Д.В. Маклаков - Нелинейные задачи гидродинамики потенциальных течений с неизвестными границами (1163230), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Область кзмевеккя фувкцвя Жуковского м(1) лля течеккя около оптямелькмх дефлекторов Формулы (3.21), (3.22) в явном виде задают зависимость угла на- клона вектора скорости от дуговой абсциссы контура для нижней 43 13. Дефлектор наилучшей формы половины оптимального дефлектора. Форма дефлектора может быть найдена с помощью соотношений (1.38). Как н в 11 и г 2, на концах оптимальных дефлекторов имеются спиралеобразные "микроскопические" завитки, аснмптотически стремящиеся к логарифмическим спиралям (формулы (1.36) и (2.41)). Для нижней половины дефлектора уравнение спиралей следующее: г 16 а е и Ь (аг — 1)г кт где г — расстояние от точки С до точек дефлектора, у — полярный угол (отрицательный), М определяется по формуле (1.37). На рис. 13 показаны формы оптимальных дефлекторов для различных к < Й'.
Приведены также две различные формы с д = л при й = 8 > /с", определяемые семейством (3.16). Отметим, что поскольку функция д„, (л) (рис. 10) монотонно растет с ростом к, полученное решение (3.17), (3.19) является и решением задачи об определении формы криволинейного дефлектора, отклоняющего струю на заданный угол д н имеющего минимальную длину 2Ь. В зтом случае параметр а определится из уравнения 2 1+а Г 2а = -1 — +т( — 1), 1 а ~от+1( ' а минимальное значение и = Ь/Н может быть найдено по формуле (3.17). В табл.
3 приведены минимальные значения и при различных д (максимальные значения д,е при различных к = Ь/Н). Таблица 3 Мнввыалавые значении величины и = б/Н длв раэличвык У~о 44 Глава 1. Экстремальиые зацачи теории струй —.7 -1.0 —.7 —.б —.5 —.4 —.3 —.2 —.1 О и/Ь Рис. 13. формы онтимальимх дефлекторов при различных й 45 14. Задача о глиссировании 34, Задача о глиссировании Рассмотрим задачу, поставленную Ву и Витии в работе [203]. Дуга АВ длины 2Ь глиссирует по поверхности невесомой идеальной жидкости со скоростью Уц.
Хорда дуги равна 2!. В системе координат, жестко связанной с дугой, течение имеет вид, изображенный на рис. 14. Начало координат помещено в точку О, делящую дугу АВ на две части равной длины Ь. На свободных поверхностях СА и ВС скорость постоянна н равна К~. Требуется найти форму дуги АВ та-. ким образом, чтобы при заданных Е и 1 подъемная сила У дуги была наибольшей.
го Рис. 14. Физическая ооллсть течеиил о, !!) С! Рис. Нс Параметрическая плоскость Е Ву и Витии удалось построить приближенное аналитическое решение данной задачи для малых значений параметра !с = 1Ь вЂ” !)/!. Сделаем небольшое отступление от постановки 1203], а именно, Глава 1. Экстремальные задачи теории струй будем считать, что задана только длина луги 2Ь, и построим точное аналитическбе решение модифицированной задачи. Следуя (203), выберем в качестве канонической области нижнюю полуплоскость С» параметрической плоскости 1 (рис.
15), Конформное отображение области С~ на область комплексного потенциала И' имеет вид (4.1) где а — постоянная, имеющая размерность длины. Введем функцию Жуковского ы(1) по формуле (1.2) и предположим, что известна функция и(с) = Нею(1) при 1 =с, ф < 1. (4.2) На свободных поверхностях СА и ВС имеем Нем(1)=0 при 1=~, ф)1. (4.3) Из (4.2) — (4.3) с помощью формулы Шварца для нижней пйлуплос- кости получим (4.4) ы(1) = — ы(1). (4.5) Формулы (4.1) — (4.4) позволяют выразить все интересуюшие нас характеристики течения через функцию иЯ) и параметр а.
Для длины дуги 2Л имеем выражение 1 еи(Г1 4» -1 (4.6) Формула (4.4) определяет аналитическую в нижней полуплоскости функцию, удовлетворяющую краевым условиям (4.2) — (4.3). В то же время, если считать, что 1 изменяется во всей параметрической плоскости, то с помощью формулы (4.4) можно построить аналитическое продолжение функции ы(1) из нижней полуплоскости в верхнюю. При этом функция ы(1) оказывается однозначно определенной во внешности отрезка [ — 1, 1), причем 14. Задача о глнссированин Для силы Р, действующей на дугу, получим г = Х + 11 = ' ~(Р Рс) о» = 1 -1 1 1 — -1рУан ~ [е~й) — е-"И)~ 4(, 2 -1 (4.7) Здесь р — давление со стороны жидкости на поверхность пластинЫ, рэ — давление на свободной поверхности, р — плотность жидкости.
