Л.Н. Сретенский - Теория волновых движений жидкости (1163302), страница 106
Текст из файла (страница 106)
Из этих свойств ядра К (О, е) вытекает, что мажорантой для функции Зш ~ К (О, е) оо(е) ав о будет функция ОяхМ12, где 2'1 2яоя х ио Зи 8 12 (штрих означает, что суммирование ведется по нечетным значениям и). Далее, на основании предыдущих подсчетов мажорантой 1 14.
СУЩЕСТВОВАНИЕ УСТАНОВИВШИХСЯ ВОЛН 711 со(е) — я(п м(е)+ (ссо(е).т (е) )2 1 + )сР (е) о будет функция (яЬ й — й) + Зл (1 + М) й яЬ й ™ 1 — Зл(1+ М)вЬ й Следовательно, 2л 2п е (и ) ( ) ( ~ со (е) — в(п со(е) + )ссо(е) с (е) 1 + (сд'(е) о о ((б МО+б (1 М) (вЬЙ вЂ” й)+Зл(1+М)йв)сй 1 — Зл (1 + М) яЬ й Отсюда г,(е) << ()11) ) (1+) ц(вЬЙ вЂ” Й)+Зл(1+М)йвЬЙ1! А! (псов [ 1 — Зл(1+М)яЬ й (22) Обратимся теперь к формуле (17); мажорантой для функции 2 — Зсо (в)1 ср„(е) све о будет такая функция: [1 — 6л(1+ М)яЬ й Следовательно, 2)с л ( с72 ( (1+М)вЬй пЮ (,)ое (1 — 6л(1+М]вЬЙ поэтому для бесконечной суммы формулы (15) будем иметь с О Е'- < — ~ —." ~ — [- ве сбп(6) 2 ( Ыи ~-~ 1 ( (1+М)яЬй п — 1 А! (с)ов с~ ! п(п — 1) ь1 — 6л(1+М)яЬЙ ))а=о так как ~ ,~ в (и — 1) = 1. На основании формул (22) и (23) можно П=о Гл.
ч. Теогня волн конгчной Амплитуды написать мажоранту для функции огк (6): ы„(Е) << ( к)к Г (1+М)яЬ" К( )Н к (1 — 6л(1+М)вЬй Умножим обе части етого соотношения на ак и просуммируем результат по )г от 2 до оо, получим к=в (1 + М) вЬ й + ~ + 1 — Зл(1+ М) яЬй Отсюда выводим а ГМ) (1, (вЬй — й)+Зл(1+М)йяЬй') =У Г 1 З(1+ ]ва ! (1 + М) вЬ й + [1 — Зл(1+М)вЬй Это соотношение дает второе уравнение для ЛХ и ь): Г)ХП+(1 М) (яЬй й)+Зл(1+М)йв)кй~ т 2 ~ 1 — 6л (1+ М) яЬ й — Й~, (24) Таким образом, для определения функций ЛХ(сг) и ьз (а) имеем два уравнения: (21) и (24). Перепишем зти уравнения, вводя вместо М (гя) и ьз (а) новые функции ЛХ' (сг) и Й' (и), полагая ЛХ = сгМ', (з = яьз' В новых неизвестных функциях уравнения (21) и (24) изменяются в такие: 27 л (1+ аМ') 1 — 6л (1 + аМ') яЬ ай' Х ~ ~, + — (1+ аЛХ') й'я)кай'~+ 2 $/гл( — — — ') аЛХ', гк' =- =+ блл~аМ'(к'+ Ул ,) (яЬай' — ай')+Зл(1+аМ')ай'вЬай'~ а (1 — Зл (1 + аМ') вЬ ай') (1 + аМ') яЬ ай' (а (1 — 6л(1+ аМ')вЬай') 1а устАкозившикся нвгподи 1ГсниГ волны 713 Прн а =- 0 эта система уравнений имеет рошення ЛХ' (О) =- 12 ф' л 1)' (О) = 1/)1 л и функциональный детерминант й системы при этих значениях Л1' (О) и 12' (О) и при а =- 0 имеет вид Л = 1 — 12л ф'лхП' (О) = 1 — л', т.
