Д.В. Маклаков - Нелинейные задачи гидродинамики потенциальных течений с неизвестными границами (1163230), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Применив это свойство к операторам МзЛ и ТеЛ, найдем 5 ДмеЛ = В ДЛ(е) 8~+ +Ве созыв еЛЛ(1) совы(е)г + Ве в)пыз;М®Япм~ еК, е ЬТзЛ = Втяпмз ЬЛ(че) сонм~ е)(' — Вз созыв ~Л(0в1пь~4 еК. С ) сс (7.34) Если функции МеЛ и ТоЛ принадлежат пространству Е, Фу ц» еЛМоЛ и ЬТеЛ стремятся к нулю при ~ +со С)чсюда и из равенств (7.34) выведем, что условия 1 Л = О, 1 = О, 2 являются необходимыми для того, чтобы МеЛ, ТзЛ Е Е. Пусть теперь 1, Л = 0,,1' = О, 2. Тогда еЛМ Л = — В ЛЛ®е(~— -Вз созыв еЛЛ(с) совы~ с1( — Ве в(пми ЬЛ(ч) в(п ~"~ е(ч, ЕвйеЛ вЂ” -)ел в(пыз ЬЛ(~) созыв О1 + Вз ссаыз еЛЛ(4) в(п'4~ сК~.
б 3 (7.35) 17. Теорема существования Из соотношений (7.34) н (7.35) выведем оценки: ЦМоЛЦн < (О+ От) —, ЦТоЛЦн < 17з . (7.38) ЦЛЦн ЦЛЦн Заметим теперь, что ~е Р~ЬМтЛ~ < ЦЛЦв / е ~д ~ЕЦдг(в — 4)',д4' < < ЦЛЦк еедт 6)уг(в ()/д( = ЦЛЦн е"®(уг(()/дб. ЦмтлЦ < ЦАЦд / е"®/дз(4)!дс, ЦТтЛЦк < ЦЛЦк ( е~й!~уз(~)! дб, (7.37) причем в силу того. что о < от, интегралы, стоящие в правых частях неравенств (7.37), сходятся. Из неравенств (7.36), (7.37) вытекает справедливость утверждений леммы 3.1 Из леммы 3.1 следует, что при Л Е Е решение вспомогательной линейной задачи (7.4), (7.5), (7.8) будет обладать пределом (7.7) тогда и только тогда, когда выполнятся три условия разрешимости (7.32), причем зти условия в простой форме выражаются через оператор тА при любом о > 1.
Следующая лемма дает формулы для вычисления предела (7.24) у функций МЛ и ТЛ и выделяет в выражениях для (МЛ)' и (ТЛ)' члены, которые зависят только от Л'(4). Введем периодическую кусочно-непрерывную функцию: )ь(в) = в — 5/2 при О < в < Е, /7(в+ 7) = 77(в). Лемма 3.2. Пустпь Л Е Е, выполнены условия разрешимости (7.Ю/, а значения величин Ь и п связаны между собой тпак, чтпо ат = 2н/5, тпо есть и = (тз/Ь)/1Ь(тг/Ь).
Тогда справедливы равен- стива: (МЛ) = МаЛ+ МЛ (ТЛ) = ТаЛ+ ТЛ', (7 38) Аналврииную цепочку неравенств можно написать и для оператора Тт А. В результате для всякой функции Л е Е имеем Глава 3. Нелинейная теория докритических течений где Мо, М, То, Т вЂ” линейные операторы следующего вида: — 1 МоЛ = — — / ~ЬЛ(4)[Р+ Рд сонм((е — 4)) 64, — т/ ТоЛ = — — ~ г ~ЬЛ(6)вп)м)(е — 6)д~, Е У ми» /д"(д)д,(. едд, тд'= ( д"(д)д,(.,спи, а о Рд Р (уа[а)) = — — Й(а) сонм)а — Щг) + ~~~ (12(в'у($~Ц~ и=-сс Рт яв(е) = — — ге(а) 8) + ~~) яз(г + пЬ).
7 (м,д) - )' с((д) г; д,(.-д+.с)дд. сс 00 (х,д)" = / сд(д) у, дг( -д-:- с)дд. и=-сс Отсюда и нз интегрального свойства (7.31) для оператора Ь следует, что Ъ (м,д) -)' д (д) ~ д,(.— д., цдд, о пи-сс Ь сс (е»)'=У('(д) Е (-д+ )дд о и=-сс (7.39) й(й)Едем оператор 1Л = Л®ае, Доказательство. С помон(ью формул (7.33), (7.26) получим соАйкноп)ения 17. Теорема существования и пусть функция Л(б) удовлетворяет условию 1зЛ = О.
