Д.В. Маклаков - Нелинейные задачи гидродинамики потенциальных течений с неизвестными границами (1163230), страница 17
Текст из файла (страница 17)
7о Ъ'о Н 6, Функцию — будем искать в виде 61 — Нех(т) 6г 2 61 (7.2) Для определения аналитической в полосе Ст функции т(1) и параме- тра а (О < а < к/2) имеем следующую краевую задачу (см. (115]): — — з)п т+ /о(6, 7) при т) = тг/2, (7.3) 6)т 2 ехр(3)т) 46 Его /т(6, 7) (7.4) 1т т = О при т) = О, т- О при 5- — оо, (7.5) (7.6) от 2а /ГИ, 7) 2 сЬ26+ соз2а' ( '~ /(6 ) ' Условие (7.3) — это условие постоянства давлений на свободной поверхности, соотношение (7.4) вытекает из непроницаемости прямолинейного дна, (7.5) - нз отсутствии возмущений в потоке слева на бесконечности, соотношение (7.6) обеспечивает заданное расстояние вихря от твердого дна. Положим для простоты, что параметр а, определяющий положение вихря в параметрической плоскости, задан, а величину Ь будем определять после решения по формуле (7.6).
Здесь )т(6) = Ве)г((+кт/2), т(о) = 1гп)т(6+кт/2), г"г = — — число 1'о =,Бн Фруда, д — ускорение силы тяжести, 102 Глава 3. Нелннейная теории донрнтнческнх течений Краевая задача (7.3) — (7.5) является типичной для нелинейных задач со свободной границей в поле гравитационных сил. Заметим, что при постановке задачи (7.3) — (7.5) аснмптотика поведения функции «(1) задается только в набегающем потоке, то есть слева иа бесконечности. Справа на бесконечности о поведении «(1), вообще говоря, а рпогт ничего не известно. Однако нетрудно видеть, что при стремлении 5 к +ос функция Я,т) — 1, а Уэ(5,7) - О, и условие (7.3) переходит в краевое условие Леви-Чивиты для нелинейных периодических волн (см. (166)).
Поэтому следует ожидать существование режимов течения, у которых свободная поверхность справа на бесконечности будет представлять собой периодический цуг волн, а функция «(г) будет обладать пределом (7.7) где Ь вЂ” длина волны в параметрической плоскости, «*(1) — Ь-периодическая ограниченная аналитическая функция. Существование волновых режимов для задачи о течении жидкости над неровным дном строго доказано в работе В.И. Налимова [98] при достаточно малых размерах финитного препятствия, расположенного на дие. При этом установлено, что число Фруда для таких решений меньше единицы (Рг < 1), то есть режим обтекания — докритический.
Существование иеволновых решений задачи о вихре, рассматриваемой в этом параграфе, доказано в работе (115) при условии, что режим обтекания сверхкритический (Рг > 1). Наша цель — доказать, что задача о вихре имеет волновые решения и прн этом режим обтекания будет докритическим. 7.2. Вспомогательная краевая задача и нелинейное интегральное уравнение. Рассмотрим вспомогательную линейную краевую задачу: определить аналитическую в полосе Сс функцию «(1) по краевым условиям (7.4), (7.5) и соотношению 2 пг — -иг = Л(с), (7,8) где и > 1 — действительное число, Ь(5) — функция, определенная иа всей действительной оси и такая, что 1пп э(с) = О. Конкретное ва значение параметра и мы выберем ниже. 17.
Теорема существования 103 с+ с со 1 7 е" 18-'эр Л(~)4(я — ~)с(~, 4(~) = †, / с(р, (7.9) 2яс / р — йи 18 рк с 2 т(в) = / 00 с+ссо 1 Г еис с(р р(я) = Л(4)42(я — 4)с(4, д1(4) = †, / 2 , (7.10) 2тс ./ р — йигйр-' с 2 — се с-ссо (,) 1 ~ ~(0~4 к / сЬ(С вЂ” 1)' (7.11) Здесь 0 < с < пы а ст1 — наименьший из расположенных в порядке возрастания положмтельмых корней ст„(п = 1, оо) уравнения 2 к о = -и'сйст-.
