Д.В. Маклаков - Нелинейные задачи гидродинамики потенциальных течений с неизвестными границами (1163230), страница 9
Текст из файла (страница 9)
2 Эта функция является реальной частью аналитичесхой функции х(!) = !п«о(!), и, следовательно, ~(!) может быть восстановлена с помощью интеграла Шварца. Далее найдем «о(«) = ехй) и! 1 4 не ! э!и 7/2] (5.5) ! .'(" )! является 2т-периодической непрерывной функцией, определяемой геометрией профиля.
Из выражения (5.4) следует соотношение (5.1). Прологарифмировав, а затем продифференцировав выражение (5.4) по о, получим дифференциальное уравнение, которому должна удовлетворять функция двух переменных Ц7, а); Глава 2, Теория кавитационкых диаграмм и в параметрическом виде при 1 = егт получим контур профиля. Постоянная ио при этом играет роль множителя пропорциональности и подбирается так, чтобы профиль имел заданные размеры.
Даныая процедура хорошо изучена, поэтому на ней подробно не останавливаемся. Отметим лишь, что распределение скорости не может быть задано произвольно, а должно удовлетворять условиям разрешимости [37, стр, 34 — 37]: % !пр'(у,а)47 = О, (5.
7) ест!и \С(7, а) 87 — 2т!еьх в1п а = О. с ш т (5.8) Условие (5.7) обеспечивает единичыую скорость на бесконечности; условие (5.8) необходимо для того, чтобы контур построеыного профиля был замкнутым. Введем функцию (5.9) 1(а) = шах к'(7,а). Эта функция будет огибающей семейства фуыкций 1с(7,а), если 7 взять в качестве параметра семейства, а а — в качестве переменной. То же самое имеет место и для функции Г(а): она будет огибающей семейства функций -Ср(7, а), где Ср — коэффициент давления. Поэтому кавитационную диаграмму Г(а) иногда называют огибавшей давлений (см. (139), (140)). Введенную выше функцию 1(а) будем называть огибающей скоростей.
Из иытеграла Бернулли следует, что кавитационная диаграмма Г(а) и огибающая скоростей )(а) связаны между собой простым соотношением: (5.10) Математическая постановка задачи проектирования профиля псе заданной кавитационной диаграмме состоит в следующем. Задача 1. Пусть Г(а) — произвольно заданная функция. Найти все функции 1с(7, а), удовлетворяющие условиям (5.1), (5.
7) — (5.10). Почти очевидно, что не для всякой функции Г(а) задача 1 имеет решение. Например, нельзя брать Г(а) < 0 при каком-либо а, так 59 15. Проектирование по кавитационной диаграмме как отсюда следует, что /(а) ( 1. Последнее противоречит принципу максимума модуля для аналитических функций. Отсюда возникает следующая задача. Задача 2. Найти условия, которые необходимо аалолсить на функцию Е(а), чтобы задача 1 илеела решение. 5.2. Формальное решение задачи 1.
Пусть Е(о) — произвольно заданная функция. Если она является кавитационной диаграммой для некоторого профиля, то огибающая скоростей может быть найдена по формуле (5.10). Таким образом, вообще говоря, все равно, что зацаватгк г'(а) или /(а). Однако для математических исследований гораздо более удобной является огибающая скоростей. Поэтому в дальнейшем математические результаты записаны через функцию /(о). Их переформулировка в терминах Г(а) не вызывает никаких затруднений. Пусть Т(а) — точка, где функция Р'(у,а) достигает своего максимума по у при фиксированном угле атаки а. Введем две функции д(а) = 2 а+ агс1к— Г(о)) /(о) 3 (5.11) о(т, о) = 1п /(а) — 1п ) сов(т/2 — о) ~ — 1пд(т), (5.12) (5.13) Уравнения (5.11), (5.13) дают соотношение у(о) = д(о). (5.14) Таким образом, полярные углы точек на параметрической окружности, где достигаются максимумы скорости, находятся с помощью простых формул (5.11), (5.14). где д(у) — функция, связанная с распределением скорости И(у,о) соотношением (5.4).
Та«как /(а) = Р (у(о), о] > Ъ'(у, а) для произвольных значений у н о, функция о(т, а) достигает своего минимума при Т = т(а). Отсюда следует, что до/до = 0 при Т = т(а). После дифференцирования функции о(т, а) по а получим: 66 Глава 2. Теории кавитвлиоииых диаграмм В точке 7 = 7(гг) имеем 1'(7(а),гг) = Дгг). Следовательно, если д '(7) — функция, обратная к д(а), то согласно уравнению (5.1), распределение скорости на угле атаки,9 может быть записано так; г(7 Р) = М(7,д) (5.15) где Пусть теперь у(гг) — заданная функция от о в некотором диапазоне углов атаки ггг < о < ггт. С помощью формул (5,11), (5.14) можно определить положение максимумов скорости на параметрической окружности.
