Д.В. Маклаков - Нелинейные задачи гидродинамики потенциальных течений с неизвестными границами (1163230), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Методом, аналогичным примененному в работах [115), [51), [98), задача сведена к нелинейному интегрально- Глава 3. Нелинейная теория докритическнх течений 97 му уравнению, разрешимость которого доказана с помощью принципа сжимающих отображений. Основная трудность при исследовании этого интегрального уравнения в случае докритического обтекания состоит в том, что помимо уравнения должны выполняться еще три дополнительных функциональных соотношения, обеспечивающих ограниченность исследуемого оператора, причем имеется только один свободный параметр для удовлетворения этих соотношений. Для корректной организации итерационного процесса оператор в правой части уравнения заменяется некоторым другим оператором, который всегда ограничен, и для определения свободного параметра привлекается только одно из упомянутых выше функциональных соотношений. Как оказалось, остальные два будут удовлетворяться автоматически в силу симметрии нелинейных прогрессивных волн на бесконечности справа относительно некоторой периодической системы вертикальных осей.
Цуг нелинейных волн за препятствием является главной трудностью при исследовании докритических течений, В последние годы появилось несколько работ, в которых в точной постановке проведен расчет докритических режимов обтекания. При этом, как правило, используется мощная вычислительная техника, позволяющая решать "большие системы" нелинейных трансцендентных уравнений, возникающие после дискретизации задачи. Число таких систем иногда доходит до 300 (см., например, [174]).
Первой такой работой, видимо, является статья Кержека и Салвесена [156), которые разностным методом решили задачу об обтекании точечного вихря докритическим потоком. Свое дальнейшее развитие этот метод получил в работе [157), посвященной исследованию задачи о движении поверхности с заданным распределением давления, и в статьях [184), [185], в которых изучены различные аспекты проблемы обтекания вихря и, в частности, проведено сравнение с результатами линейной теории.
Вандея-Броек [193], [194) исследовал задачу об образовании кормовых волн за судном с плоским горизонтальным днищем в жидкости бесконечной глубины. Форбсом и Шварцем [144) изучена задача об обтекании кругового выступа на прямолинейном дне. Кингом и Влуром рассмотрены задачи об обтекание прямоугольной ступени [158] и о течении жидкости над дном произвольной формы [160]. Мекиасом и Вандеи-Броеком [174] дано численное решение задачи о симметричном течении с периодическим цугом волн на бесконечности, индуцированном затопленным источником. В перечисленных выше статьях цуг нелинейных волн учитывался Глава 3.
Нелинейная теория докритнческих течений за счет выбора достаточно длинного расчетного участка за обтекаемым телом, на котором должно уместиться 4 — б периодов волн. Однако такой подход приводит к значительным вычислительным трудностям, если генерируемые препятствием волны имеют большую длину, ввиду катастрофического удлинения расчетного интервала. Попытка создания более рационального алгоритма предпринята Э.Л. Амроминым, Н.А.
Вальдманом и А.Н. Ивановым [б], ]7] при исследовании обтекания гидродинамических особенностей весомой жидкостью бесконечной глубины. На определенном расстоянии от тела цуг нелинейных волн предложено заменить точечной особенностью (источником), однако в этом случае, видимо, неизбежна потеря точности при расчетах крутых волн. Целью исследований, проводимых ниже, было создание такого численно-аналитического метода расчета докритических течений, который бы позволял рассчитывать генерацию волнового цуга с волнами практически любой длины и крутизны и тем самым давал возможность проводить достаточно полный параметрический анализ исследуемых задач, включающий расчет течений, близких к предельным.
Вообще говоря, итерационный процесс, который использовался при доказательстве теоремы существования в ~7, может быть довольно легко реализован численно. Такая попытка была сделана, однако сходимость этого процесса обусловлена не физическими особенностями задачи, а его собственными внутренними свойствами.
Поэтому для расчетов предельных конфигураций свободной поверхности он не пригоден. Универсальным методом решения систем нелинейных уравнений является метод Ньютона, который и применен в у8-110 после дискретизации полученных систем. Однако при выводе систем уравнений существенно использованы результаты об асимптотическом поведении волнового цуга, доказанные в 17. Идея предлагаемого метода решения довольно прозрачна и заключается в следующем. Волновой цуг вниз по потоку представляет собой цуг нелинейных периодических волн. Хорошо известно, что периодические волны над плоским дном образуют, вообще говоря, трехпараметрическое семейство течений. Один параметр отвечает за длину волны, второй — за амплитуду.