В силу свой- ства (7.31) имеем 1,Л = Л'(б) 4б = О. о (7.40) Рассмотрим интеграл з+»ь ю+(»-1)ь в+Б l бЬЛ(б) д( = -Ь Л(б) 4б+ [б+(и-1)Ь)Л[~+(п — 1)Ц 4(. (7.41) Легко видеть, что для любой периодической функции )7(б) при любом з выполняется равенство РЫ)4с = ФЫ)4с (7.42) Ив формул (7.28), (7.40), (7.42) следует, что 1цп и Л(г, + пХ) дб = О, (7.43) ~ЬЛ(4) оС = -Ц1Л)" — Л" (С)(Ь/2+ з — () дб. (7.44) / При з ( б ( з + А будем иметь А/2+ з — б = зс(з — б + Ь). Иэ периодичности функций Л" (б), Я(б) и равенств (7.44), (7.42) вытекает соотношение (1Л)' = — — У бЛЛ(б) 4б — — У Л'(б)Я(з — б) 4~.
(7.43) 1 7 1 7 7,/ 7,/ Операторы Мз, Тз выражаются через оператор 1; МзЛ = 771Л+ Р,[созыз1(Лсозмб)+ апыз1(Лз)пмб)], Перейдя в (7.41) к пределу при и — оо, с учетом соотношений (7.43) и (7.40) найдем, что 112 Глава 3. Нелинейная теория докрптпческпх течений 7.4. Доказательство разрешимости, Прежде всего докажем следуюшую лемму. Лемма 3.3. Пусть  — пространство Банаха, Я вЂ” непрерывный оператор, переводящий В в себя, Яо — непрерывный линейный функционал на В, г(б) — элементы пространства В, зависящие от параметра б, причем Щг(б)][ ) гь[б[, Цг(б)Цн < гг[б[, (7.46) где гг, тг — постоянные.
Пусть действительное число е удовлетво- ряет неравенствам. 0<с<в ][Во 8[[' (7 47) а Р~(Л, б), Рг(Л, б) — нелинейньье операторы, действующие из В в В и дифференцируемые по Фреше. Пусть, далее, существуют постоянные РО, е, 1' = 1,2, такие, что ][Р (Л,б)[]н < Рыб, [[е1Р;(Л,б)[[ < Рст[б[, е' = 1,2. (7.48) Тогда при достаточно малых ]б] найдутся единственные параметр К и функция Л Е В, удовлетворяющие соотношенилм; [[Л[[н < е]б[, (7.49) Л = Рь(Л б) + К[Рг(Л, б) + ЯЛ + г(б)], 3 Л=О. (7.50) (7.51) ]К] < К[5[, (7.52) где К вЂ” постоянная.
Утверждение леммы фактически означает сиеййувию~!4(зусть мы имеем систему уравнений Е Л = К[ИЛ+ с(б)], Б Л=О, (7.53) ТоЛ = Вт [ яп юв1(Л соз ыб) — соз юг1(Л яп соб)]. При ео = 2т/Ь функции Лсовюб, Лз1пюб принадлежат пространству Е. Отсюда и из (7.45), (7.39) можно легко получить выражении (7.38) дли функций (МЛ)', (ТЛ)'. Лемма 3.2 доказана. 113 17.
Теорема существоваввя которую нужно разрешить относительно функции Л Е В и параметра К. Подставив выражение для Л из первого уравнения во второе, получим, что К(Б„БЛ + Бт [с(б)]) = О, (7.54) Из первого неравенства (7.46) и второго неравенства (7.47) следует, что выражение в фигурных скобках в уравнении (7.54) строго положительно, если ЦЛЦп < г[б[. Отсюда выведем, что К = 0 и единственным решением системы (7.53) при ЦЛЦ < е[б[ является пара Л(с) = О, К = О. Лемма утверждает, что если возмутить первое уравнение системы (7.53) операторами "второго порядка малости" Р1(Л, 6) и Рт(Л, 6) по б, то при достаточно малых б преобразованная система (7.50), (7.51) также будет иметь единственное решение в виде пары Л(Я), К, удовлетворяющей условиям (7.49), (7.52).
