Д.В. Маклаков - Нелинейные задачи гидродинамики потенциальных течений с неизвестными границами (1163230), страница 11
Текст из файла (страница 11)
19а,б показаны огибаюшая скоростей с тремя точхами разрыва ~'(а) и соответствующая этой огибающей область 5(1*), Глава 2. Теория кавитациапвых дкаграмм Вышеприведенные рассуждения доказывают справедливость следующего свойства огибающих скоростей. Свойство 3. Константа Ко > О, а ю = (К1 + гКт)/Ко б Я1"). (7) Ф С"1 Оз = Сте <тэ т(7) 7о Рис.
19. Огибающая скоростей с тремя точками разрыве 1'(а) '(а); соответствующая область Я(1') (в); область 5(1') лля профиля, проектируемого са свяепай насовав честью (е) Результаты данного раздела могут быть подытожены в виде следующей теоремы, Теорема 2.2. Пусть функция 1(сг) являетсл огибающей скоростей для некогпорого профиля с замкнутым конгпуром, тогда 1(о) удовлетворяет свойствам 1-3, Пусть 1(о) — функция, для которой выполняютсл свойства 1-8, тогда существует бесконечное мнолсество функций т(7), удовлетворяющих (5.31) — (б.ул). гХая каэгсдой функции т(7) этого мноэтсества контур профиля, построенный с помощью представления (б.дд), будет замкнутым и иметь в качестве огибающей скоростей заданную функцию 1(о). 15.
Проектирование по кавитадиониой диаграмме 5.4. Профили со связной носовой частью. Определим носовую часть произвольного профили как совокупность точек на его поверхности, где расположены максимумы скорости, когда угол атаки а изменяется в пределах — я/2 < а < т/2. Соответствующее множество на параметрической окружности обозначим через ))Г, В общем случае, рассмотренном выше, носовая часть состоит из изолированных точек и дуг, как показано на рис. 20а.
гтяс. 20. Пример профиля с носовой честью, состоящей яз одной взелвревзлпой точки (1) я двух взсляревеяяых луг (2 — 3) (е); профиль се связной носовой частью (б) Предположим, что множество )гг представляет собой отдельную связную дугу (см. рис. 20б). При таком предположении нереальные профили с поверхностными вогнутостями исключаются из рассмотрения. Более того, функция пг(7) теперь равна нулю всюду, за йсключением участка Е(а,) = (д(ас — О), д(а, + О)), порожденного разрывом /'(а) на центральном угле атаки а,. Следовательно, 1'(у,а) = М(7,а) при 7 ф1(а,), )'(7,(1) = М(7,0)е (т) при у Е 1(а,) и неопределенность в выборе )У(7, а) остается только на сегменте 1(а,), независимо от того, имеются или нет другие точки разрыва /'(а), помимо а,.
Более того, в свойстве 3 область Я(1" = 1(а,)) состоит только из одного кругового сегмента (см. рис. 19е), опирающегося на дугу 76(7о 7о) где 7о =д(а,+О), 7в =д(а,— О). ЗначениЯ 7р+ и 7е опРеделают конечные точки носовой части и начальные точки участка восстановления давлений на поверхности профиля на центральном угле атаки а = а,. Таким образом, можно сделать вывод: при а = а, для профилей со связной носовой частью участок восстановления давления заключен в пределах 7о <7<7о 70 Глава 2.
Теория кавктапионнмх диаграмм где тец = 2(а, + агс18 [У'(а, + О)/У(а,)]), 'Уо — — 2(а, + агс18 [У'(а, — О)/У(о,)]). Если производные 1'(а, ж О) малы, то мзл н участок восстановления давления вместе с областью Я(1'). Из-за этого условия свойства 3 становятся трудно выполнимыми. Это является одной из причин того, почему так трудно построить профили с почти постоянной функцией ((а) (или Е(а)). Таким образом, для профилей со связной носовой частью распределение скорости неизвестно только на участке восстановления давления.
Но теория убывающих распределений скорости, обеспечивающих благоприятное развитие пограничного слоя и сводящих к минимуму возможность отрыва, хорошо изучена (см. [109], [138], [188]). Поэтому при построении профилей в разделе 6.5 следующего параграфа на участке Т < у < 7+ непосредственно используются распределения типа распределений Стрзтфорда с замыкающей компонентой, применяемой в монографии Эпплера [138, стр.18, формула (3.
