Д.В. Маклаков - Нелинейные задачи гидродинамики потенциальных течений с неизвестными границами (1163230), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Эта 11. Максимизация сопротявленяя для схемы Кирхгофа задача связана с моделированием течений в реверсивных устройствах ковшового типа. Реверсивные устройства турбо-реактивных двигателей [102), '11051 предназначены для разворота вытекающей из сопла двигателя струи с целью получения обратной тяги. Для этого за соплом при торможении самолета помещается поворотный ковш. Чем больше сопротивление ковша, тем эффективней торможение и меньше длина тормозного пути, В э3 отыскивается форма симметричной криволинейной дуги заданной длины 25, разделяющей и отклоняю.щей струю ширины 2Н на наибольший угол.
Такая дуга будет обладать и наиболыиим сопротивлением. Задача решена при ограничении, что после разделения струи дефлектором на верхнюю и нижнюю последние не пересекаются. Это ограничение является естественным, так как в противном случае течение будет неоднолнстным. Показано, что при Ь/Н < 5' - 6А0585 задача имеет единственное решение, и при этом глобальный максимум угла отклонения струи находится в пределах 0 < 0,„< х.
При Ь/Н > И' максимальный угол отклонения струи равен л и решение задачи неединственно. Получены аналитические формулы для определения оптимальных дефлекторов и с их помощью построена серия оптимальных дефлекторов для различных значений Ь/Н. В э4 рассмотрена уже упоминавшаяся выше задача Ву и Витии 1203) об определении криволинейной дуги максимальной подъемной силы, глиссирующей по поверхности невесомой жидкости без образования брызговых струй. Построено точное аналитическое решение для одного частного значения параметра й = (Ь вЂ” 1)/! = зЬ (1) — 1 = 0.175201! .. Кроме того, для произвольных значениИ Й получена оценка отнесен- ного к хорде коэффициента подъемной силы.
31. Максимизация сопротивления для схемы Кирхгофа 1.1. Постановка задачи и сведение ее к задаче максимизации нелинейного функционала. Рассмотрим плоскую задачу об определении формы симметричной криволинейной дуги длины 2Ь, имеющей наибольшее сопротивление при отрывном обтекании по схеме Кирхгофа. Жидкость предполагается идеальной, несжимаемой и 12 Глава 1, Экстремальные задачк теории струй невесомой. Скорость на струях постоянна и равна ( о, плотность жидкости — р. В силу симметрии рассмотрим только нижнюю половину течения (см. рис, 1а). Ось я совпадает с осью симметрии, начало координат помещено в точку торможения потока. 0 А Ряс, ь Физическая область течения (а); параметрическая плоскость 2 (з) Из физических соображений введем следующее ограничение на рассматриваемый класс течений: верхняя и нижняя струи не пересекаются.
Для точек, принадлежащих струе А11, зто означает, что они целиком лежат в нижней полуплоскости. Отобразим конформно область течения С, на четверть круга б, в параметрической плоскости(. Соответствие точек видно из рис. 1а,б. Область изменения комплексного потенциала И' представляет собой нижнюю' полуплоскость и согласно (35, стр. 113) имеем 2 Иг(1) = — (+в (1.1) К!ге а — действительная постоянная. Введем функцию Жуковского м(1) =!и = 1п — + 2о. ('а пт ЙИг (1.2) Здесь Р— модуль, д — аргумент вектора скорости. Пусть известна зависимость и(п) = Ке о~(сьз), (! < о' < т/2, (1.3) где и — полярный угол в параметрической плоскости 1, а Ке — обозначение вещественной части.
