Д.В. Маклаков - Нелинейные задачи гидродинамики потенциальных течений с неизвестными границами (1163230), страница 15
Текст из файла (страница 15)
26 сплошными линиями согласно табличным данным, приведенным в [139!. Для этого профиля у(0) = 1.147,Дог) = 1.167, где сг1 = 1.7'. Применив оценки (6.21), (6.22) к профилю В, получим Т(аг) = 1.1651, Т*(аг) = 1.1649. Четыре десятичных знака после запятой необходимы, чтобы различить Т(аг) и Т'(а1) при аг = 1.7'. Сравнив 1(аг) = 1.167 для профиля В и глобальную оценку Т" (аг) = 1.1649, придем к выводу, что профиль В практи- Глава 2. Теория иавитапиоииых диаграмм чески реализует последнюю, Таким образом, можно утверждать не только, что профиль В имеет широкий бескавитационный диапазон углов атаки, но и то, что этот диапазон практически приближается к пределам возможного.
Отсюда следует также, что оценки (6.21), (6.22) могут быть почти достижимы реальными профилями. Огибающая скорости для профиля В и оценочные функции Т(а), Т" (а) представлены на рис. 27. Оптимальный псевдо-замкнутый профиль для уэ = 1.147, а = 1.7' и распределения скорости по его поверхности показаны на рис.
26 пунктирными линиями. 7(а) = у(0) соэо+ ~'(0)апа+ го~ при 0 < о < а,ь, (6.36) у(а) < —. э)п а 7(опт) э(п а нри а < а < —, (6.37) 2' 6.5. Симметричные профили для нерасчетных углов атаки. Как было отмечено в разделе 5.6, метод Эннлера всегда приводит к профилям, огибающая скоростей которых состоит из участков синусоид. Такие огибающие скоростей не являются гладкими, так как в точках контакта двух синусоид неизбежно появляется угловая точка. Например, огибающая скоростей для профиля В состоит из четырех синусоид в полном диапазоне углов атаки [-т/2, т/2] (см.
рис. 27). Вне главного диапазона углов атаки [ — опа1] огибающая скоростей для профиля В становится очень крутой, что может привести к нежелательным последствиям при эксплуатации профиля на волнении, когда флюктуации углов атаки выходят из диапазона [ — ам аг]. Более универсальным профилем, способным выдерживать большие флюктуации а без кавитации, является профиль С, построенный в [139]. Огибающая скорости для профиля С состоит из шести синусоидальных участков.
Правая половина кавитационной диаграммы для профиля С показана на рис. 28 сплошной линией. При построении этой диаграммы были использованы табличные данные, приведен, ные в [139]. Кроме того, с помощью этих данных были подсчитаны х А' эу х ) = тхтГ). и й.в К1 = 0.38, Кэ = 0.404. Таким образом, К~ меньше, но мало отличается от Кэ, и профиль С так же, как и профиль В, сконструирован близко к границам возможного.
Построим профиль, кавитационная диаграмма которого будет гладкой и в то же время близкой к диаграмме профиля С. Для этого возьмем Г(а) в виде 93 16. Теоремы сравнения и точные оценки 2.0 1,8 1.6 1.4 1.0 .2 сг .0 ,5 1 О 1 5 2,0 2,5 3,0 3.5 Рис. 26. Кавитационные диаграммы для профвля С из работы (169] (сплошная линия) и профиля В (штриховая линия) .06 .04 .02 0.6 0 0.2 0.4 Рис. 29, Формы профилей С (сплошная ливия) и В (штрихоаая ливия) Глава 2, Теория кавитациовиых диаграмм где /(0), у'(0), е, к, а — параметры, подлежащие определению. Проверив условие тригонометрической выпуклости (5.20), придем к выводу, что это условие выполняется для функции (6.36), если к > 1 и г > О. Функция /(а) будет гладкой, если /'(а — 0) = /'(а + 0). (6.38) в(з формулы (6,38) следует, что от (й яп опт от соз от) Положим /(О) = 1.137, что немного меньше, чем /(О) = 1.14 для профиля С.
Кроме того, зафиксируем начальную точку участка восстановления давлений: уе —— 50'. Так как ув = 2агс18[/'(0)//(О)[, мы можем найти /'(0) = /(О) 18 (те/2), и неопределенными остаются только два параметра: й и а . тти параметры выберем так, чтобы константы Кы Ке для (6.36), (6.37) в точности совпали с константами Кы Ко для профиля С.
