Д.В. Маклаков - Нелинейные задачи гидродинамики потенциальных течений с неизвестными границами (1163230), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Асимптотически завиток представляет собой логарифмическую спираль, заданную урав- нением г 2в!пб(1+ совб) ехр(М вЂ” ту), Ь б+ в1пб (2.41) где г — расстояние от точки В до точек экстремальной дуги, сов полярный угол, М определяется по формуле (1.37). На рис. 7а показаны формы кривых максимального сопротивления для различных значений Я. Чтобы они были различимы, горизонтальный масштаб здесь в десять раз больше вертикального. Из рис. 7а видно, что формы оптимальных дуг слабо зависят от Я в диапазоне 0 < Я ( 2.
По этой причине форма дуги максимального сопротивления для схемы Кирхгофа оказывается универсальной и дает 12. Макснмнзация сопротнвлення для схемы со следом 9123 4 .о а' -0.1 —.08 —.06 —.04 —,02 0-0.1 0 Рнс. П Формы кривых максвмвльного сопротявлевня для разлнчных я, горнзонтвльяый масштаб в 10 раз болыле вертяквльнаго (а); крнвая макснмального содротнвленяя прн О ш О, горнзоптальшзй я вертнкальньгй масштабм одвпаковы (б) сопротивление, близкое к максимальному, для любых 0 < Я < 2. На рис.
76 мы снова изобразили эту форму, причем здесь так же, как на рис. 4, горизонтальный и вертикальный масштабы одинаковы. В табл. 2 (колонка 2) приведены значения максимального коэффициента Сз, рассчитанного по формулам (2.27) и (2.29). При заданном Я для определения максимального сопротивления необходимо решить трансцендентное уравнение (2.27).
Однако можно получить простые аналитические формулы для приближенного вы- числениЯ Сз шах. Сделав в интегРале, стоЯщем в левой части 12.27), замену переменной 18 (гг~2) = 7, получим, что уравнение 12.27) эквивалентно следующему соотношению (2.42) С(а) = — )п(1+ Я), 4 где а / агсс87 6 С(а) = агсбйа+ / — г)7, и = 18-. 7 ' 2 о Выразив с помощью формулы 12.42) величину Я через С(а) н под- 34 Глава 1.
Экстремальные задачи теорвв струй Таблица 2 Максвмальиыв коеффвпневт совротвалеввв, вычвслеввыа ло точным в првблввеввым формулам С„„(2.43) Се тах Се ыех(2 45) станин полученное выражение в (2,29), будем иметь где вЬ [2С(а)/т] а Функция Сг(а), как показали расчеты, в диапазоне 0 < Я < 2 близка к 4/:г. Отсюда следует, что 8 Сегеах (1+ Я). те (2.43) Так как в диапазоне 0 < Я < 2 формы оптимальных дуг изменяются слабо, а 8/(пе) — это максимальное значение С, при Я = О, формула (2.43) по сути дела является известной приближенной формулой [35, стр.
169] для пересчета коэффициента сопротивления с Я = 0 на случай (~ ф 0: СтЯ) = С,(0)(1+ се). .1000000Е-02 .1000000Е-01 ,1000000 .2000000 .3000000 .4000000 .5000000 .6000000 .7000000 .8000000 .9000000 1.000000 1.500000 2.000000 5.000000 10.00000 .9377342 .9461660 1.030546 1.124433 1.218454 1.312608 1.406890 1.501296 1.595822 1.690465 1.785219 1.880082 2.355891 2.833896 5,733146 10.62829 .9377341 .9461653 1.030477 1.124157 1.217836 1,311516 1.405196 1.498876 1.592555 1.686235 1.779915 1.873595 2.341993 2.810392 5.620784 10.30477 0.93773 0.94617 1.03055 1.12443 1.
21846 1,31262. 1.40691 1.50134 1. 59591 1.69060 1.78542 1.88037 2.35697 2.83655 5. 76874 10.82433 35 13. Дефлектор наилучшей формы Во второй колонке табл. 2 приведены значения С, вычисленные с помощью (2.43). Как видно из таблицы, эти значения несколько меньше максимально возможных.
Погрешность формулы (2.43) не превосходит 1% в диапазоне 0 ( Я < 2. Более точную, чем (2.43), приближенную формулу для подсчета С м„, можно получить, если заменить в (2.42) функцию О(а) приближенным выражением: О(а) ш 2(а — -а ) + 0(а ). 9 (2,44) Из (2.42) и (2.44) выведем с точностью до членов порядка аэ, что Т 2 э э а = — 1п(1 + Я) + — (- 1п(1 + ®1 8 9 8 1 -1 с, = ' Р~ р~-е,'--(-1 р~-д>) ) . руы В четвертой колонке табл.