Из соотношений (4.5), (4.7) следует, что Х+ (у = -(руста~с"1 141, 2 (4.8) где интегрирование ведется по любому контуру, охватывающему отрезок [-1,1). Направление обхода контура — против хода часовой стрелки. С помощью формул (4.4), (4.8) и теории вычетов найдем У = рУе а и(с)о6 Х = О, — ! (4.9) Исключив из (4.6), (4.9) параметр а, будем иметь (4.Й~ У = р~'~ЬЩ, где 2 ) э(()4~ Я[и] = ) е"И18~ -1 (4.11) Таким образом, гидродинамическая задача определения дуги максимальной подьемной силы эквивалентна отысканию максимума функционала (4.11), 48 Глава 1. Экстремальные задачи теории струй Максимум функционала Л[и] имеет смысл искать при положительных значениях интеграла 1 Т = / и(~)ог.
-1 При Т > 0 мы можем оценить знаменатель выражвиии (4.11) с нвмо- щью неравенства Йенсена (1,14). Получим Л[г,) < Т;т1з (. ) причем равенство в (4.12) возможно только при и(Г) = сопзг. Правая часть неравенства (4.12) является функцией от Т, достигаюшей единственного максимума при Т = 2. Следовательно, Л[ь] < 2е (4.13) причем равенство в (4.13) возможно только при (4.14) и(~) = 1, Функция (4.14), таким образом, дает решение поставленной задачи. При этом У < Умах = 2ф'о Ье ', (4.15) 1 1 — 1 ы(1) = — )и —.
1+1 (4.161 1 1 — з/Ь р = — 1и т 1+ з/1 (4.17) Скорость вдольэкстремальнойдуги постоянна: $'(й) = усе '. Область изменения функции Жуковского ы(1) имеет вид вертикальной поло- сы е ' < Кем < 1. Заметим, что в отличие от задач, решенных в 11-13, оценка (4.151 является абсолютной и не зависит от каких-либо дополнительным условий,.как-то пересечения струй нли положительности коэффициента донного давления. Из (4.14), (4.16) найдем, что угол 9 наклона касательной к экстремальной дуге и дуговая абсцисса з связаны соотношением 49 14. Задача о глиссироваиии (4.18) г/Ь = 2ехр(М+ и1о), где М = -и2/2 — и агсгк т + !и (х/1/х2+ 1), 12 — полярный угол (отрицательиый), г — расстояние от точки В до точек экстремальиой дуги.
Форма дуги наибольшей подъемной силы может быть найдена с помощью соотиошеиий (1.38). Эта форма показана иа рис, 16. —.4 х/Ь -1.0 —.8 —.6 —.4 —.2 .0 .2 .4 .6 .8 1,0 Рнс. 16. Форма дуги максимальной подъемной силы Вычислим длину хорды 21 и параметр /е = (Š— 1)/1 для'экстремальиой дуги. Из соотношений (4.17), (1.38) будем иметь 1 — сов — 1и — дб. -1 (4.19) Сделав в иитегрэле (4.19) замену переменной 1 1 — с и = — 1и —, и 1+с получим Ело у (1+ ееи)2 — = 2х 1 сов и би ео 2я(11+ 12), Из формулы (4.17) следует, что экстремальная дуга симметрична отиосительио оси у и.ямеет яа левом и правом концах спиралеобразные завитки.
Асимптотически эти завитки являются логарифмическими спиралями и задаются уравнением (для правой половины) Глаза 1. Зкстремальные задачи теории струй где «и-ш е Ег = — / ( — — йи. =2l (1+.-) етеее» 4., (1+ еее)2 Каждый из интегралов Е~ и Ет может быть найден с помощью теории вычетов путем интегрирования функций 1 е™+" 1 Р~(1) = —,, и Рт(1) = — — е 2 (1+ ет~)т 2 (1+ етс)2 по границам полосы 0 < 1т1 < 2 в плоскости 1. В результате имеем — — — 1е = еЬ(1) — 1 щ 0,1752011.
! 2е Х ет — 1 С„= — < 2 '(1+ )е), Р~о 1 (4.20) причем равенство возможно только при 1е = еп (1)-1 для дуги, форма которой определяется ссютношениями (4.17), (1.38). Таким образом, получено не только точное аналитическое решение преобразованной задачи Ву и Витии, но и полное решение поставленной ими задачи для одного частного значения параметра 1е = зп (1) 1 Для малых и в работе ]199] представлено приближенное аналитическое решение полной зацачи: Сэме„= 4]2дтс1к(дт)]е/1(н), и = с18 (дт) 1 '" Р ) /1(д) 2дт / где 1 / е1п от'1 1(д) = 4 — — ] 1 — ] + ]8дйс18(дт)]т. е)птдт ], 2дт На Рис. 17 (кРиваЯ 1) показана зависимость С ае(Ь) п ная по этим формулам.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