Третий параметр определяет тривиальный фазовый сдвиг волн в горизонтальном направлении. В предлагаемом методе волны справа на бесконечности рассчитываются отдельно из решения нелинейного интегрального уравнения для периодических волн. Соответствующие члены, учитывающие осцил- Глава 3, Нелинейная теория докркткческях течений ляции решения справа на бесконечности, аналитически вводятся в искомые функции. В результате полученное уравнение в явном виде содержит три параметра, которые определяют длину, амплитуду и фазу волн на бесконечности. С помощью асимптотических свойств волнового цуга, доказанных в 37, выведены три дополнительных уравнения для определения свободных параметров. После дискретизации полученная система решена методом Ньютона. При дискретизации все линейные операторы и функционалы, входящие в систему, апроксимируются операциями умножения матриц.
Коэффициенты этих матриц вычисляются заранее, что позволило на каждом шаге итераций заполнить якобиан системы аналитически. Последний прием является основным ресурсом экономии машинного времени. Описанный метод был применен для решения задач об обтекании вихря (з8), ступени (з9) и задачи о плоском фонтане (э10). Введено понятие предельного режима обтекания как режима с максимально возможным значением параметра возмущения, при котором еще существует стационарное течение. На основе анализа числовых расчетов выявлено три типа предельных режимов. Режимы разрушающегося гребня и разрушающегося волнового цуга характеризуются наличием на свободной поверхности критической точки с углом в 120 градусов при вершине.
Для режима разрушающегося гребня эта точка образуется над препятствием, а для режима разрушающегося цуга — на гребнева волн на бесконечности справа. Предельный режим ти~а водослива Не имеет волн вниз по потоку и возникает в результате вырождения волнового цуга в цуг солитонов с бесконечной длиной волны, Проведен анализ чисел Фруда, при которых реализуется выход на тот или иной предельный режим. Любопытно, что при расчетах обтекания вихря проявляются все три типа предельных режимов, при расчетах обтекания ступени— только два (режям разрушающегося цуга я водосливный), а при расчетах течения, индуцированного затопленным источником, имеет место только один предельный режим (водосливный).
Таким образом, водосливный режим обтекания, получаемый в результате предельного перехода волновых решений в безволновые при стремлении длины волны волнового цуга к бесконечности, является весьма характерным при исследовании задач докритического обтекания. При расчетах обтекания вихря Д8) установлено, что при Уг ( 0.5 с ростом положительной циркуляции вихря (отрицательной подъемной силы) наблюдается интересное явление периодического исчезно- 100 Глава 3.
Нелинейная теории некритических течений вения волн и волнового сопротивления. В момент исчезновения волн нэд вихрем образуется поверхность типа уедименной волны с одним, двумя и более гребнями. При расчетах обтекания ступени Я9) обнаружено, что волновые режимы обтекания могут иметь место и прн сверхкритических змачениях чисел Фруда, причем эти решения ответвляются не от равномерного потока, вот уединенной волны. 27. Теорема существования 7.1.
Постановка задачи о вихре. Пусть вихрь интенсивности ус обтекается установившимся потенциальным потоком идеальной несжимаемой весомой жидкости, Н вЂ” глубина мевозмушенного уровня свободной поверхности слева на бесконечности, Ъэ — скорость набегаюшего потока, л — расстояние от точки расположения вихря до дна (рис.
30). Будем искать конформное отображение г(1) полосы Сс Рис. ЗО. Физичесиаи айласть течеиии Рис. Зп Параметрическая плоскость ~ (О ( д < т/2) в параметрической плоскости 3 = ц + ~О на область течемия 6,. Пусть при этом бесконечно удаленным точкам течения соответствуют бесконечно удаленные точки полосы С„образ точки 161 17. Теорема существования расположения вихря лежит на мнимой оси, а — ордината вихря в параметрической плоскости, Обозначим через И' комплексный потенциал течения. Тогда тг 1 4т зЬ(1+ та)) ' (7.1) где т = — — безразмерная циркуляция вихря.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
