Л.Н. Сретенский - Теория волновых движений жидкости (1163302), страница 95
Текст из файла (страница 95)
1 Теперь формула (11) примет такой вид: а (Ч1+ — Р) ~/ — Р— и1 (13) Из этой формулы следует, что величина т)1 не монеет превышать числа 2 3 Р которое в силу равенства (12) равно и. Вычислим интеграл формулы (13), получим ,'" ~=1 Отсюда имеем Следовательно, уравнение поверхности жидкости будет у =" ~ 3 зесЬ'(2А 1/ й )~' (14) Отсюда уравнение волновой поверхности (14) будет У=~й — 3 о)+ Ь'(,2А ~/А). (15) При х = О ордината у равна й + т а, это есть ордината гребня 2 3 волны. При х = ~оэ ордината у равна й — а!3. 2 Ординаты волны (15) монотонно убывают от значения й + — а 3 до значения й — а!3 при изменении х от О до со и прп изменении 21 Л.
Н. Среееиеииа где а = з'р. Перепишем зто уравнение, вводя основное независи- мое переменное х; имеем ГЛ. У. ТЕОРИЯ ВОЛН КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ от 0 до — со. Следовательно, уравнение (15) изображает уединенную волну. Уровень жидкости в бесконечности имеет высоту Н = Ь вЂ” а!3 над дном канала, и поэтому Н может быть названа глубиной канала. Внесем в уравнение (15) величину Н; тогда получим уравнение уединенной волны в новой форме: „= е« -.ь [ ~" ,т ]. Гребень волны возвышается над уровнем жидкости в бесконечности на величину а, следовательно, эта величина может быть названа амплитудой уединенной волны *). Применим первую из формул (4) к определению скорости и потока в бесконечности; учитывая лишь первые два члена правой части этой формулы, получаем для и такое выражение: и = с + з'7 (оо), или, на основании формул (9) и (14), — р'зл , и = )/'бй+ —,з'р.
ЗА Заменим адесь величину Ь величиной Н = и — а>3, получим Эту формулу можно упростить, устраняя в ней величины второго порядка малости по отношению к дроби а~Н. Проводя вычисле- ния, приходим к известной формуле, определяющей скорость распространения уединенной волны: и„, = у еН(1+ 2 Н1 (17) В связи с этой формулой следует сделать одно существенное аамечание.
В гл. 1 было показано, что скорость прогрессивной волны малой амплитуды никогда не превосходит величины ~/дН. Формула (17) показывает, что уединенная волна движется со скоростью, большей чем ~/дН; зто превышение критической скорости ~дХХ тем больше, чем больше амплитуда волны по отношению к глубине канала. Зти обстоятельства объясняются тем, чтопри «) Если учитывать лишь первые стеиевв дроби а>Н, то аргумент фуввцвв весЬ может быть записан так: у За х ~ц а -)-2Н 5 5. ВОЛНЫ кОРтЕВЕГА и ДЕ ВРИСА 643 изучении уединенной волны мы входим в область нелинейных волновых движений. Полученное нами решение вытекало из рассмотрения членов со второй и четвертой степенью з в условии (7) и членов с третьей и четвертой степенью з в условии (8)..
Рассмотрение следующих членов в условиях (7) и (8) приводит к дальнейшим приближениям — к уравнению (6) уединенной волны [136), [148]. Но, чтобы найти эти приближения, надо функцию ~ (2) представить в виде бесконечного ряда по степеням вспомогательного параметра. Укажем без доказательства формулы Лэтона, определяющие уединенную волну в дальнейших приближениях [138): — = — зесЬ'аХ вЂ” — ( — ) зесЬ2аХ(1 — зесЬ'аХ) + 0( — ) 2[(Х) Х 2 / а 12 ~Н Н 4(Н) [,и) ' Х = 2» ~/ 21 (1 — зн ) + О ( и ) и„= )'ьн [1+ 2н 20 (и) +0(~Д.
В работах основателей теории уединенных волн (Буссинеск, Рэлей) было дано лишь приближенное определение этих волн, и вопрос об их существовании, положительно решенный экспериментами, оставался, однако, нерешенным с точки зрения теоретической гидродинамики. Доказательство существования уединенных волн было дано сравнительно недавно М. А. Лаврентьевым [23) и К. О, Фридрихсом и Д. Г. Хайерсом [62[, использовавшими методы теории конформяых преобразований и теории нелинейных интегральных уравнений. Что >ке касается возможности построения доказательства существования уединенных волн с помощью метода разложения по малому параметру, то было установлено Жерменом, что получающиеся ряды являются расходящимися и могут служить лишь для получения асимптотических формул [102). Этн формулы дают возможность, однако, выявить главные черты изучаемого волнового движения.
й 5. Волны Кортевега и де Вриса Методы, изложенные в предыдущем параграфе для определения уединенной волны, дали возможность открыть новый вид периодических установившихся волн конечной амплитуды. Возьмем формулу (11) з 4 и устраним сделанное в з 4 предположение, что величина 6 должна изменяться от — оо до оо. Таким образом, будем предполагать, что многочлен Л = 3[,'+Сц„+С, 21* 644 гл. ч.
Теоэия ВОлн кОнечнОЙ Амплитуды не имеет двойного корня и что все три его корня — числа действительные. Если уравнение Л =- О имеет лишь один действительный корень, то интервал изменения Ч„определяемый неравенством — Зц'и+ С,ц, + С, ) О, уходил бы в бесконечность, но это неприемлемо, так как по смыслу задачи переменное гн должно иметь лишь конечные значения. Дадим С, какое-нибудь положительное значение, равное 2 — „р'; тогда уравнение Л:=- О будет иметь для значений С, ) рэ три действительных корня а, Ь, с, удовлетворяющих неравенствам с<Ь<О<а з Если же С, взять отрицательным и положить С, = — — р', то уравнение Л = О будет иметь три действительных корня, если С, ) р'.
