Д.В. Маклаков - Нелинейные задачи гидродинамики потенциальных течений с неизвестными границами (1163230), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Как мы уже видели, формальное применение формул (5.11) и (5.16) может привести к недоопределенной или, наоборот, многозначной функции М( у, а). Однако огибающие скоростей обладают одним очень важным свойством, которое выполняется для профилей совершенно произвольной формы и гарантирует корректность определения функции М(7, а). Свойство 1. Огибвюи1вл скоростей /(а) > 1 для всех а нв интервале [ — к/2, к/2), в к-периодическое продолжение /(а) есть непрерывная тригонолее трически выпуклая функция. 63 15. Проектирование по кавитаиионной днаграмме Здесь под л-периодическим продолжением ) (а) понимается функция, определенная на всей действительной оси по правилу У(а+ х) = Ла). Тригонометрически выпуклые функции имеют ряд приложений в комплексном анализе и их свойства хорошо изучены (см., например, (120), [1161).
Эти функции определяются следующим образом. Определение тригонометрической выпуклости. ерункция у(а) назмваетея тригонометричееки выпуклой, если для двух нроизвольнмх точек апах таких, что 0 < аг — аь < к, график )(а) для всех а Е (ам аз) лежит не выше тригонометрической хорды, определяемой еоотаношением Н(а) = а сова+ Ьв(па, где а и Ь выбираются твк, чтобы у(а~) = Н(аь), у(ах) = Н(аг). Заметим, что это определение очень похоже на определение обычных выпуклых функций. Принципиальная разница состоит в том, что для обычных выпуклых функций хорда является отрезком прямой, соединяющим точки (аы Д(аь)) и (аг,.г(аг)), тогда как для тригонометрически выпуклых функций ту же самую роль выполняет дуга синусоиды.
Доказательство свойства 1 дано в приложении к данному параграфу. Можно показать (см. (120), (116]), что если некоторая функция ) (а) непрерывна и имеет первую и вторую кусочно непрерывные производные, то такая функция будет тригонометрически выпуклой тогда и только тогда, когда )'о(а) + )'(а) > О, (5.20) у'(а — О) < )" (а+ О), (5.21) где неравенства (5.20) и (5.21) имеют место в точках непрерывности и разрыва г'(а) соответственно.
Под г'(а + 0), )ч(а — 0) в (5.21) понимаются пределы ~'(а+ 0) = 1пп г'(д), р-а+О Неравенство (5.20) отсекает огромный класс функций, которые гйе могут быть реализованы в качестве кавитационной диаграммы гуи Глава 2. Теория кавнтаиионнмх диаграмм для какого профили. Например, функция г (а) = (а сова+бэпп а)т-1 является допустимой и может быть участком кавитационной диаграммы, так как в этом случае /н(а) + /(а) = О, в то время как функция Р(а) = (а сов а+ 6в1па — г)т — 1 не допустима ни при каком положительном е.
Из (5.21) и свойства 1 выведем, что /(«/2) = /(-«/2), /'( — «/2) > /'(«/2). (5.22) Дифференцирование функции д(а) дает 2/(а) гй Р( )+У ( )У 1"1+ г1 И (5.23) Сравнив (5.23) и (5.20), придем к выводу, что функция гг(а) не убывает, что является наиболее важным следствием тригонометрической выпуклости /(а) и позволяет корректно построить вспомогательные функции д '(у),М(Т,13).
В самом деле, в силу нестрогой монотонности д(а) имеем: «( — «/2) < й(а) < «(«/2) Т Е 1 = (1(-«/2), д( — «/2) + 2«]. Поставим в соответствие точке т произвольную точку а Е ( — «/2, «/2] такую, что Т Е 1(а) = [й(а — О),д(а+ 0)). При этом, в силу непрерывности «-периодического продолжения /(а), при а = «/2 положим, что /'(«/2+ 0) = /'( — «/2), то есть |(«/2) = [д(«/2), д(-«/2) + 2«). Как только будет определена функция д '( у), функцию М(Т, Д) вычислим по формуле (5.16).
В данном алгоритме имеется некоторый произвол в выборе функции д '(Т), так как возможна ситуация, когда «(а) = сопа1 на каком- либо отрезке [амат] С [ — «/2, «/2). Это будет иметь место, когда для всех а Е [ — «/2,«/2]. Из неравенства (5.21) заключаем, что д( — «/2) < ~(а) < д( — «/2) + 2«. Следовательно, когда а изменяетси в пределах [-«/2, «/2], все значения г = г1(а) принадлежат одной ветви изменения Т. Таким образом, при — «/2 < а < «/2 взаимное наложение точек параметрической окружности с полярными углами 7 = ч(а) невозможно. Теперь можно указать следукнций алгоритм построения функций д г(у) и М(Т„9).