2 приведены значения С э„, вычисленные с помощью (2.45). Эти значения несколько превосходят максимально возможные. Погрешность формулы (2.45) не превыша ет 0.1%. 33. Дефлектор наилучшей формы 3.1. Постановка задачи. Задача максимизации нелинейного функционала с ограничением. Устройства для отклонения струй — дефлекторы — применяются во многих областях техники. В частности, реверсивное устройство ковшового типа для турбореактивных двигателей может рассматриваться как дефлектор, отклоняющий реверсивную струю для создания обратной тяги, необходимой для торможения самолета.
Обзор работ по расчету течений около дефлекторов различной формы имеется в книге [102]. Основной величиной, определяющей эффективность работы дефлектора, является угол отклонения струи. Целью исследований, проводимых в настоящем параграфе, является определение дефлектора наилучшей формы, которая обеспечит отклонение струи на максимальный угол при заданной длине дуги дефлектора, либо, что равнозначно, отклонение струи на заданный угол при минимальной длине дуги. 36 Глава 1.
Экстремальные задачи теории струй Пусть криволинейная дуга АСВ (дефлектор), имеющая длину 2Ь, обтекается свободной струей жидкости ширины 2Н на бесконечности. Дуга и все течение в целом симметричны относительно оси к. Жидкость предполагается идеальной, несжимаемой и невесомой. Течение считается потенциальным и установившимся. Скорость на струях постоянна и равна 1е. Плотность жидкости равна р. Рассматриваются только такие течения, у которых верхняя и нижняя струи не пересекаются. Требуется найти такую форму дуги, чтобы угол отклонения струи доо был максимальным (см.
рис. 8). Рис. В. Физическая область течеюея в плоскости з = я+ 1К Согласно [36, формула (27.6)], сила сопротивления 2Х связана с углом отклонения струи д, соотношением 2Х = 2рФ;гН(1 — созд„). (3.1) В классе течений с непересекающимиси струями величина угла дсо удовлетворяет неравенствам О <д„<». (3.2) Из формул (3.1) и (3.2) следует, что в классе течений с непересекающимися струями задачи максимизации Х и д, являются зквивалентными.
19. Дефлектор наилучшей формы 37 Отобразим конформно область течения О, в физической плоскости г = к+ гу на верхний полукруг Сс в параметрической плоскости г = С + гп. Соответствие точек видно из рис. 8 и рис. 9. — 1 -а 0 а 1 Рве.
9. Парвметрвческав влескость г = 4 + и> лДт 14 Фег(19 — ог)(1 — аг1г) (3.3) где гге ) 0 — действительная постоянная, а — образ точки Е в параметрической плоскости. Введем функцию Жуковского Ре он 1о ш(г) = 1п — = 1п — +гд, ЙИ' Ъ' (ЗА) н пусть известна зависимость и(о) = 11е ш(е"), О < и < т. (3 6) В силу симметрии имеем и(а) = и(т — сс), поэтому можно считать, что функция и(<т) задана на отрезке [О, т/2]. Точкам 1 = е'с, где 0 < о < т/2, соответствуют точки, лежащие на нижней половине дефлектара.
Храевые условия для функции ш(г) в данном параграфе не изменились по сравнению с 91. Поэтому е/г 4гй г / и(~т) ап о Осг (1) (гг + ц т / 1е + 1 — 21г соэ 2и о (З.б) Функция ОИг/ й может быть построена методом особых точек Чаплыгина [351.
Имеем 38 Глава 1. Экстремальные задачи теоряя струй Из формул (3.3) — (3.5) выведем, что е 01, й 1'о14+1 — 2Рсоз2а (3.7) т/т Ро )/ е"1 1 в(п2аба вм2— )/о,/ а~ + 1 — 2аз сов 2а' 0 < а < —, (3.8) /т уо ~' е" /~1 в(п 2а ба 1=2 — ) 'то,/ ао + 1 — 2ат соз 2а ' о (3.9) Здесь з — дуговая абсцисса нижней половины дефлектора. Интегриро- ванием функции (3.7) по полуокружности бесконечно малого радиуса с центром в начале координат найдем Фо Н = — —. «о 2ат' (3.10) ЗафйииуФ (3.9) и (фО) получим т/2 Н к,/ а '+ 1 — 2ат совйа, о т/2 о Таким образом, при заданных величинах Ь и Н задача максимизации угла д отклонения струи сведена к следующей: определить максимум функционала (3.12) при ограничениях 0 < а < 1 и (3.11). 3.2.
