Д.В. Маклаков - Нелинейные задачи гидродинамики потенциальных течений с неизвестными границами (1163230), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Если а'(у) монотонно растет вне первой и последней дуг, то из уравнения (5.1) следует, что г'(у, а) достигает своего максимума при а = а' во всех точках у б [у;,у;+1]. Но исходные данные для гидропрофнлей в работах [139], [140], [138] демонстрируют как раз такое поведение а" (у). Таким образом, можно прийти к выводу, что управляющая функция а" (у) в этом методе есть функция а(у) = 9 я(у), которая была введена в разделе 5.3. Следовательно, метод Эпплера для гидро- профилей — это проектирование с помощью функции а(у), определяющей угол атаки а, для которого г'(у, а) достигает своего максимума в точке у.
Использовав (5.13), найдем аналитическое выражение для функции 1[а(7)]. у'[а(у)] = У(а,) соя [у/2 — а( у)] 1 ехр — ( 18[о/2 — а(о.)] сЬт . (5.41] соя а, ~ 2./ о Эта формула вместе с соотношением а = а(у)задает в параметриче ском виде связь между а(у) и огибающей скоростей у(а). Необходимо отметить, что в методе Эпплера функция а(у) всегда является кусочно-постоянной.
Следовательно, функция й(а), обратная к а(у), также кусочно-постоянна. Но если 9(у) = сопяг на некотором отрезке [ам аз], тогда у(а) есть синусоида: у(а) = асояа+5я1па при ая < а < ат. 73 15. Проектирование по кавнтацнонной диаграмме Таким образом, метод Эпплера всегда дает в результате огибающую скоростей, составленную из дуг синусоид. Значит, его можно интерпретировать как кусочно-синусоидальную аппроксимацию произвольной огибающей скоростей. Кавитапионная диаграмма г (а) здесь всегда оказывается состоящей из участков, образованных функциями (а сов а+Ьвгпа) — 1. В методе Эпплера максимальное и минимальное значения а' около носика профиля являются, согласно введенной выше терминологии, границами главного диапазона углов атаки. Носик профиля в гидродннамическом смысле Эпплера — это просто точка расположения максимальной скорости при угле атаки а = жн/2.
Это как раз и.есть гидродинамическая интерпретация нереальных углов атаки а = ан/2. Положение 7„носика профиля может быть найдено по известной огибающей скоростей из очень простой формулы 7„= д(н/2). В терминах главного диапазона углов атаки из (5.37) — (5.40) имеем 1/(а+) гйп а + /(а ) ып а+ 7„= и+ 2агс15 (/(а+)сова +/(а )сова+ Заметим, что в развиваемом нами методе функция а(у) всегда удовлетворяет условиям; а(7) > а, на верхней поверхности профиля и а(7) < а, на нижней.
Однако в исходных данных книги Эпплера [138] иногда встречаются случаи, когда а" (7) < а, и а'(7) > а, на верхней и нижней поверхностях профиля соответственно. Объяснение этому довольно простое. В методе, предлагаемом нами, функция а(7) всегда определяет угол атаки, при котором достигается глобальный максимум скорости в точке 7, Для управляющей функции а'(7) в методе Эпплера полярный угол 7 может определять и положение локального максимума. Чтобы изобразить эти точки в плоскости (а, /), необходимо провести дополнительные ветви /(а), как показано на рис. 19а штриховыми линиями.
Приложение к 15. Ниже даны доказательства некоторых результатов, приведенных в пункте 5.3. Сначала докажем неравенство (5.17) в предположении, что кривизна контура профиля конечна. Пусть имеет место противное, то. есть щах 'г'(7, а) = г' (О, а) для некоторого а. Тогда г" (О, а) > 0 и профиль имеет нулевой угол в задней кромке. В этом случае из локальных свойств конформных отображений следует, что ! г)г/г)1 (= ОЦ 8 — 1 () при 1- 1. 74 Глава 2. Теория кавитациоииык диаграмм Из условий Коши-Римана для аналитической функции 1п(ОИ76г) = 1пи+ Вд д1п 1' до Ог) — — = — = й(г) — 1 при р = 1.