Значении скоростей в этих точках могут быть найдены из соотношений (5.15), (5.16) для любых углов атаки. Таким образом, формулы (5.11), (5.14), (5.15), (5.16) дают решение задачи 1. Однако следует заметить, что это решение является только формальным, что вытекает из следующих рассуждений. ° Нет никакой гарантии, что вся параметрическая окружность окажется покрытой точками, полученными с помощью соотношения (5.14). Следовательно, формальное применение формул (5.11), (5.14), (5.15), (5.16) может привести к появлению на параметрической окружности некоторого множества точек, где распределение скорости будет не определено. ° Нет никакой гарантии, что точки, полученные с помощью (5.14), не наложатся на параметрической окружности друг на друга, что будет приводить к переопределенности задачи, так как функции г'(у,гг) окажется многозначной.
° Нет никакой гарантии, что формула (5.14) определяет точки максимума функции Ч(7, гг), так как формальное дифференцирование функции о(7,гг) может дать в результате точки минимума вместо максимума. ° Нет никакой гарантии, что полученный в результате контур профиля окажется замкнутым и будет обтекаться с заданной скоростью на бесконечности. Все зти вопросы связаны с задачей 2, поставленной в предыдущем разделе.
Ее решение оказывается значительно сложнее, чем решение задачи 1, и изложено ниже. 1о. Проектирование по кавитапвонной диаграмме 61 5.3. Строгое решение задач 1 и 2. Прежде всего уточним область определении функций Г(о) и Да). В предыдущем разделе, дав формальное решение, мы предположили, что эти функции заданы в некотором диапазоне а~ < а < от, причем границы этого диапазона никак не участвовали в наших построениях. Заметим, что при выводе формулы (5.4) мы использовали модель потенциального обтекания профиля идеальной жидкостью.
Эта модель дает удовлетворительные результаты для распределения давлений лишь в узком диапазоне углов атаки, в котором отсутствует кавитация и нет отрыва пограничного слоя. Поэтому определенная по формулам (5.9), (5.10) функция Г(п) будет совпадать с реальной кавитационной диаграммой также лишь в узком диапазоне углов атаки. В то же время, мы не знаем заранее этого диапазона, более того, границы его зависят от числа кавитации и числа Рейнолвдса, а, следовательно, от скорости движения профиля. Однако имея гидропрофиль заданной формы, мы всегда можем определить для него функции /(о) и Р'(а) по теории потенциального обтекания во всем теоретически возможном диапазоне изменения углов атаки — и/2 < а < к/2. С построенными таким способом функциями До) и Г(о) мы в дальнейшем и будем работать, назвав их, соответственно, огибающей скоростей и кавитационной диаграммой.
Значения максимальных скоростей и давлений, которые они определяют, близки к реальным лишь в малой окрестности углов атаки вблизи точки о = О, где отсутствует кавитации и нет отрыва пограничного слоя. Однако задачей проектирования как раз и является построение бескавитационного и безотрывного профиля. Поэтому построенная по модели потенциального обтекания кавитационная диаграмма может быть использована для задач проектирования с тем же успехом, что и полученная в результате экспериментов или с применением более точных моделей. Итак, мы предполагаем, что кавитациоиная диаграмма Е(о) задана в диапазоне — к/2 < о < я/2.
Нереально большие углы атаки будут играть важную теоретическую роль в нашем исследовании. Более того, как будет видно из дальнейшего изложения, углам атаки а = жк/2 можно придать вполне определенный физический смысл. Метод продолжения кавитационных диаграмм с любого диапазона пг < о < от на полный диапазон -к/2 < о < к/2 будет изложен в разделе 5.5 настоящего параграфа. Будем изучать профили, у которых распределения скоростей являются непрерывными 2к-периодическими функциими от т. Непрерыв- 62 Глава 2 Теория кавнтационнык диаграмм ность и к-периодичность в'(7,а) по а следует из уравнения (5.1), Кроме того, предположим, что для всех значений угла атаки а (5.17) шах в'( у, а) > в'(О, а), ч то есть максимум скорости не достигается в острой кромке профиля.
Это предположение является естественным. В самом деле, если профили имеет в задней кромке ненулевой угол, то К(О, а) = О и условие (5.17) очевидно. В случае нулевого угла в задней кромке неравенство (5.17) не тривиально, однако может быть доказано строго для профилей с конечной кривизной своего контура (см. приложение к данному параграфу). Пусть у(а) — функция, определяемая следующими соотношениями Ц7(а), а) = птах Ъ'(7, а), (5,18) 7 ! у(а)/2 — а )< к/2.
(5.19) Как следует из (5.18), функция у(а) определяет точки расположения максимумов скорости при угле атаки а. Так как для одного и того же а максимум скорости может достигаться в нескольких точках, функция у(а) может быть многозначной. Для каждого значения а неравенство (5.19) выделяет однозначную ветвь изменения полярного угла 7. В силу того, что в'(7, а) = О при 7 = хк+ 2а, равенство в (5.19) невозможно. Предлагаемый метод 'отыскания распределении скорости к'(7, а) по заданной огибающей скоростей основан на построении вспомогательных функций д(а), М(у,а), которые были введены в предыдущем разделе по формулам (5.11), (5.16). Эти вспомогательные функции связаны с функцией распределения максимумов 7(а) и распределением скоростей в"(7, а), но зта связь оказывается сложнее, чем задаваемая формулами (5.14), (5.15).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