На свободной поверхности имеем КЕО2(Е") тс О, 0 < ~ < 1. (1А) 1К Макснмязацяя сопротивления для схемы Кнрхгофа 13 Ца оси симметрии течения 1п2ог(гг/) = О, 0 < г/ ( 1. (1.5) г/2 422 2 Г Гг(а) З(П гг ПГг (/2 + 1) (1.6) я ' ',/ /4+1 — 212соз2сг' о Из формул (1.1) — (1,3) получим ,2 //4 2(2) = — / — е О)сИ, 2~~ / :г/2 а2 з = — / е"1'>з1п2сгбгг, о'о г (1.7) -/г о2 Ь = — / е"г'1з1п 2о г(п.
гго о Введем наряду с функцией Жуковского ог функцию Леви-Чивиты Йг. (см. [165]): г1 Иг Йь = 21п — = й+ 2!п — = — г |. ро 6» (/о (1.9) Согласно [35, стр. 119], сила сопротивления 2Х криволинейной дуги выра(иягется формулой (1.10) Из фррмул (1.6), (1.8) — (1.10) получим 2 1гг Здесь и далее 1п2 обозначает мнимую часть соответствующей комплексной величины. Условия (1.4), (1.5) позволяют аналитически продолжить функцию ы(/) с помощью принципа симметрии из четверти круга на весь круг, после чего функция ог(2) может быть восстановлена с помощью формулы Шварца [66]: Глава 1.
Экстремальные задачи теории струй где Л[гг) — нелинейный функционал вида аьг г Л и(сг) выл(а) с!а г (1г 121 /' еа!а!е!п2ас)а а 1.2. Поиск глобального максимума с помошью неравенства Йенсена. Для отыскания максимума функционала Л[гг] введем новую функцию: А(а) = гг(сг) +!и сов (ст). Заменив в (1.12) функцию сг(а) на Л(а), получим а/г )" А(сг) з!и а с) а + 1 Л[Л) = г/г (1.13) 2 Л ежам вшас!а о Пусть Г(х), д(х) — действительные функции, заданные на интервале [а, Ь[, причем у(х) > О, У(х) с)х > О. Из неравенства Йенсена [120, теорема 204[ следует, что ь ь ь [ У( )д(х)с)х .гг(х)ехр[д(х))с!х > Х(х)с!х ехр , (1.14) а а ту(х) с)х а и равенство в (1.14) возможно только при д(х) = сопв1 . Оценим знаменатель правой части (1.13) с помопсью неравенства (1,14).
Получим ЛЯ < Р(У), (1.15) Таким образом, максимизация сопротивления криволинейной дуги при заданных величинах р, )тв, 1 зквивалентна отысканию максимума функционала (1 12), 11, Максимизация сопротивления для схемы Кнрхгофа где л/2 Р(1г) (5 + ) 2ео У = А(а) Йп. о равенство в (1.15) возможно только тогда, когда Л(о) = сопэс Функция Е(У), вообще говоря, не ограничена на действительной оси, так как 1пп Р(У) = оо. Однако мы рассматриваем только та- У -ео кие течения, у которых верхняя и нижняя струи не пересекаются. Известно (35, стр.
119), что при струйном обтекании любого криволинейного препятствия по схеме Кирхгофа форма струй на бесконечности асимптотически приближается к параболе. Для струи Ас1 при больших х будем иметь где коэффициент Р параболы зависит от формы обтекаемого препятствия. Так как струя АР целиком лежит в нижней полуплоскости, коэффициент Р должен удовлетворять неравенству Р > О.
Коэффициент Р выражается через функцию Леви-Чивиты йс, следующим образом (35, стр. 119]: Р = — Йь~(0) ъ% Из формул (1.6), (1.9) выведем тогда, что «/2 и(сс) Йа > О, о причем равенство в (1.16) возможно только тогда, когда 1(а) = сопэ1 и одновременно У = 1. Значит, равенство в (1.16) может иметь место лишь в случае А(п) = 1. Возвращаясь к функции и(п), получим, что единственный глобальный максимум функционала (1.12) достигается на функции и(о) = 1 — 1п созо, 0 < и < т/2, (1.17) и этот максимум равен 2е откуда следует, что У > -1.