е. отличен от нуля. Следовательно, система уравнений для определения функций М' (а) и 17' (а) имеет в области а = 0 решение, изображаемое сходящимися степенными рядами по а. Отсюда вытекает, что ряды (6) и (7) сходятся и дают тем самым решение задачи о существовании периодических установившихся волн на поверхности;кидкости бесконечной глубины. Мы не будем проводить вычисление коэффициентов рядов (0) и (7); из предыдущего изложения видны те операции, которые надо выполнять для определения этих коэффициентов.
Вместе с тем заметим, что результаты, которые можно было бы здесь получить, повторяют те, которые уже даны при изложении первого и второго методов Стокса. Заметим лишь, что ряд (7) дает возможность установить связь между скоростью потока с, длиной волны Х и параметром а, характеризующим амплитуду волны. Действительно, из формулы (14) з 13 имеем с (25) Функция / (и) определяется через функцию Е (и) формулой 7 (и) — с-1зш) Действительная часть функции 2 (и) равна на окружности ) и ( = = 1 найденной функции е1 (9).
По этой функции может быть определена Е (и) для всех значений и и, в частности, при и = 1. Отсюда определится 7' (1), и формула (25) даст искомую зависимость между скоростью потока, длиной волны А и параметром а. б 15. Установившиеся периодические волны на поверхности жидкости конечной глубины Небольшое изменение приемов, изложенных в двух предыдущих параграфах, позволяет решить задачу о волнах конечной амплитуды на поверхности жидкости конечной глубины [33).
Обозначим через й глубину жидкости при отсутствии волн. Рассмотрим область Р на плоскости течения, ограниченнуго двумя отрезками вертикальных прямых, проходящих через две соседние низшие точки волны, свободной поверхностью жидкости, находящейся между этими отрезками, и дном бассейна. Отобразим гл. ч, теогня волн кОнечнОЙ Амплитуды 714 зту область плоскости комплексного переменного г на корону С плоскости вспомогательного комплексного переменного и; зта корона ограничена внешней окружностью радиуса 1 и внутренней окружностью радиуса г, ( 1.
Вдоль части радиуса ! — г„— 1) корона разрезана. Соответствие точек плоскостей з и и дано на рис. 77. Взятое конформное преобразование области П на корону можно представить формулой с)г 7. ! (и) (1) с)и 2л) и в которой ! (и) есть ряд Лорана, сходящийся внутри короны.
Допустим теперь, что в точках вертикальной прямой, про- ходящей через вершину волны, потенциал скоростей )р равен нулю; в точках же прямых, проходящих через низшие точки вол- ны, его значения равны соответственно )рс и — )рс. Не определяя пока значения величины с, положим )рс =- сХ!2. Допустим, далее, что свободной поверхности жидкости отвечает значение функции тока )р = О, а дну бассейна — значение атой функции, равное д>О.
Приняв это, отобразим прямоугольник плоскости комплекс- ного переменного и, ограниченный сторонами )Р = О, — — 2с)и( ( — с), 1 ! 1 'Ф = )7 — — с). ()р( — сХ, )р = — сХ, О ()Р ( )7, р = — —,с), О( р()), на корону С. Первой из указанных сторон отвечает внешняя окружность короны, второй стороне — внутренняя окружность, а двум оставшимся сторонам — верхний и нижний берега разреза короны.
Соответствие между плоскостями л)и и определится формулой сХ с)в сХ 1 и) = —. 1пи, (2) 2л) ' с)и 2л) и РадиУс внУтРенней окРУжности гс свЯзан с величиной )7 фоРмУлой сЛ )7 = — — )пгс 2л (3) Принимая все обозначения з 13, записываем условие на свободной поверхности так: !С-З )и Е) Лс ЗШ з,.
йй 2 14) 25. УСТАНОВИВШИЕСЯ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ 715 Условие на дне канала будет, очевидно, в ==- О. (5) Первое из этих условий должно соблюдаться на внешней окружности, а второе — на внутренней окружности короны. В условиях (4) и (5) )п Л есть мнимая часть функции з' = 1)п )' (и) на внешней окружности, а в — действительная часть той же функции на внутренней окружности.