(П5.2) др д7 о где д — угол наклона вектора скорости, (с(г) — кривизна контура про- филя, (7, р) — полярные координаты точки 1 = 4 + Й1 в параметриче- ской плоскости: Г' = рсоа 7, г1 = ря1п7. Устремив в (П5.2) 7 к нулю, получим д 1п 1'(6, г1) д( =0 при 6=1,г1=0, (П5.3) так как имеет место (П5.1) и кривизна й(г) конечна. Из принципа максимума для гармонических функций (см., например (16, стр. 108]) следует,что д(п Р(6 Ч) дб <О при 6=1,0=0. (П5.4) Ц7, а) < ' а(п (аг — а) + ' а1п(а — аг) (П5.5) 1 (7,аг) г(7, аг) а1п (аг — аг) я(п (аг — аг) Так как г'(а) = пгахГ(7, а), то из (П5.5) следует, что г(а) < Д(аг) а(п (аг — а) + г(аг) я)п (а — аг) (П5.6) а1п (аг — аг) Б1п (аг а1) нри а Е [ам аг].
Неравенство (П5.6) есть определение тригонометри- .ческой выпуклости. Свойство 1 доказано. Мы получили соотношение (П5.4), которое противоречит (П5.3), что доказывает (5.17). Рассмотрим теперь свойство 1. Неравенство /(а) ) 1 — простое следствие принципа максимума модуля, примененного к аналитической функции 6И'/ Ог. Пусть 0 < аг — аг < и. Как следует из (5.20), (5.21), при любых фиксированных 7 функция ~ соа(7/2 — а) ~ является тригонометрически выпуклой.
Тогда согласно определению тригонометрической выпуклости и (5.4) при а Е (аы аг] можно записать 75 15. Проектирование по кавитаииоииой диаграмме Теперь перейдем к утверждениям леммы 2.1. Докажем, что М(7, 12) есть непрерывная 2к-периодическая функция по 7. Так как /(а) — непрерывная гг-периодическая функция, мы можем продолжить й(а) на всю числовую ось по правилу д(а + гг) = й(а) + 2гг.
Прн атом й (7) оказывается также определенной на всей числовой оси и д '(у + 2т) = й 1(7) + я. Отсюда следует, что М(7,)7) является 2л-периодической по у. Чтобы показать непрерывность М(7,13), заметим, что функция М(у, 17) непрерывна в точках непрерывности й 1(7). Пусть теперь 71 есть точка разрыва д '(7) и а1 = й (уг — О), ат = д ('уг + 0), ав — — й (уг), (П5.7) где аз — значение д '(71), определенное согласно алгоритму, изложенному в разделе 5.3. Обе функции й(а) и д 1(7) не убывают, Имеем отсюда, что (П5.8) аг < ав < а2, р,, < а <,.
(П5.9) Ив (П5.9) и (5.11) выведем /(а) = /(аг) при аг < а < ат, (П5.10) сов ( у1 /2 — а) сов (71/2 — аг) Подставив (П5.10) в (5.16) и приняв во внимание (П5.7), (П5.8), при- дем к выводу, что М(уг+ 0,)у) = М(уг — 0,~3) = М(у,)7) = [ сов(уг/2 —,У) [ /(аг), сов (71/2 — аг) что доказывает непрерывность М(.у,)7), Из монотонности функций д(а) и й 1(7) следует, что й '(у) = аг при у б [й(аг — 0), й(аг+ 0)), где аг — точка разрыва д(а).