При У > — 1 функция Р(У) имеет единственный максимум в точке 11 = 1. Следовательно, ЗЯ<2е (1АО) 16 Глава П Экстремальные задачи теории струй С, = — г < — = 0 93679737 , 2Л 8 р~~цЛ те 1.3. Свойства экстремальной дуги. Из формул (1.2), (1.3) и (1.17) следует, что — = е сова.. (1.19) Подставив выражения (1.17) в формулы (1.7) и (1.8), получим, что в — сов О'. Ь (1.20) Из равенств (1.19), (1.20) найдем, что скорость ~' вдоль экстре- И)вльной дуги является линейной функцией дуговой абсциссы ес ,в — =е ь'о (1 21) Найдем теперь распределение угла наклона вектора скорости д(в) для экстремальной дуги. Для этого подставим функцию (1.17) в выражение (1.6) для ы(1). Будем иметь 21 1+1 ьг(1) = Ф(г) — — 1и —, т 1 — 1 (1.22) где т/г 4й г Р (1п сово)в)пп6а Ф(1) („г + 1) / ге+1 — 2ггсов2в о Знаменатель подынтегральиой функции в (1.23) представим так: (1.23) + 1 — 21 сов2о = (Г +1) (1 — а сов о), о =— т г г г г г 2г 1г+1 Тогда 1 ь — ! з оэлсов'"и.
(1г» 1)г г После подстаиовки этого выражения в (1.23) устайввгим, чти. 21 Ф = — гТ(а), о = —, 1г+ 1' Коли ввести отнесенный к длине 2Ь коэффициент сопротивления криволинейиой дуги, то из выражения (1.11) найдем 17 11. Максимизация сопротивления для схемы Кярхгофа где Т(а) является аналитической функцией переменного сп то+1 (~) = ~ (2 )~' (1.25) Областью изменения переменной а будет, как нетрудно видеть, правый верхний квадрант. Соответствие между точками плоскостей а и 1 видно из рис.
1би рис. 2. Радиус сходимости ряда (1.25) равен единице. Таким образом, представление (1.25) не пригодно во всей области изменения а. В частности, оно не пригодно и на луче [1,оо], которому в плоскости а соответствует криволинейная дуга. Ряс. т. Область язмевевяя перемевиой а Аналитическая функция Т(о), представимая в единичном круге в виде ряда (1.25), будет неоднократно встречаться в следующих параграфах данной главы, причем аргумент Т(а) может изменяться не только в верхнем правам квадранте, но и в верхнем левом.
Поэтому ниже будут получены формулы, позволяющие осуществить аналитическое продолжение Т(о) из верхнего полукруга на верхнюю полу- плоскость, Заметим, что „т»+1 Т(о) = — ~~1 = — [7,11(о) — 511( — о)], я (211 + 1)з я где „о елг(а) = у о=о ) есть дилогарифм Эйлера (см., например, [104, стр. 762]). 18 Глава 1. Экстремальные задачи теории струй Продифференцируем функцию Т(а) по а.
После суммирования полученного ряда будем иметь (103, стр. 245) оТ 1 1+а — = — !и —. оа та 1 — а (1.26) о 1 / 1+а 6а Т(а) = — /! !и — —, в 1 — а а о (1.27) а 1 / 1+а Йа т Т( ) =-11! — +-, и! 1 — а а 4' ! (1.28) а 1/ 1+айат Т(а) = — ! !и — — — —. ./ -1 (1.29) Сделав в интеграле (1.29) замену переменной а = -1/!У (область изменения,Π— также верхняя полуплоскость), с помощью (1.28) придем к следующему равенству Т(а) = Т(-1/а) + !!па+ т/2, (1.30) которое позволяет использовать представление (1.25) и при !а~ > 1. Получим еще одно тождество для функции Т(а), где а — действительное число и 0 < а < 1, сделав в (1,27) замену переменной 1 — 'р а = —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