Доказательство леммы З.З. Из формул (7.50), (7.51) найдем Б,Р,(Л, 6) Б„Рз(Л,б) + Я„БЛ+ 8 [г(6)] С помощью соотношений (7.46) — (7.48) нетрудно установить, что для нелинейного функционала К(Л, 6) при ЦЛЦв < г[б[ и достаточно малых [6[ справедливы оценки: [К(Л, 6)[ < К,[б[, Ц6К(Л, 6)Ц < К,, (756) где 6К(Л, б) — дифференциал Фреше оператора К(Л, 6). Подставив равенство (7.55) в уравнение (7,50), получим, что система (7.50), (7.51) эквивалентна операторному уравнению Л = Р(Л, 6), (7.57) где Р(Л, 6) = Р1(Л, 6) + К(Л, б) [Рз(Л, б) + ЯЛ + г(б)]. Из соотношений (7,48), (7.56) при ЦЛЦв < е[б[ будем иметь ЦР(Л, б)Цв < Кабо Ц ЙР(Л, б)Ц < Кв]б].
(7.58) Здесь Кз, Кв — постоянные, зависящие от гы гт, Р;,е. Из (7.58) выведем, что при достаточно малых [б[ в шаре ЦЛЦв < г[б[ оператор Р(Л, 6) удовлетворяет всем условиям принципа сжимающих отображений, Лемма 3.3 доказана. Перейдем теперь к доказательству разрешимости уравнения (7.22). Будем искать решение этого уравнения в пространстве Е, считая, что 114 Глава 3. Нелинейная теория докрнтнческнх течений длина Ь волны в параметрической плоскости задана, а число Фруда определим входе решения задачи. Основная трудность прн исследовании уравнения (7.22) состоит в кажущейся некорректности этого уравнения.
В самом деле, согласно лемме 3.1, функция Л должна удовлетворять трем условиям разрешимости (7.32). Таким образом, помимо уравнения (7.22) имеем три дополнительных функциональных соотношения н только один свободный параметр — число Фруда— для удовлетворении этих соотношений. Ниже доказано, что к уравнению (7.22) достаточно присоединить только одно из условий разрешимости (7.32). Остальные два будут удовлетворяться в силу симметрии нелинейных прогрессивных волн. Теорема 3.1. Пусть о = 2, Ь задано, тг/1. б ' тп(тг/Ь)' Тогда при достаточно малых Ц найдутся число Рг и функция Л б Е, удовлетворяющие уравнению (7.йй).
При этом 1 Л = О, у = 0,2, ( Рг — — ~ < Г~(о(, 1 ,/и (7.59) где Г~ — постоянная. Доказательство. Пусть д(б) б Š— такая функция, что д'(б) еэ 1. Например, д(~) = етс/(етс + 1). Введем оператор ЛЛ = Л(б) — — Щ) ЬЛ(б)(2совю(г — б)+ 1]<К.
(7.60) 2т Очевидно, что при ю = 2т/Е оператор ЛЛ является непрерывным линейным оператором, действующим из Е в Е, причем 1г ЛЛ = О, 7' = О, 2, 2 2 1 р(4) = — оА(р, Л) + — ( —, — о) ~А(р, 7) + ТЛр+ Т/о~, (7 61) то есть оператор ЛЛ переводит любую функцию из пространства Е в функцию, удовлетворяющую условиям разрешимости (7.32) вспомогательной задачи (7.4), (7.5), (7.8). Заменим в правой части уравнения (7.22) функцию Л на ЛЛ.
Кроме того, перейдем к новой искомой функции р(б) = Л(() — /в(Я,7). Тогда уравнение (7,22) с учетом того, что /о = 0 и Л/о — — /в, примет вид 17. Теорема существования где 6Аг(р,7)(~3) = 3. Аг(р,у) МЛВ+ +'"Р[ЗМ(ЛР+1~)~ .[ТЛ( + у.)] ТЛл У Ы 7) где,Щ) б Е и точкой обозначено обыкновенное произведение. Добавим к (7.61) соотношение (7.62) 1ор= О и проверим справедливость условий леммы З.З для полученной си- стемы уравнений (7.61), (7.62) относительно неизвестных Ег и р(б). Будем считать при атом, что 2 В=Е 6~=1о, Рг- — — иА, Рг=А, и Б = ТЛ, 2г 1 б = у, г(б) = ТУо, К = — ~ — — и). ~Е„г Для доказательства первого из неравенств (7.46) заметим, что / = мго г„г, сЬ маг — сЬыа Уо(о, 7)егмс дс = 2яг' (7.63) где 1 7 аг — — — атосов( сов 2а — — в(п 2а). 2 2 Соотношение (7.63) можно получить с помощью теории вычетов интегрированием функции 2вЬ21 2вЬ21 У(1)— л)-( 1ег сЬ 2$ — сов 2а сЬ 21 — сов 2аг ) по границе полосы ~ 1т1~ < т/2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
