Л.Н. Сретенский - Теория волновых движений жидкости (1163302), страница 90
Текст из файла (страница 90)
+ езса + ..., 1. ПЕРВЫЙ МЕТОД СТОКСА 609 давать связь между длиной установившейся волны, ее амплитудой и скоростью потока. Мы ставим своей задачей найти коэффициенты рядов (5) и (6), имеющие порядок, не превышающий третий по отношению к параметру е. Подставим ряды (5) и (6) в условие (3). Получим следующее равенство: д~фз дфз ~, дзф1 „дф1 дзф1 дф1 дзф1 1 дхз ду,~ дхз дх дхз ду дхду ~ дзфз дфз'2 ( ' дзфз дф1 дзфз дф1 дзф 1 + ез ~(с — + д — )+~ с, — — 2со — — — 2с — ' — ~+ 0 дх2 ду) ' (, дхз дх дхз О ду дхду) дзф1 дфз дзф дф2 '~ дхз дх дх ду ду ) Обратимся теперь к условию (4), подставим в правую его часть ряд (5), получим + ~ — + (9) з дфз дф, дфз дф, дф 1 дх дх дх ду д в ряды по дз 0 з ф1 У дуз ' 6 д фз уз — +— дуз 6 д2фз 3 — +— дуз 6 Индекс 0 вверху указывает, что соответствующая функция беретсн дляу=О. Разложим затем неизвестную функцию у в ряд по степеням е, получим у = еу, + е'у, + езуз +...
(11) Теперь мы должны подставить разложения (10) н (11) в условия (8) и (9) и приравнять нулю коэффициенты при различных степенях е. Составим прежде всего коэффициент при е в первой 20 Л. Н. Сретенский Разложим функции Зрг фз фз дф уз о ф1(х, у) = ф1(х 0) +, д, + 9 у дфз уз о Зр,(х,у)=ср,(х,О)+ 2 д +— ду у дфз у2 о фо (хз у) = фи(хФ О) + — — + —, степеням у, найдем дзфо 1 дуз + =,' + ..., (10) дзфе — '+... дуз 610 гл. ю тяогия волн коннчнои амплиттды степени в условии (8). Получим д2<~э дузэ с — +д — =О. э д,~ (12) Возьмем интеграл уравнения Лапласа ср, = Ье~" з(п Йх; (13) адесь число Ь имеет проиавольное аначение, число Й связано с дли- ной периодической волны формулой я = 2ЫЛ.
Этот интеграл определяет потенциал скоростей бесконечно малых волн, движение от которых стремится к нулю по мере погружения в жидкость. Функция (13) будет удовлетворять условию (12), если сэ взять равным са — И = со. 3 (14) Перейдем затем к условию (9). Пользуясь всеми предыдущими разложениями, находим (сравнением коэффициентов при первых степенях з в атом условии) функцию у„: Уг = — соз йх. ь (15) со Применяя результаты (13) — (15), составим на основе рядов (10), (11) коэффициент при з'в условии(8).
Проводя вычисления, приходим к следующему граничному условию для функции ~уз (х, у): дзюдо дтэ с — ~ -(- д — ~ — Ьс йз з)п Ьх = О. дхз ду Ьзаз Уз = — соз 2йх. 2д (16) Уравнение Лапласа будет иметь периодический по х интеграл, удовлетворяющий этому условию лишь в том случае, если с, =О.
При таком значении с; функция ~р, (х, у) будет снова давать потенциал скоростей бесконечно малого волнового движения. Мы будем считать, что такое движение дается найденной уже функцией у,(х, у). Если этого не предполагать, то заменой параметра е некоторым новым параметром з' можно тем не менее представить бесконечно малое движение лишь первым членом ряда (5). Таким образом, можно считать, что функция ~р, (х, у) тождественно равна нулю. Установив это, приравняем в условии (9) друг другу коэффициенты при з' в правой и левой его частях. Получим после выполнения простых вычислений $1. ПЕРВЫЙ МЕТОД СТОКСА 611 Ззссо 8<~2 со — + Ь' — + Ьй (Ь й — со)язв йх — 0 Рассуждая, как и выше, находим, что функция ссз(х, у) = 0 и число с, должно иметь следующее значение: сз — — Ьзй2, (17) Найдем с помощью условия (9) функцию уз.
Получим ыьз у, = —,(Зсоя'йх — 2сояйх), 2дсо или Ьзос уз = — (3 соя 3 йх+ соя йх). 82 со Собирая вместе результаты всех подсчетов, получаем, что потенциал скоростей Ф = — сх + ебеоо я(п йх (18) определяет с точностью включительно до третьих степеней параметра е установившееся волновое движение бесконечно глубокой жидкости, имеющей основную скорость с. Уравнение поверхности жидкости запишется так: езьзьз з сзьой2 зезьзаз у = ( — + — )сояйх+ соя2йх -(- — сояЗйх. (19) "о висо 2 8есо Представим полученный результат в другой форме, вводя вместо параметра е новый параметр а, полагая еЬ езьзьз — + — = а. с, 8есо Отсюда находим е в зависимости от а: е Ь (а — 8 йоао) . Введем в формулы (18) и (19) параметр а, получим 2 2) Ф = — сх+ со(а — — йоаз)еоо Яшйх 8 ) \ у = асояйх+ — аойсоя2йх+ — аойосояЗйх. 1 2 8 22 2 8 (20) (21) Параметр а можно назвать амплитудой волны.