Определение глобального максимума угла отклонении струя. Пусть функция «(а) и параметр О < а < 1 удовлетворяют ограничению (3.11). Введем функцию Л = «(а) + 1п сова. Из (З.б) следует, что угол Р отклонения струи выразится через функцию «и параметр а в виде 40 Глава 1. Экстремальные задачи теории струй Из (3.15) и (3.17) выведем оценку (3.18) т 1 — а саз+ 1/ где а — корень уравнения (3.17).
Сопоставив выражения (3.16) и (3.17), придем к выводу, что равенство в (3.18) возможно, если только (3.19) и(а) = 1 — !и сова. Из формулы (3.1) найдем, что если 0 < Иагак < т, то отнесенный к длине дефлектора коэффициент сопротивлсйсня 2 Сг < -(1 — сов ага ). 5 (3.20) Устремив в выражениях (3.17) и (3.18) параметр /с к нулю (а — 0), из (3.20) выведем для струи бесконечной ширины неравенство, полученное в 11: С, < 81'(те). З.З. Свойства оптимальных дефлекторов. Формулы (3.17), (3.18) задают в неявном виде функцию д„, г()с), определяющую максимально возможный угол отклонения струи в зависимости от параметра й = ЦН. Эта функция монотонно растет с ростом к (см. рис. 10) и при некотором 5 = 5' достигает значения, равного т.
Числовые расчеты показали, что гс* = 6.405850. При 5 < 5' имеем д„,ь„< т, при гс > к' — соответственно д„, > к. Таким образом, при Й > 5' найденное решение уже не принадлежит классу течений с непересекающимися струями. Покажем, что при 1с > 5* в классе течений с непересекающимися струями максимальный угол отклонения струи д = т и существуют по крайней мере два различных течения с 9 = т.
Для этого рассмотрим семейство течений, определяемых функциями (3.16). При фиксированном гс это семейство является однопараметрическим и для любых а удовлетворяет ограничению (3.11). Для течений этого семейства угол отклонения струи О = С(а,й). Графики функций С(а, 5) от а при различных 5 показаны на рис. 11. При 5 < 5* уравнение С(а,к) = т не имеет корней, при 1с = й* имеет один корень, а при /с > к' существуют два значения а, при которых д = л.
Тем самым при гс > 5" мы нашли два течения, для которых дс, = т. В силу того, что струи не должны пересекаться, угол д = т является максимально возможным. 13. Дефлектор наилучшей формы 41 Вшах 4.0 3.5 3.0 2.5 2.0 1.5 1.0 0.5 0 0 1 2 3 4 5 б 7 8 9 Рис. 10. Зависимость мвхсимального Угла отхлонеиил стРУн Вмаг от параметра Й 4.0 г 3.0 2.5 2.0 а 0.5 О.б 0.7 0.8 0.9 1.0 Рис. 11. Зависимостн от о угла отклонения струи лля семейства (3.16) при различных й Из формул 13.5), (3.8), (3.9) и (3.19) выведем, что при 8 < 5' дли дефлекторов оптимальной формы 1l — = е сова, 1'о в 1 / 1+ а 1 от+ 1+ 2асова Ь 2 ~, 1 — а) ат+1 — 2асова 42 Глава 1.
Экстремальные задачи теории стр Отсюда можно получить распределение скорости вдоль дуги АС: ат ) 1 (1+а)тг!ь (1 а)тг/е — (е) =е ' Ъо 2а (1+ а)т'гг + (1 — а)т'гг (3.211 При а - О из (3.21) получим распределение (1.21) нз $1. При )с < Ъ* функция гг(а) для дефлекторов оптимальной формы задана формулой (3.19), не зависит от параметра а и совпадает с функцией гг(а), определяющей дугу максимального сопротивления при обтекании по схеме Кирхгофа (формула (1.17)).
Поэтому при к < /с' функция Жуковского ы(1) будет совпадать с функцией Жуковского из 31. Отсюда следует, что зависимость д(У) прн /с < к* для оптимальных дефлекторов будет такой же, как и в $1 (формула (1.35)). Для нижней половины дефлектора получим я 1 1+ еЪ'/Уо д= — — — — )п + Т(еУ/Уо), О « — е '. (3.22) 2 т 1 — еУ/Уо Ъо Область изменения функции Жуковского м(1) для течения около оптимального дефлектора показана на рис. 12. Ркс. 12.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
