Л.Н. Сретенский - Теория волновых движений жидкости (1163302), страница 101
Текст из файла (страница 101)
Обратимся теперь к определению функции / (а), с помощью которой в я 8 было произведено преобразование уравнений Лагранжа (1) 8 8 к виду (5) 8 8. Функция ~ (а) есть значение функции Ч (а, Ь, и) при Ь = О: 1(а) = Ч (а, О, т) = оцо + о'Ч, + о'Чо+ з'Чо + Подставляя сюда значения коэффициентов, найденные в этом параграфе, получаем после выполнения вычислений такое выражение функции 1 (а): ы /(а) = я' —,соя 2ка.
7оо Отсюда уравнение поверхности жидкости в начальный момент времени запишется так: ао у = яо соя 2йт.. (39) тоо 8 10. Свойства стоячих волн конечной амплитуды Покажем прежде всего, что определенные нами стоячие волны принадлежат поверхности жидкости, находящейся в потенциальном движении. Для этого составим выражения компонент скорос- 1 то, СВОЙСТВА СТОЯЧИХ ВОЛН КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ 681 ти частицы жидкости по осям координат; имеем ач и=о —, и=о —. е'о> ' тт~ Покажем, что эти компоненты равны нулю тождественно при я 1 — или я> = —,я. во в Формулы (6), (22), (27), (36), (37) з 9 дают для производных по времени от функций 8„..., $„>)„..., цо нулевые расчеты при в = = л/2.
Нетрудно убедиться, что производные по времени от функций $„, т)„выражаются через косинусы нечетных дуг от и для нечетных значений индекса и и выражаются через синусы четных дуг от ш для четных значений и. Отсюда вытекает, что при и = = я!2 все зти производные обращаются в нуль, и поэтому будут равны нулю значения компонент скорости каждой частицы жидкости при ю = и/2. Следовательно, в момент времени 1 = я/(2а) жидкость не имеет скоростей; отсюда по теореме Лагранжа все последующее дви>кение жидкости будет обладать потенциалом скоростей.
Покажем теперь, что ни в один момент времени поверхность жидкости не распрямляется. Иными словами, покажем, что уравнение т) (а, О, 1) е а етн (а, О, 1) + еот)о (а, О, 1) + еот)о (а, О, 1) + + еот)4 (а, О, 1) +... = 0 не может быть удовлетворено значением 1, не зависящим от координаты а при произвольном значении параметра е. Действительно, уравнение т)> (а, О, 1) = 0 удовлетворяется при и> = 0; этим же значением та уравнения Чо (а, О, 1) = О, т)е (а, О, 1) = 0 также удовлетворяются. Но при и = О функция т)4 (а, О, 1) не обращается в нуль, а принимает значение а> т|, (а, О, О) = — соз 2йа.
7ао о Это выраяоение функции т(4 (а, О, О) получается из формул (37), (38) 8 9 и уже встречалось в конце З 9. Таким образом, прн наличии стоячих колебаний поверхность жидкости никогда не распрямляется. Следовательно, движение жидкости со стоячими колебаниями ее поверхности не может быть образовано с помощью импульсивных давлений, прилон<енных к горизонтальной поверхности. ГЛ.
У. ТЕОРИЯ ВОЛН КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ Найдем затем выражения ординаты точки волны при а = О; обозначая эту ординату через у„имеем йз у, = е — в1пиь+ е' — (1 — сов2ьп)+ 0о 40з о 3 й' яз в1п иь — в1п 3ьп) +. аз(,2 32 о зй'!1 19 Н + ез — ( — — — соя 2в — — сов йььи) . Оь (, 4 192 1344 о Найдем вместе с тем выражение ординаты уз точки волны, отвечающее а = — я7й; получим й йз у, = — в — вши+ в' — (1 — сов 2из)— Оа 40з а ,йь71 — е' — ( —, в)п иь — —, в1п Зи ) + ',. ~2 32 о й'! 1 19 11 + е' — ( — — —, соя 2ш — — соя 4ю) . 04(4 192 4 Для значений и в пределах от О до я ордината уь положительна, она отвечает гребню волны и при ьп = Я)2 достигает наибольшего значения, равного й з йз 17 зйь 229 йз (- вз -+ вз Оо 20з 32 аз 1344 еь ао о о Для того ясе значения ш ордината уз достигает своего минимального отрицательного значения, равного й з йз 17 зйь 229 ьйь — е — + е' — — — е' — + — е' —.
Оа 20з 32 аз 1344 оь 00 о о Это значение у, отвечает низшей точке долины волны. Высота гребня превосходит понижение долины волны на величину йз 229 йь е' — + —,в' —. оз 672 о ' о ао При увеличении времени за предел и!О положения гребней и долин волны будут периодически обмениваться между собой. Найдем положение узлов волны.
Уравнение для определения координаты а узла волны будет з) (а, О, и) = О. Ограничиваясь лишь членами третьего порядка по з, записываем зто уравнение так: зй ззйз ззйь /13 1 — сов йа вш ш + — яшз и + —, сов йа вш и> ~ — + — вш 2иь) = О. еа 20з 20з ~16 4 а а 11о. своиства стоячих волн конвчнон амплитуды 683 Устраняя множитель з1п ш, получаем отсюда еео ! 13 1 . Л еее 1 (- — ( — + — 81по в)~ соз йа = — — з1п в.