Пусть 15. Проектирование по кавитапноиноя диаграмме /(а) = а сова + Ьз1па при а с (амок]. Тем не менее, из неубыва- ния д(а) вытекает следующая лемма. Лемма 2.1. Если /(о) удовлетворяет условиям свойства 1, то приведенный выше алгоритм всегда дает в результате единственную функцию М(7, а). Эта функция будет непрерывна и 2я-периодична по 7. Более того, У(а) = тах М(7, а), д!пМ(7д) 1 7 7 д7 2 2 2 = -(18( — — а) — 16(- — Р)) о = у ~(7) (5 24) Если о = сг1 есть точка разрыва /'(се), тогда М(7,а1) = /(о~) для д(о1 — 0) < 7 < д(сг, +0), (5,25) Если /(а) есть синусоида при а1 < а < аг, то есть /(а) = а сов а + Ь еда а, тогда д(о) = 71 — — сопз! для о1 < а < аз, (5.26) и 71 есть точка разрыва д 1(7).
Доказательство леммы 2.1 дано в приложении к настоящему параграфу. Пусть теперь (аь) — последовательность точек, в которых производная /'(о) имеет разрывы первого рода, — я/2 < оь < и/2. Пусть, кроме того, Если при о = к/2 имеем /'(к/2) ф /'(-к/2), то точку а = к/2 включим в последовательность (аь). Введем три константы Ко, Кы Кз. Ко = !и М(7, р) е!7, (5.27) х К1 + 1Кз = егз !и М(7„3) с!7 — 2к1 з!и де'р. (5.28) -я Глава 2. Теория хавнтацнонных диаграмм С помошью формулы (5.16) после несложных вычислений нетрудно показать, что константы Ко, Кы Кг не зависят от д и, следовательно, являются функционалами только от 1(о), Связь между функциями 7(о), Ц7, о) и д(о), М( у, о) дается следуюшей теоремой.
Теорема 2.1. Пусть Ц7, о) — распределение скоростей около некоторого профиля с замкнутым контуром, 1(се) — огибающая скоростей, порозгсденная этим распределением, и 7(о) — функция, определяемая формулами 15.18), (5.19). Тогда уппп(о) = ч(о 0), умах(й) = Ч(о+ 0)~ (5.29) (г(7, а) = М(7, о) ехр[ — т(7)1, (5.30) где т(у) — некоторая функция такая, что т(у) = 0 при у б 111', т(7) > 0 при у Е1', (5. 32) т(7) > 0 в некоторой окрестности точки 7 = О, (5.33) т(7) п7 = Ко, т(7)егг 47 = Ке + (Кю (5.34) причем т(7) является 2к-периодической и непрерывной всюду, за ис- кеючение.н, возможно, точки у =,О, где допускается логарифмиче- ская особенность.
В формулах (5.29) под 7,„(о) и 7 „(о) понимаются минимальное и максимальное значения 7(ее) при фиксированном о. Доказательство соотношений (5.29) — (5,32) дано в приложении к данному параграфу. Неравенство (5.33) следует из предположения (5.17). Интегральные соотношения (5.34) являются условиями разрешимости, выраженными через функцию т(7). Таким образом, согласно соотношениям (5.30) — (5.32) теоремы 2.1, распределение скорости на параметрической окружности восстанавливается единственным образом по заданной огибаюшей скоростей 1(а) всюду, за исключением участков 1(оь), порожденных точками разрыва функции 1'(о) 1в. Проектирование по кавнтацвонной диаграмме На первый взгляд, распределение скорости будет полностью восстановлено на параметрической окружности, если функция 1(ег) является гладкой, то есть тогда, когда 1'(а) не имеет точек разрыва.
Однако такие функции 1(ее) невозможны, так как, согласно неравенству (5.33), обязательно существует один сегмент 1(о ь), содержащий точку т = О. Следовательно, справедливо следующее свойство огибающих скоростей. Свойство 2. Существует угол атаки а, такой, что Это свойство отражает тот факт, что максимальная скорость на профиле не может достигаться в острой задней кромке. Из свойства 2 следует, что любая огибающая скоростей (или огибающая давлений) имеет по крайней мере одну точку разрыва своей производной.
Когда угол атаки переходит от значений а < ее, на значения о > о„ положение точки максимальной скорости скачком переходит с нижней поверхности профиля на верхнюю. При а = о, максимальная скорость достигается одновременно на верхней и нижней сторонах, В дальнейшем угол атаки ее, будем называть центральным углом атаки.
Еше одно свойство огибающей скоростей связано с константами Ко, Кг, Кг, определенными формулами (5.27), (5.28), Эти константы зависят только от До) и, следовательно, являются интегральными характеристиками огибаюшей скоростей. Константам можно придать специальный механический смысл. В самом деле, представим, что функция т(у) есть плотность масс, распределенных по параметрической окружности. Тогда Ко — суммарная масса. Согласно (5.33), константа Ко строго положительна, Комплексная величина ы = (Ке + 1Кг)1Ко является центром масс введенной системы. Хорошо известно, что центр масс всегда лежит внутри выпуклой оболочки множества точек, где распределены массы.
Как следует из соотношений (5.31), (5.32), массы могут быть распределены только вдоль дуг, составленных из точек е'т, где у б 1(оь). Обозначим внутренность выпуклой оболочки этих дуг через о(1"). Легко видеть, что о(1') есть внутренность круга с некоторым количеством вырезанных круговых сегментов. Эти сегменты опираются на дуги, вдоль которых т(7) = О. На рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
