Д.В. Маклаков - Нелинейные задачи гидродинамики потенциальных течений с неизвестными границами (1163230), страница 14
Текст из файла (страница 14)
(6.25) С другой стороны, функционал Л[/.] может быть вычислен по формулам (6.1), (6.2), (6.5), Снова введя обозначения (6.9), получим а,(7) = О л О < 7 < 7о (6. 26) а.(7)=аг при ус<7<я, (6.27) где 7о = 2 аггеей [/'(О)/Уо). Но в точке а,„имеем /(а,„) = /,(а,„) = Т(а, ). Следовательно, существует число 7" такое, что /(а,„) = /о[сока,„+ 18(у'/2)япа,„]. (6.28) Сравнив формулу (6.23) при а = а и формулу (6.28), придем к выводу, что уо —— 7*. Подставив (6.26), (6.27) в (6,1), (6.2), (6.5), получим Л[/ ) = 2к!п/о — А(7", а,„). Но 7о = 7* есть корень уравнения 2л !и /о — А(7*, а ) = О.
Следовательно, Л[/.] = О, что противоречит (6.25) и доказывает второе неравенство (6.21). Заметим теперь, что оценочные функции Т(а) представляют собой однопараметрическое семейство функций по параметру /о, причем /о Е [1, оо). После несложных вычислений можно показать, что функция Т'(а), определяемая формулой (6.22), является огибающей семейства Т(а) н, следовательно, Т" (а) < Т(а). Таким образом, неравенство (6.22) справедливо, что завершает доказательство теоремы 2.5. Из теоремы 2.5 следует, что все огибающие скоростей с одними и теми же /(О) = /о лежат внутри "корзины", границы которой задает функция Т(а).
Дно "корзины" определяется первой формулой (6.21), боковая сторона — второй. Все зги "корзины" можно положить внутрь некоторой большей "корзины" с боковой стороной, задаваемой функцией Т'(а). 85 16. Теоремы сравнения и точные оценки На рис. 22 сплошной линией представлена функция Т(о) при /е = 1.1. При таком выборе значения /е получим из уравнения А(О, о*) = 2т1п/в, что и* = 1.509 . Штриховой линией на рисунке показана функция Т'(о). Видно, что Т*(о) касается Т(о) в точке о = а'. 1.6 1.4 1.2 1.0 Ф 0 1 2 3 4 5 6 Рис.
22, Оценочные фувкпвя Т(а) (1е = 1,15) и Т'(а) 6.4. Симметричные профили, имеюшие наиболее широкий бескавитационный диапазон углов атаки. Из теоремы 2.5 вытекает, что для всякого симметричного профиля с замкнутым контуром выполняется неравенство /(о) > Т(о) и равенство невозможно ни при каком о. Это является следствием условия К1 < Кв в свойстве 3. Однако если допустить, что К1 — — Кв, то можно построить специальные "оптимальные" профили, точно реализующие равенство /(о) = Т(о) при некотором а. В силу того, что для них условия свойства 3 оказываются нарушенными, такие профили имеют особенность в задней кромке.
В самом деле, рассмотрим двухпараметрическое семейство функций /е(о) = Хо[сова+ 15(~"/2)в)во] пРи 0 < о < о, (6.29) У (о) = Уо[ссбое~+ 18(Т*/2))з1по пРи о < а < т/2, (6.30) где Уо Е [1, оо), о в Е [О, т/2) — параметры семейства, г' — корень уравнения 2т!и/в — А(у*, о ) = О. Для всякой функпии этого семейства Глава 2.
Теория кавитаяиоввых лиагРамм имеем: /(а,„) = Т(ат), К~ = Ко. Более того, при ат = а' (7" = 0) выполняется тождество /(а) ив я Т(а), если О < а ат = а', и достигается все дно "корзины", определяемой функцией Т(а). Отметим, что при а = а' нарушенным окааывается не только свойство 3, но и свойство 2 (/'(О) = 0). Нарушение основных свойств должно, естественно, приводить к физически нереализуемым формам. Теперь попытаемся построить форму оптимаФ "ого профиля, которая порождает огибающую скоростей в виде (б 20)~ (б 30). Для такого профиля началом участка восстановления давлений является точка уо = 7".
Вспомогательная функция М(у,р) при а = 0 имеет вид; М(7,0)=/о= сопвФ при 0<7<7 М(7,0) = /(а„,)сов(у/2)/сов(7/2 — а,„) Нри 7 < 7 < т Чтобы построить распределение скорости, воспользуемся теоремой 2.2. Получим г(у>0) = М(у О) -~ при у* < 7 < х $'(7, О) = /о ехр[ — пт(у)) при 0 ~ 7 < 7 щцчевк функция гп(7) должна удовлетворять интегральным,саотнотиейиим гп(7)ну = Ко, гп(7)совуду= Ко, (6.31) где гп(7) = п1( — у), гл(у) > О. Снова, как и в разделе 5.3, представим, что гп(7) есть плотность масс, распределенных вдоль дуги параметрического кРуга с полярными углами — у* < 7 < 7'.