к 2' (7.12) Данная задача отличается от исходной задачи (7.3) — (7.5) лишь тем, что нелинейное краевое условие (7,3) заменено на линейное соотношение (7.8). К задаче (7А), (7.5), (7.8) можно прийти, если линеаризовать краевое условие (7.3), приняв, что д(с) и тЯ малы.
В этом случае Л(с) = /о(с, 7), а и = 1/г' т~. Мы рассмотрим линейную задачу при произвольной правой части и будем использовать ее решение для вывода операторного уравнения вида Л = РЛ, где РЛ вЂ” нелинейный интегральный оператор, содержащий только члены "второго порядка малости". Прием, связанный с выделением линейных членов в нелинейном краевом условии вида (7.3), использовался рядом авторов при исследовамии различных задач со свободмой границей в поле силы тяжести. В частности, в монографии [110) подобным способом проведено доказательство существования решения задачи о периодических прогрессивных волнах в жидкости бесконечной глубины. Для задач, в которых свободная поверхность имеет бесконечные размеры, этот способ был применен в работах [145] (уединенная волна, и =.1), [115) (задача о вихре, и = 1/Р'г2 < 1), [5Ц (полигональное неровное дно, и = 1/г'г2 < 1), [98) (финитное препятствие на дне, и > 1).
В зависимости от значения и (и < 1, и = 1, и > 1) авторами этих работ получены, вообще говоря, различные аналитические формулы для решения задачи (7.4), (7.5), (7.8). В момографии [5Ц О.М. Киселевым с помощью аппарата двухстороннего преобразования Лапласа показано, что решение краевой задачи (7.4), (7.5), (7.8) имеет вид; 104 Глава 3.
Нелинейная теория локрктическях течений Формулы (7.9) — (7.11) справедливы при любом положительном и и в силу этого являются очень удобными в качестве отправной точки исследования. В монографии [51] доказано, что интегралы д(с), Чг(с) при с > 0 (С < 0) равны сумме вычетов подынтегральных функций слева (справа) от прямой Пер = с. Справа эти вычеты расположены в точках р = (г„(п = 1, ос), слева — в точках р = О, р = — и„, р = ж!(и, где ы— положительный корень уравнения 2 т м = — и!Ьа) —.
э. 2' (7.13) Таким образом, (7.14) р(з) = МЛ = МоЛ+ М,Л, ( ) =тл=т л+т,л, (7.15) где Мо, М(, то, т! — интегральные операторы следующего вида: (7г(з) = — з)бп(з) ~~~ е ~"О~а„, дз(з) = ~~~ е е"(Оа„!8 — о„. (7.18) 2 ее! а=\ Здесь 1 2зЬ ты т В=, В Вг = В! !Ь -ш, 1 — и' зЬта( — тш' 2 з(п тп оа = то„— з)п тоа Отметим, что в [51] был рассмотрен случай сверхкритического обтекания, Поэтому параметр и = 1/г'гг полагался меньшим единицы. Выведенные формулы (7.14) — (7.18) справедливы при значениях и > 1.
При и < 1 уравнение (7.13) не имеет действительных корней, отличных от нуля. Поэтому, если в равенствах (7.14) — (7.18) по.пожить, что В! = Вг — — О, то формулы (7.14) — (7.18) будут справедливы и при и > 1 и совпадут с соответствующими формулами из [51]. Мол = Л(О[В+В! созш(з — ()](1(, тоЛ = Вг Л(()э!па)(з-с)84', (7.16) м,(= / ц()е(* — оа(, т,~= /ь(()„(* — с~(, (т~/) 105 17. Теорема существования Подставив выражение (7.14) для функции д в формулу (7.11), получим следующее представление решения вспомогательной линейной задачи: х(1) = 1 ЛЕŠ— Ог(6 (7.19) где Е Ггп «„Г е ", сов ко„ п«1 В.е1 < 0 Ф1) = е ~"'+ Р+ соыА, Не1 > О.