Наша задача состоит теперь в том, чтобы найти уравнение для определения величины в в точках внешней окружности. Для вывода такого уравнения воспользуемся формулой, которая определяет действительную часть функции г на окружности ~ и ) = 1 по известной производной Р (9) мнимой части этой функции, взятой по углу в точках той же окружности, и по нулевым значениям действительной части функции Е на окружности ~ и ) = = го.
Эта функция пишется так: 2л З о 1+ (о ~ Мп в(е] Ыз о Подставим это выражение в формулу (6) и заменим в ней Ве з. равной ей величиной — в. После выполнения этих действий получим основное интегральное уравнение нашей задачи: 2л в(9) = ~ (, ( ) К(9, е)де; 1+)о ) 21пв(е) 272 о ядро этого уравнения есть 1 — гол К(9, з) = — ~ л=о О з(п 9 з! и зз Эта формула выписана в предположении, что функция Г (е)— нечетная функция своего аргумента.
Такое предположение отвечает допускаемой симметрии волны относительно вертикали ее вершины. Из условия (4) имеем 0 1пЛ 1 (оз(пв(0) (7) и'9 716 ГЛ. Ч. ТЕОРИЯ ВОЛН КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ Определив нз уравнения (8) функцию 2о (О), находим весь поток жидкости по формуле 7 -о и л — о Ъо Мооо Го О +'ои г =- —. ~ 1г(з)' яо о г +г а=1 о о Интегральное уравнение (8) переходит в уравнение (3) при го =— = 0 и представляет собой его обобщение. Выясним смысл величины с. Для етого возьмем интеграл 5 = ~ — 82 Но вдоль дна бассейна от точки 2 --= — Х!2 — й до точки 2 =- Х!2— — ой. Так как в точках дна скорость частиц жидкости горизонтальна и равна и, то Л,'2 — 2Л 8 = — ~ идх. -Х(2-2Л (1О) С другой стороны, но вдоль дна и = — г,е'он угол 0 меняется от л до — л, следовательно, Б = — с)о.
Сопоставлян эту формулу с формулой (10), получаем, что с есть средняя скорость частиц жидкости в точках дна бассейна. Глу- бина бассейна Ь связана с расходом д и скоростью с соотноше- нием Формула (14) х 13 приводит и в данном случае к зависимости между скоростью с, длиной волны и параметром, характеризующим амплитуду волны. Интегральное уравнение (8) настолько повторяет интегральное уравнение (3) з 14, что весь процесс построения мажорантных функций, изложенный в предыдущем параграфе, непосредственно переносится и на доказательство существования решения нового уравнения (8). Таким обрааом, является доказанным существование установившихся периодических волн на поверхности потока конечной глубины. $ ис дВижвнив пОтОкА жидкости по неРОВнОму дну 7$7 16.
Движение потока жпдкостп по неровному дну с образованпем волн Предположим, что поток тяжелой жидкости течет по твердому дну, представляющему' собой периодическую кривую данного периода ) . Допустим, далее, что зта кривая обладает в пределах периода вертикальной осью симметрии, проходящей через высшую точку кривой. При движении такого потока на его свободной поверхности будут образовываться установивпшеся волны, симметричные относительно оси симметрии кривой, представляющей дно. Составим интегральное уравнение для определения этих волн, обладающих конечной амплитудой. Такое уравнение можно составить, повторяя в значительной мере все рассуждения предыдущего параграфа.
Свободной поверхности жидкости приписываем нулевое значение функции тока ф, а дну бассейна — значение ф =- д ) О. Формулы (1) — (4) з 15 сохраняются в новой задаче,но условие (5) должно быть заменено другим. Мы не будем предполагать, что дно канала задано в виде уравнения, связывающего абсциссу и ординату точек дна, а будем предполагать, что угол ю скорости жидкости в точках дна задается как некоторая известная функция потенциала скоростей частиц жидкости, текущих по дну. Итак, положим, что при ф = д угол ю есть данная функция <р. В точках дна потенциал скоростей связан с углом 0 точки на окружности ~ и ~ =- га простой зависимостью: еЛ ср = — 9.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