10)]. Заметим, что профили со связной носовой часть представляются наилучшими при практическом проектировании. Главной причиной этого, помимо упрощения в процедуре проектирования, является то обстоятельство, что если носовая часть профиля не является связной, тогда на некотором угле атаки распределение скорости будет иметь вогнутостн между точками глобальных максимумов.
Следовательно, в этом случае имеются дополнительные участки восстановления давлений, не примыкающие к задней кромке. Последнее, видимо, не целесообразно с точки зрения развития пограничного слоя. 5.5. Главный диапазон углов атаки. Пусть [а', а+] — диапазон углов атаки такой, что если е'т есть образ произвольной точки носовой части на параметрической окружности, то существует угол атаки а, удовлетворяющий условиям а < а < аэ., р (7, о) = у(о). Другими словами, все точки носовой части могут быть получены при изменении а в диапазоне [а", а' ].
Диапазон [а', а+] необходимо содержит центральный угол атаки а„так как точки ехр[ь|(о, + О)] и ехр[19(а, — О)] принадлежат носовой части. Пусть теперь [а, а+] — наименьший диапазон, который удовлетворяет вышеупомянутым условиям. Такой диапазон будем называть главным диапазоном углов атаки. 15. Проектирование по кавитациоииок диаграмме Главный диапазон углов атаки может совпадать с полным диапазоном [ — л/2, и/2], но это далеко не обязательно. Более того, любой диапазон углов атаки может быть объявлен главным.
В самом деле, пусть /(а) — некоторая функция, заданная в диапазоне [а,ае] и такая, что условия свойств 1 и 2 для нее выполнены. Объявим, что [а, ае] — главный диапазон углов атаки. Тогда в силу монотонности 4(а) имеем 4(а) = д(т/2) = д( — т/2) + 2гг при а > ае, (5.35) й(а) = е(-т/2) при а < а . (5.36) В силу первого соотношения в (5.22) из (5.35), (5.36) следует, что /(а) = осока+ Ьвгпа при а > а (5.37) /(а) = — пеева — Ьяпа при а < а . (5.38) Но /(а) — непрерывная функция в диапазоне [ — т/2, т/2]. Следовательно, /(ае+0) =/(ае), /(а — 0) =/(а ). Отсюда вытекает, что /(а+) вгп а + /(а ) яп ае о —— (5.39) яп (ае — а ) Ь— /(аэ) сов а + /(а ) сов а+ яп(ае — а ) Приняв во внимание условие тригонометрической выпуклости (5.21), получим ограничения, которые необходимо наложить на значения величин /(а ), У (а-) /(а+) У (а+): /(а.
-~ 0) = /(ае) стк (а+ — а ) + /(а )/яп (а+ — а-) > У (а+) /(а — 0) = — [/(а ) оси(ае — а ) + У(а+)/в1п(а+ — а )] < / (а-) Таким образом, функция /(а) может быть продолжена с помощью формул (5.37) — (5.40) с любого диапазона [а, а+], который объявлен главным, на полный диапазон. Это продолжение определяется лишь значениями /(а ),/'(а ),/(ае),/'(ае) на концах отрезка [а,ае]. Вне главного диапазона углов атаки поведение /(а) становится неконтролируемым, что является главной причиной образования пика разряжения на носике профиля.
Следовательно, при проектировании 72 Глава 2. Теория кавнтациовиых диаграмм необходимо попытаться расширить главный диапазон углов настолько, насколько позволят условия свойства 3. Для огибающей скоростей, изображенной на рис. 19а, главный диапазон углов атаки есть [а = ам а+ — — ая]. Вне этого диапазона функция у'(а) удовлетворяет уравнениям (5.37) — (5.40).
5.6. Замечания о методе Эпплера. Метод проектирования профилей, представленный в монографии Эпплера [138], был предложен первоначально для аэропрофилей. Метод состоит в определении распределения скорости на различных дугах параметрической окружности при различных углах атаки. За исключением первой и последней дуг вблизи задней кромки профиля скорости на соответствующих углах атаки предполагаются постоянными. Значения этих постоянных не известны и должны быть определены в ходе решения задачи. Таким образом, управляющая функция здесь — это некоторая кусочно-постоянная функция, которая определяет угол атаки а' такой, что Цу, а') = сопя1 на дуге [уп уьы], где а'(у) = сопяГ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