Эти. корни а, Ь, с будут удовлетворять неравенствам с < О < Ь < а. В обоих случаях неравенство (1) будет соблюдаться при изменении гн между числами а и Ь. Так как в уравнении (1) отсутствует член с квадратом Ч„то между числами имеет место соотношение а -,'— Ь + с = О. Возьмем многочлен Л и запишем его так: Л = — 3 (тп — а) (ти — Ь) (Ч, — с), Преобразуем правую часть введением новой переменной величины Х вместо Ч,; положим 1 т] = —,(а+Ь) + — (а — Ь) 2Х О(Х( — (2) В новом переменном функция Л запишется так: Л = — (а — Ь)' (а — с) эшэ 2Х ]1 — аэ э]пэ Х], 3 4 где йа = — '-' (1.
а — с После этих вычислений формула (11) т 4 примет вид х 2А' ~ Х г'3(а — с) а 'тс1 — АаэшаХ (з) о Обращая этот эллиптический интеграл первого рода, получаем следующий результат, записанный в эллиптических функциях 646 ГЛ. У. ТЕОРИЯ ВОЛН КОНЕЧНОИ АМПЛИТУДЫ Пользуясь выражениями величин у и х через угол т, имеем с!З Алсос'Х+ йзюп' л Х. Ус1 — йт з!пз 2 е (9) Установим теперь формулу для определения скорости П прогрессивной волны. Под скоростью волны мы будем понимать среднее значение скоростей частиц жидкости на дне бассейна прн установившейся волне. Имеем лз 1 с1 = — ~ ис1х.
Х вЂ” л <2 лез Ио при у = — 0 имеем и = с — — цл нлн, по формулам (2) и (3), дез Г 1 1 и = с — — ~ — (а + Ь) + — (а — Ь) соз 2Х1, с (2 2 бах 1/1 — Ез Ып' Х Преобразуем правую часть этой формулы, пользуясь равенствами (7) и (8), получим П = 2с — —" (10) с) Основная работа Кортевега н де Врнса н работа Лзтона (1381 содержат учет высших степеней е в разложениях.
здесь с=- ф' дй. Таким образом, мы имеем три формулы (5), (8), (9), содержащие шесть величин: й, й„й„й', Н, Х, определяющих волну Кортевега и де Вриса. Из этих шести величин принимаем Н, глубину потока, как величину известную, затем рассматриваем Х и й, как величины данные. Таким образом, по величинам Н, )л, й, можно определить из формул (5), (8), (9) остальные параметры волны: й, йз, й'. По формуле (10) находим затем скорость движения прогрессивной волны. Детальное числовое решение уравнений, определяющих параметры кноидальных волн, можно найти в статье Вигеля [203!. Из атой статьи мы заимствовали рисунок профилей кноидальных волн для разных значений модуля й эллиптических интегралов (рис. 76).
Кривая, отвечающая йз = О, есть дуга косинусоидальной волны; кривая, отвечающая йз = 1 — 10 ае, почти совпадает с профилем уединенной волны. Между этими двумя крайними кривыми располагаются волны Кортевега и де Вриса для разных значений й. Рядом авторов были определены кноидальные волны с учетом высших степеней параметра е (в разложении ординаты волны *)). 647 1 б. ИССЛЕДОВАНИЯ ЛОРДА РЭЛЕЯ Точная теория волн Кортевега и де Вриса была построена Литтменом *).
Изложенная в Я 4 и 5 теория волн конечной амплитуды на поверхности жидкости конечнойглубины должнасодержать в себе П Д7 Ц~ б(,7 дб 77~ х л Рис. 76. теорию кноидальных волн. Совместное рассмотрение результатов этих двух теорий содержится в статье Дэ (94), указанной в 3 2. 9 6.
Исследования лорда Рэлея По теории установившихся волн конечной амплитуды лордом Рэлеем было опубликовано три статьи: в 1876 г., 1911 г. и в 1917 г. В первой из этих статей [168) им было показано, что условие постоянства давления на свободной поверхности бесконечно глубокой жидкости может быть удовлетворено, с точностью до третьих степеней малого числа а, выбором следуюп(ей функции тока: «р = — су + аетв соз йх.
(1) Для упрощения дальнейших вычислений введем вместо х, у, «р и параметра а новые величины х„р„«р, и е, полагая Ьр ОА' хт = 7«х, У, = /с;7, «Р, =- —, е = — . (2) В новых обоаначениях будем иметь вместо равенства (1) такое равенство: «(«г — уг + еее сов х„ «) У. Л и т т м е н, О существовании периодических волн при скорости, близкой к критической (сборник переводов «Теория поверхностных велит, М., ИЛ, 1959). Оригинал статьи в журнале: Оощжпп.
Роге апб Арр!. Ма«Ь. 10 (1957), 241 — 269. 848 ГЛ. У. ТЕОРИЯ ВОЛН КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ или, отбрасывая здесь и зо всем дальнейшем индекс 1; (3) зр = — у + ее" соя х. Найдем, пользуясь этим равенством, уравнение линии тока в виде, разрешенном относительно у, проводя вычисления с точностью до третьей степени параметра е. При е = О имеем у = — зр. ,Продифференцируем равенство (3) по параметру е, получим (1 — ее" соя х) У = е" соя х. де (4) Положим здесь е = О, получим (д ) = е ~соях (5) Продифференцируем равенство (4) по параметру е, найдем дзу г ду / ду ~з1 (1 — ее" соя х) — = ~2ез соя х — + ее" соя х ( †' ) 1 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