Профиль, сконструированный таким способом, назовем профилем Р. На рис. 28 показаны кавитационные диаграммы для профиля С (сплошная линия) и профиля Р (штриховая линия). Как видно из рис. 28, кавитационная диаграмма для профиля Р лучше, чем для профиля С, всюду, за исключением малых окрестностей точек о = 1' и а = 2.4'. Это является следствием гладкости кавитационной диаграммы для профиля Р. Формы профилей С и Р показаны на рис. 29.
Разница в формах незначительна, что, вообще говоря, не удивительно, так как кавитационные диаграммы для профилей С и Р близки. Профиль Р был сконструирован для числа Рейнольдса Яе = 3 10~, при этом пограничный слой рассчитывался по методу Эпплера [138]. Отношение толщины к хорде для профиля Р составляет 11.92%. Глава 3 Нелинейная теория докритических течений Эта глава посвящена вопросам волнообразования при обтекании препятствий вблизи поверхности воды. Данный раздел гидромеханики в настоящее время интенсивно развивается, главным образом, благодаря применению численных методов и мощной вычислительной техники.
Подробную библиографию работ в этом направлении можно найти в обзорах [107], [111], [181], [205]. Ниже развивается теория стационарных докритических течений. рассмотрим течение слоя весомой жидкости над дном, имеющим горизонтальные асимптоты слева и справа на бесконечности. Предположим, что поток течет слева направо, Н и К> — глубина и скорость невозмущенного потока слева на бесконечности, д — ускорение силы тяжести. Безразмерный параметр как известно, называется числом Фруда. Если Уг < 1, поток считается докритическим, если Рг > 1 — сверхкритическим. Сверхкритические течения, как правило, характеризуются отсутствием волн справа на бесконечностиг и в их исследовании к настоящему времени достигнут существенный прогресс; получен ряд глубоких результатов как при доказательстве теорем существования, так и при проведении числовых расчетов.
Отметим наиболее значительные из них, Простейшим нетривиальным сверхкритическим течением следует, видимо, считать уединенную волну. Впервые существование уединенных волн было доказано М.А. Лаврентьевым вариационными методами [64]. Фридрихс и Хайерс [145] доказали существование уединенной т Првмер сверккрвтвческ ого течеввв с бесковечвым волновым путом волн вввз по потоку построев в 19 лаююй главы.
96 Глава 3. Нелмиеймам теория докритмческмх течеммй волны "в малом", сведя задачу к системе нелинейных интегральных уравнений. Разрешимость задачи "в целом" установлена Амиком и Толандом [128]. Существование волны предельной высоты обосновано Толандом [189]. П.И. Плотниковым [100) доказана справедливость гипотезы Стокса о том, что угол при вершине предельной волны равен 120'.
Он же строго доказал, что решение задачи об уединенной волне не единственно [101]. Последний факт был впервые отмечен Лонгет-Хиггинсом и Фентоном [170]. Весьма точные числовые расчеты уединенных волн, включая случай предельной волны, проведены Вильямсом (200), Хантером и Вандеи-Броском [153]. Из работ, в которых в точной постановке исследован сверкритический поток при наличии возмущений, первой была работа Понсена [180). Он доказал разрешимость задачи о течении весомой жидкости над некоторыми видами неровного дна при достаточно больших числах Фруда. В работе Жербе [146] разрешимость задачи о течении жидкости над неровным дном доказана для всех Ег > 1 при весьма общих предположениях относительно формы дна. Следует отметить, что теоремы существования здесь доказаны топологическими методами и не являются конструктивными.
А.М. Тер-Крикоровым [115] с помощью принципа сжимающих отображений была доказана конструктивная теорема существования в задаче о сверхкритическом обтекании вихря. Похожим способом в монографии [51) О.М. Киселевым дано конструктивное доказательство теоремы существования сверхкритического течения над полигональным неровным дном. И.Л. Гуревичу [33] неконструктивными методами удалось доказать теорему существования для течения около системы из гп профилей, обтекаемых сверхкритическим потоком. При числах Ег > 1, но слабо отличающихся от единицы, И.Г, Филиппов [119) строго доказал, что задача о вихре имеет два решения, одно из которых ответвляется от равномерного потока [семейство решений А.М.
Тер-Крикорова), а второе — от уединенной волны. Что касается теорем существования для докритических течений, то здесь имеется только одна работа В.И. Налимова [98], доказавшего разрешимость задачи об обтекании финитного препятствия на горизонтальном дне. При этом установлено, что справа на бесконечности течение будет обладать периодическим цугом нелинейных волн. В з7 данной главы доказана разрешимость задачи о докритическом обтекании вихря.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