гоо Подставим разложения (10), (11) в условие (8) и приравняем нулю коэффициент при ез. Проводя вычисления, получаем следующее граничное условие для гармонической функции зро (х, у): С(2 ГЛ. Ч. ТЕОРИЯ ВОЛН КОНЕЧПОЙ АМПЛИТУДЫ Выпишем второй пз рядов (6), пользуясь равенствами (14), (17); получим с' = — + зЧРЙ', й или, вводя параметр а и длину волны Л, с' =.
— 2(1 +, ). (22) Найденную нами установившуюся волну конечной амплитуды можно рассматривать также как некоторую прогрессивную волку, распространяющуюся без изменения своего вида по поверхности жидкости, покоящейся в бесконечности. Скорость распрострапекия с такой волны, имеющей длину Л и амплитуду а, будет определяться формулой (22). Эта формула показывает, что скорость волны кокечпой амплитуды зависит не только от ее длины, как это имеет место для бесконечно малых волн, но также и от амплитуды. Приведем без вывода результаты определения волы конечной амплитуды для бассейна конечной глубины а.
Учитывая лишь вторые степепи амплитуды а, запипзем ураввение волны в следующем виде: сь ЛЗ (сь 24Л + 2) у — а соз йх — 4 йа соз йт 4 з11з Л в соответствующий потенциал скоростей будет Ф = — сх+ ас „зшйх — — „, „а'сзва2х; (23) зэ(у+Ь) . 3 сь[2З(у+ Ь)] между скоростью потока и длиной волкы имеет место зависимость ХЛ 2ЯЬ с' = — (Ь вЂ”, 2л верная до вторых степеней амплитуды а включительно. При исследовании бесконечно малых прогрессивных волн было установлено, что каждая частица жидкости описывает замкнутую эллиптическую траекторию при распространении волны. Изучая вопрос о форме траекторий частиц жидкости при распространении прогрессивной волкы конечной амплитуды, Стокс пришел к неожиданному и замечательному результату, что при распространевии такой волны частицы жидкости имеют, помимо колебательного движения, еще постоянное движение в направлении распространекия волны.
К такому заключению Стокс пришел, интегрируя уравнения движения частиц жидкости при наличии потенциалов скоростей (20) и (23). Дадим доказательство существования такого дополнительного стоксова течения, следуя рассуждениям Рэлея (168'), для бесконечно глубокого потока. !. ПЕРВЫИ МЕТОД СТОКСА но Г -- (АЯО; отсюда 1 ( с пл. АВВС 0 (24) Заметив эту формулу, рассчитаем то время Т', в течение которого частица жидкости, находящаяся на очень большой глубине, проходит путь между вертикалями гребня А и долины В волны. Пусть через элементарную трубку А'В'Р'С', лежащую на большой глубине, проходит в течение времени й то же количество жидкости С! й, какое проходит через трубку АВРС. Так как рассматриваемая трубка находится весьма глубоко, то линии А'В' и С'Р' могут считаться прямыми. Время Т' пробега пути А'В' определится так: пл.
А'В'В'С' (25) Проведем теперь некоторое число линий Ф = сопзь так, чтобы они разбили прямоугольную полоску А'В'Р'С' на квадратики. Эти линии будут разбивать криволинейную полоску АВРС тоже на квадратики, но эти квадратики не будут уже равными. Действительно, обозначим через с)Ф разность значений Ф для каждых двух соседних линий Ф = сопз1. Очевидно, дФ = — 'г'дг, но в силу интеграла Бернулли скорость У с перемещением точки И от А к В увеличивается, следовательно, при переходе от одного квадратикакдругому(спускаясь вниз) будем получать уменьшающиеся значения !!з. Отсюда вытекает, что квадратики полоски АВРС будут разных размеров. Если бы теперь мы разбили линию АВ на равные части, оставляя число частей прежним, и на каждом кусочке построили бы квадратики, то сумма Я площадей этих квадратиков была бы меньше площади АВРС.
Но так как линия АВ имеет ббльшую длину, чем линия А'В', то Я будет больше, чем площадь А'В'Р'С'; поэтому площадь А'В'Р'С' меньше площади АВРС. Пусть АВ будет поверхностью волны от гребня до низшей точки ее долины. Будем предполагать, что на бесконечной глубине жидкость имеет движение слева направо со скоростью с. Рассмотрим вблизи липин АВ некоторую другую линию тока СР между вертикалями точек А и В. Обозначим через Оп поперечное сечение полоски АВРС в некоторой ее точке Л!; пусть г' будет скоростью жидкости в этой точке. Обозначим, далее, через С !!! количество жидкости, проходящей через сечение АС за время с!!.
Время, необходимое частице я<идкости для пробега кривой АВ, выразится так: ГЛ. У. ТЕОРИЯ ВОЛН КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ 614 Отсюда па основании формул (24) н (25) следует, что Т' .~ Т. Следовательно, пробег частицей жидкости дуги АВ длится дольше, чем пробег линии А'В'„иными словами, около поверхности жидкости существует некоторое дополнительное течение, направление этого течения будет от вертикали точки В к вертикали точки А, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
