь автор дает взложенве своих работ [55[, [56). (Прим. ред.) 688 ГЛ. У. ТЕОРИЯ ВОЛН КОНЕЧНОИ АМНЛИТУДЫ Для установления зависимости между переменными Эйлера и Лагранжа надо проинтегрировать систему уравнений зх дФ ду дФ Ыг дФ дг дх ' дг ду ' дг дг (2) где у = Ыд. Проинтегрируем систему уравнений (3), считая число аы л(алым.
По отношению к этому числу остальные коэффициенты а„могут быть представлены тан: 1 г-!2-1 !О) (2) 2 а = — ан' (р ° + ргга„-,' ) г и з нечетные Г ! ггг (О) (2) 2 а„, = — ан ((1„, -+ Р„, аз! -(-...), г и з четные. Мы определим все члены рядов а„, содержащие а, в степени не выше третьей.
Примем для упрощения записи новые обозначения: 1 1 д аы = я, агз = рге азо = — узя ат = 8 Рзе 2 В этих обозначениях функция ф (х, у, г) запишется так: ф (х, у, г) = — х + еез" сов пу я1п тх+ — езрзезг г я)п 2тх + 2 + ез (() езз г соя Зпу яш тх + га азг соя пу я!и Зтх) причем для соблюдения уравнения Лапласа должно быть )(,' = тз + и', (гг = т, 9)г~з — — т' + 9п', 9(гг = 9т' + и'". Составим систему уравнений (3), получим — — = 1 — ете ' соятхсояпу — я т()зез сов2тх— 1 дх г г 2 Ем Ыт — езтрзеззгг сов Зтх сов и у — Взтрзезг "г соя тх сов Зиу, 1 Ыу з дт — — = епег" я!Лтхя!Нпу + — е рзеззггя!ЛЗтхяшпу+ 3 + Зели(злезг"г в!и тх я1п Зпу, — — = — я(ггеггг яш тх соя пу — я !ггрзе- г в!и 2тх— 1 Ыг 2 заг Ыт — я%21гзезз" я!и Зтх соя пу — Зяз)ггг()гезг'зг я1п тх сов Зпу.
(5) Для интегрирования этой системы уравнений введем вместо новое независимое переменное т, полагая г = ()1, где д — некоторая постоянная величина; заменим вместе с тем Ф через Рф, где ф — функция, находящаяся в квадратных скобках формулы (1). После этих преобразований уравнения (2) перепишутся так: дх дф Ыу дф Ыг дф у 1 = — 7 1 ° = 7 (3) дт дх ' дт ду ' 82 дг 1 12. ПРОСТРАНСТВЕН НАЯ ЗАДАЧА Проинтегрируем эту систему уравненийразложепиемискомых величин в ряды по степеням параметра е; положим х — хо+ ехк+ эхе+ ехз+ у = уо + еу + еоу + ееу +..., (6) г = г, + ег, + е'г, + е'ге + ...
Произвольное число у, входящее в систему уравнений (5), представим таян е в виде степенного ряда по е, полагая у = 1+ еу + е'уо+ е'у + (7) Интегрируя эту систему уравнений, получаем хо — к+а уо = Ь, го = — е. (8) Произвольные постоянные интегрирования могут рассматриваться как координаты Лагранжа. Сравнение коэффициентов при первых степенях е в уравнениях (5) приводит к такой системе уравнений: — = у, — те ' ' соя тхо соя пуз Ых„ Ко ат 3 — = ПЕК*'Яка тХ Я1ППУо, аяк а,— *' о Ыек — = — Й е""'якптх сояпу .
— о о. (9) Проинтегрируем эту систему уравнений, используя значения (8) величин х„уо, г,. Число 71 определим так, чтобы интегралы этой системы не содержали вековых членов и были бы только периодическими функциями переменного т. Очевидно, число у, надо для атого приравнять нулю, и тогда решение системы уравнений (9) запишется так: х, = — е" 'соя пдя1п [т(т+ а)), у = — — "ек'я1п пЬ соя [т(т+ а)], т гк = — 'ЕтмСОЯПЬСОЯ[т(т+ а)[. (10) Сравнение коэффициентов при квадратах е в системе (5) приводит (если использовать формулы (8) и (10)) к следующим Коэффициенты этого ряда будут определяться из добавочных условий при интегрировании уравнений (5). Подставим ряды (6) и (7) в уравнения (5) и сравним коэффициенты при одинаковых степенях е в правых и левых частях.
Коэффициенты при нулевых степенях е дают систему уравнений — =1, — =О, — =О. охо ~до ако ут ' ат ' ет ГЛ. 1>. ТЕОРИЯ ВОЛН КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ 690 уравнениям: с>ха Г 1 — ' =- (уа — —.еа'"(и'+ 2 асозапЬ)1— а псе>к~с ( >пр еак,с ~соз [йт (т ( а)] — "" =О, з>т К иа а ( > закс > дф закс)з(п[2т(т+а)] ет ~2т у (па + 2та сова пй) самс (11) Интегрируя предыдущую систему уравнений, получаем аа = — — ( —, п е' '' ->- т()аеак*с (>йп [2т(т -(- а)], а К, у,=О, (К,иа а, = — ( —,' е'к" + т[)сезам) сов [2т(т+ а)]. 2т >,2т (12) Сравним, наконец, козффициенты при кубах з в уравнениях (5). Результат такого сравнения мы выписывать не будем ввиду его громоздкости, а выпишем интегралы уравнений третьего прибли- >кения, полагая уз = О для устранения векового слагаемого: х, с [ т(т Ь )р е>кнакс>с езк с т[),езк с~) и 1 а 4и> х з>п(З>п(т+ а)] — ~ "' ~ — и(2п'+7та)езк'+ + — т (Ьа + т) [)зе>К"азс>с — Зт()аезз с1 + 5 ( соззпЬ~ таезксс ( 4[)ге>кис|лещ [т(т ] а)] (>З т) [) ЕКК СКК >с+ Пр ЕЗК с1 >( Зт( 4 з Х з>п пЬ сов (Зт(т+ а)( + — ~ — (Ь>+ т) ра зщпЬ е>к'+акс>с -(- + п>па зщз пЬезмс (тапа ( 2тз пс) зщ пЬ езксс 2 4>иа — Зп](> з(п Зпр езк*'] соз [иа (т + а)], Приравняем нулю в первом уравнении свободный член, чтобы ве- личина аа не получила после интегрирования векового слагаемого.
Таким путем найдем число 7,: 1 12. пРОстРАнстВеннАЯ ВАДАНА 691 = — ]соя пЬ~ — ', е'к" + — (lс, — т) (4„+ 4т) рзе<""зк В+ + пзрзсз""1[ сов [Зт(т + а)] + — ]соя пЬ [ 4 И,пзе'"е— ()с, ] т) ()с, 4т) [)зс(к ~ккрм)с 9)с,з[],сзк" ~+ 1 союз пЬ ~ )з тзезкм+ 12)зъз[)кезк,.з1)[соя [т(т+ а)]. Запишем зти формулы и формулы ([0), (12) в сокращенном виде: а, = Р, в]п [т (т + а)1, хз = Р, в[п [2т (т + а)1, у, = (), соя 1т (т + а)1, уз = ~1з соя [2т (т + а)1, г, = Л, соя [т (т + а)1, гз = Л, соя [2т (т + а)1, (43) хз = Р, я[п [Зт (т + а)1 + Рз в[п [и (т + а)1, уз = (1з соя [Зи (т + а)1 + ~1, соя [т (т + а)1, гз —— - Лз соя [Зт (т + а)] + Л, соя [т (т + а)].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