(1) 4оо (,8 2 1) 2оо о Положим здесь Ьа = и/2 + а, получим еео . Г ееео / 13 1 з1п а = —, з1п ш ~1 — — ( — + —, з1по ш)~ . 2оо ( 4о' (,8 2 о Решение этого уравнения, близкое к нулю, будет еео . еоео ! 13 1 а = —,з1пш — — ( — з1пв+ — згвош) . воо зое (,8 3 Отсюда координата Лагранжа а для узла будет 1 еее Г еоао 113 1 )оа = —, и + —, ~1 — — ( — + — з)по в)~ 81п ш. (2) 2 2оо~ 8оо (,8 3 о Если же в уравнении (1) положить 1 7оа.= — — и+ а, 2 то для се получим значение еоо езао ! 13 а = — — з1п ш -~- — ( — з1п ш + — з1по ш) 2оо зае (, 8 3 и координата а второго узла будет определяться формулой еее Г еоао (13 )оа = — — и — — 1 — — ( — + — з1по в)~ з1п в.
(3) 2 2оо~ 8ое (,8 3 о Формулы (2) и (3) определяют в пределах периода волны два ее узла и показывают, что узлы стоячей волны конечной амплитуды перемещаются по оси абсцисс с течением времени. Иными словами, у рассматриваемых волн конечной амплитуды нет неподвижных узлов. В атом состоит одно из отличий стоячих волн конечной амплитуды от таких же волн, определяемых линейной теорией. Уравнение стоячей волны в произвольный момент времени определится формулами (6), (22), (27), (37), (38) 3 9, в которых координата Лагранжа Ь должна быть взята равной нулю. Формулы х =— = а+ 8 (а, О, в), у = о) (а, О, в) представят уравнение волны в зависимости от переменного параметра а.
Определим давление в яоидкости; пользуясь формулой Н = — "+ д(Ь+ т1) Р и найденными значениями функций Н и о), можем найти давление 684 гл.ю тногия Волн комичной Амплитуды в любой точке жидкости. Найдем это давление на бесконечной глубине, которой отвечает значение Ъ, равное — аа. Имеем йз йв Н = е' — соя2ив+ е' — (5соя2и>+ 4соя4и), 2ао 32аз о з) = е — соя 2)за. й' 7аз о Отсюда получаем — = — дЪ вЂ” е — соя 2йа + Р дйв Р 7аз о йз йв -+ е' — соя 2ив + е' — (5 соя 2ви + 4 соя 4ю). 2ав 32аз о Эта формула показывает интересную особенность в распределении давлений, обусловленную нелинейным характером задачи.
Первый член правой части дает гидростатическое давление, которое только одно и было бы при линейном рассмотрении задачи, т. е. для бесконечно малых волн. К этому члену добавляются при полном решении задачи слагаемые со второй и четвертой степенями параметра е. Второе слагаемое правой части дает незначительный добавок к гндростатическому давлению и, меняясь с координатой а, не зависит от времени.
Два последних члена, наоборот, не зависят от координаты Лагранжа а, но меняются во времени, передавая, таким образом, на бесконечную глубину колебания поверхности жидкости с течением времени. Укажем в заключение этого параграфа выражения периода н частоты колебания поверхности жидкости. Применяя формулы 4 9, имеем йз аз = у)о — ез й + '.0+..., 4е (1 + ез " + ез.0) 4 11. Некоторые работы по теории стоячих волн конечной амплитуды Определение стоячих волн на поверхности жидкости бесконечной глубины может быть сделано на основе первого метода Стокса, как это было показано в больших статьях Пеннея и др.
[160), И61). В основу исследования положено выражение потенциала скоростей Ов вр (и, у; з) = — )/ — ~) р'„е"йз соя и)ох; 111. нвкотогыв гавоты по тиоэии стоячих волн 685 коэффициенты этого разложения ~„— неизвестные функции времени, периодические по отношению к этому переменному с одним и тем же периодом для всех ])„, подлежащим определению. Уравнение открытой поверхности жидкости берется в виде О йу = — а, + ~1 а„соз пйх. и=г (2) Коэффициенты а„— неизвестные периодические функции времени, период этих функций равен периоду функций р„.
Для определения функций а„а„а„..., а„,..., 1о, 1ы 1з, ]). и их периода служат два уравнения: 00 1 ~~т1 м Ю 1 ч1 ч'ч + —, р э тпр„,р„е1"""ме соз ((т — и) йх] = О, (4) ~п=-1 п=1 О~ 1 .%.1 — а, т а сов тйх = 2,7 1 т=1 Ш та,„з1в тйх ~ п(1 е™",згц пйх — ~ пр„е""" соз пйх. (5) я 1 Первое из этих уравнеяий представляет собой условие постоянства давления на свободной поверхности жидкости, оно вытекает из интеграла Бернулли. Второе уравнение выражает тот факт, что частица жидкости, принадлежащая ее поверхности в какой-нибудь момент времени, будет и во все последующее время принадлежать поверхности.
В эти два уравнения надо подставить вместо у его выражение в виде ряда (2). После такой подстановки уравнения (4), (5) будут представлять собой два тригонометрических ряда Фурье по косинусам дуг, кратных йх. Коэффициенты этих рядов будут зависеть от неизвестных а, р и их производных по времени. Равенство нулю этих коэффициентов дает для функций (3) систему бесконечного числа нелинейных уравнений. В работах Пеннея и др. эти уравнения решаются путем разло-. жений в ряды по степеням малого параметра, за который берется ГЛ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