следовательно, справедливо соотношение (5.25) леммы 2.1. Формула (5.26) может быть проверена непосредственными вычислениями. 76 Глава 2. Теория кавитакиоииых диаграмм Продифференцировав функцию М(7, д) по 7, найдем д!пМ(7,уУ) 1 у 7 ду 2 2 [гь( ' ) гй( — — УУ)]+ 2 [Г(а) у 1 44 '(у) + ~ — — $5(- — а)~ ~~(а) 2 ~ 47, (Н5.11) где а = у '( у) Если у = о(а) н а есть точка непрерывности функции д(а), то У'(а)Ц(а) — 15(у(2 — а) = О.
О('у) = У(д) при у Е [у((У вЂ” 0),д(/У+О)], С'(у) < О, при у Е (е(уУ+ 0),21У+ и). Следовательно, когда 7 изменяется от 2д — и до 2Д + и, функция М(у, УУ) возрастает от нуля до У'(д) и затем снова убывает до нуля. Отсюда У(д) = птах М(у, УУ), что завершает доказательство леммы 2.1. Чтобы доказать теорему 2.1, заметим сначала, что рассуждения, которые привели в разделе 5.2 к формулам (5.14), (5.15), будут верны, если а является точкой непрерывности функции у'(а). Следовательно, 1/(у, д) = М(7, д) при у Е Р~1', (П5.12) Но если 7 Е [д(а1 — 0), У(а1+ 0)] и а| — точка разрыва д(а), то тогда справедливо равенство (5.25) леммы 2.1, то есть 1'( у, а1) < М(у, а1) при 7 Е [д(а1 — 0), д(а1+ 0)]. Обе функции 1'(7, УУ) и М( у, д) удовлетворяют уравнению (5.1). Сле- довательно, для любого уУ р'(7, У) < М(7,Р), если 7 Е [д(а1 — 0),ч(а1+0)] Если 7 Е [д(а~ — 0),д(ад + 0)] и а| есть точка разрыва д(а), то г(У '(7)/ е(7 = О.
Следовательно, второй член в правой части (П5.11) равен нулю. Тем самым доказано соотношение (5.24) леммы 2.1. Введем обозначение С( у) = !и М(-у, УУ). Из (5.24), (5.25) следует, что С'(7) > О, при у Е (2д — и, е(д — 0)), 77 $5. Проектирование но кавитационной диаграмме Отсюда следует, что (П5.13) $'(7,Р) < М(7,/)) при у б 7'. Так как в равенстве (5.30) теоремы 2.1 т(7) = 1п(ЛХ(7, ф)/Г(7, )у)), из соотношений (П5.12) и (П5.13) вытекают свойства (5.31), (5.32) функции т(7). Чтобы доказать (5.29), сначала покажем, что 7ово(аг) > 7мек(аг) при аг > аь (П5.14) Пусть О < аг — аг < к, 7г — — у,, (а1), 7г = 7 о(аг). В силУ неравенства (5.19) имеем -и/2+ а1 < 71/2 < и/2+ ам — и/2+ аг < 7г/2 < и/2+ аг.
Если 7г/2 < — и/2 + аг или 7г/2 > и/2+ ам неравенство (П5.14) очевидно. Поэтому предположим, что обе точки 71/2 и 7г/2 лежат внутри интервала ( — и/2+ аг,и/2+ аг). Тогда сов(у,/2 — ау) > О (г',/ = 1, 2) при любом выборе индексов, и мы можем опустить знак модуля в (5.4). Согласно определению максимума г(7г,аг) > р(7ыаг), г(7ма1) > г(7г,аг). Перемножив эти неравенства, с учетом (5.4) получим К(7г, аг) сов(7г/2 — аг) г'(7маг) сов(71/2 — аг) К(7г, а1) сов (уг/2 — а1) )г( уы а1) сов (71/2 — а1) Отсюда следует, что сов Ьа + 15 ( уг /2 — а1) в1п гза > сов Ьа + вц (71 /2 — а г) в)п Ьа, где Ьа = аг — аь Следовательно, 15(7г/2 — а1) > 15(7г/2 — а,), то есть уг > 71 и неравенство (П5.14) доказано.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