Так как эта плотность положительна, то равенство (б.31) возможно, только если пэ(у) вь1родится в точечную массу, сосредоточенную в точке 7 = О. Это эквияалентно тому, что (6.32) гп(7) = Коб('7), где 6(7) — функция Дирака: 6('7) =0 при — у' < У< 7', у-ЕО; 6(7)47=1. 7' 8Т 16.
Теоремы сравнения и точные оценки Таким образом, для оптимальных профилей распределение скорости на участке восстановления давлений вырождается в обобщенную функцию вида (6.32). Логарифм распределения скорости для оптимального профиля имеет вид; 1П 1/(7, а) = 1и М(7, а) — Кое(7). (6.33) Связь между распределением скорости У(7, а) и углом наклона век- тора скорости д дается интегралом Гильберта 1 1 н — 7 д(7, а) = — — у ! и Ъ'(~т, а) стб — от. 2т/ ' 2 (6.34) После подстановки формулы (6.33) в интеграл (6.34) получим 1 г о' — 7 Ко д(7, а) = — — / 1и М(а,о) с$6 — ба — — стй(-). (6.35) 2л l ' 2 2н 2 ' для такого профиля выполнено, но только благодаря наличию особенностей в формулах (6.33), (6.35). Огибающая скорости для этого профиля показана на рис.
22 пунктирной линией. Как видно из рис. 22, эта огибающая скоростей касается Т(а) в точке а = а = 3'. Спиральный вихрь в задней кромке оптимального профиля изображен на рис. 24. На рис. 25 показана форма профиля, огибающая скоростей которого реализует дно оценочной функции Т(а) при уо = 1.15 (а,„= Последний член в правой части (6.35) в точности совпадает с особенностью схемы Тулина-Терентьева (см.
главу 6) со спиральным вихрем в конце каверны. Более того, при а = О поверхность оптимального профиля представляет собой поверхность системы тело- каверна при кавитационном обтекании. Носовая часть поверхности профиля (у' < 7 < т, — о. < у < - у") является границей твердого тела, оставшаяся часть — границей каверны. На рис. 23 показаны форма оптимального профиля и распределения скоростей по его поверхности для различных углов атаки при у'(0) = уо = 1.15, а = 3'. Эта форма является псевдо-замкнутой, так как условие замкнутости 88 Глава 2. Теория кавитацнонных диаграмм 1.4 1.0 0.8 0.6 ОА 0.2 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 Тело .1 0 0.2 0 4 0 6 0.8 1.0 Рис. 23. Оптимальный псевдо-замкнутый |трофиль при 1(0) = Д = 1.15, а = о~, = 3 и расиределение скоростей па его верхней стороне 16.
Теоремы сравнения и точные оценки 0.02 0.015 Рис. 24. Верхняя половнна спирального внхря около задней кромки нрофиля, изоораненного на рис. 23 0.99 0.995 1 1.4 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0 т 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0.1 -0.1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Рис. 2з. Оитнмальный профиль, реализующий дно оценочной функции Т(о) дри Те = 1,15, н распределение скоростей по его верхней стороне Глава 2. Теория кавитациопных диаграмм 1.4 1.2 0.8 0.6 0.4 0.2 о 0 0.2 0.4 0.6 0.8 0.1 — 0,1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Рис. 96. Профиль В ие работы (139] с ((9) = 1Л47, ((1.7е) = 1.167 (сплошная линия) н оптимальный псевдо-еаыкнутый профиль для т (9) = ~е = 1.147, а = о = 1.7 (пунктирная линия). Распределение скоростей по верхней стороне 91 1б.
Теоремы сравнения и точные оценки 1.5 1.3 1.2 1.0 о .0 .5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 Рис. 27. Огибающая скорости для профиля В, почти хасагошаяся оценочных фуяипнй Т(о) и Т'(о) сг' = 1.509'). При ] а ]< а распределения скорости около этого профиля вообще не имеют участка восстановления давлений. Этот участок вырождается в точку 7 = О, где расположена упомянутая выше особенность.
Этот профиль не только реализует дно функции Т(а), но и глобальную оценку 7 (а) при а = а,„щ 1.509'. Таким образом, это "наилучший" профиль при а = 1.509о, для которого достигается глобальный минимум максимума скорости. Огибающая скорости для этого профиля монотонно убывает от у(0) = 1.15 до Да ) = 1.1495. Штрих-пунктирной линией на рис. 22 показано поведение Да) вне главного диапазона углов атаки [а, а ]. Теперь применим оценку (6.21) к известному профилю с хорошими кавитационными свойствами. Возьмем для этой цели "профиль В", построенный Эпплером и Шеном в работе [139] и имеющий широкий бескавитационный диапазон углов атаки. Форма профиля В и распределения скорости по его поверхности показаны на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