сов топ «=1 (7.20) С помощью теории вычетов можно показать, что функция Я(1) не терпит разрыва при переходе через мнимую ось, если 0 < 1п11 < л/2, и, следовательно, является аналитической в полосе Сг легко видеть, что при гг > 1 для корней' о«уравнения 17.12) выполняется равенство гг„= 2п + 1 — х„, где 2 Р 2 и — агс15 < хп < — агс15 л н(п + 1/2) " гг н.п ' (7.21) Отсюда и нз формул (7.18) следует, что функциИ и (в) пз(н) непрерывны всюду, за исключением точки н = О, где дз(в) имеет разрыв первого рода, а дз(в) — логарифмическую особенность Вычтем из обеих частей краевого условия (7.3) величину 2ггт/н. С помощью формул (7.14), (7.15) найдем Л(5) = — в(п ТЛ вЂ” — ггТЛ+ /с(5 7), (7,22) 2 ехр(ЗМЛ), 2 хг'гт /~(5, 7) н Нелинейное интегральное уравнение (7.22) и будет объектом дальнейшего исследования.
Из разрешимости его вытекает разрешимость исходной задачи (7.3) — (7.5), причем функция Х(1) выражается через Л по формулам (7.19), (7.20). гЛЛ(5) = Л(5) — Л(5 — Е,), (7.23) 7.3. Функциональное пространство и вспомогательные оценки. Пусть а > О, Е > 0 — фиксированные числа, Л(5) — функция, определенная на действительной оси. Обозначим через ЬЛ разность 106 Глава 3. Нелинейная теория докритических течений а значком "*" — предел (если он существует): Л'(Я) = !пп Л(с + пЕ).
(7.24) Очевидно, что Л'(б) — Ь-периодическая функция. Введем банахово пространство Е вещественных и непрерывных на действительной оси функций: !пп Л(4) = О, [ЬЛ(4)[ < сопзС е !'!, -сю [[Л[[п = впр [ЬЛ(с)е~!Г![. г (7.25) л(4) = Л,(Д+ 7(б)и(б), где Ле(с) — функция, стремящаяся к нулю при с - асс; У(с) — перио- дическая функция с периодом Ь; У(с) = 0 при 4 < 0,7(4') = 1 прис > 0 (см. также [21]). Такое представление приводит к довольно громоздким конструкциям даже при исследовании линейных интегральных операторов. Основное свойство оператора ЬЛ состоит в том, что он переводит любую функцию А, имеющую предел (7.24), в функцию, стремящуюся к нулю при б — +со.
Нетрудно видеть, что функции Л(4), ЬЛ(4) и Л" (с) связаны между собой простыми формулами: Л(О =Е ЛЛК-А7), !=О Л'® = ~ ЛЛ(~+7Ц, ЛЫ) = Л'Ы) — ~.~М+А7) 1-1 (7.26) Из равенств'([7.23) — (7.26) легко вывести оценки [Л(с)[ < [[А[[и сй —, (7.27) Введенные выше линейный оператор ЬЛ и сконструированное с его помощью пространство Е составляют основу для предлагаемого доказательства.
В уже упоминавшейся работе В.И. Налимова [98), в которой также исследуются волновые решения, функции, имеющие предел (7.24), построены в следующем виде: 108 Глаза 3. Нелинейная теории дойритических течений 1Л= ЬЛ(()а~; 2) ес.зи 11 и = О, 1 = О, 2, гпо //МЛЦ < С~ЦЛЦк, ЦТЛЦ < СтЦЛ)к еде Се, Ст — посгполипьее, зависящие епольхо оеп 6 Доказательство. Из формул (7 18) — (7.17) легко вывести, что (7. 33) ЬМеЛ = М;ЬЛ, еЛТ,Л = Т;еЛ.».
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
