Д.В. Маклаков - Нелинейные задачи гидродинамики потенциальных течений с неизвестными границами (1163230), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Сюда относятся ряд оптимальных задач теории струй (глава 1) и задача проектирования гидропрофилей по заданной кавитационной диаграмме (глава 2), Второе направление — разработка эффективных методов решения прямых задач, позволяющих проводить всесторонний параметрический анализ на основе численных экспериментов. Численные методы, развитые в главах 3 и 4 для исследования докритических течений и течений с границей раздела сред, содержат в себе большую предварительную работу, связанную с выделением асимптотик в особых точках и представлением искомых функций в таком виде, что большая часть граничных условий удовлетворяется по построению. Такие методы принято называть численно-аналитическими.
Третье направление — это доказательство теорем существования и единственности решения. Конструктивные теоремы существования, основанные на принципе сжимающих отображений, доказаны для наиболее типичных из з;дач, рассмотренных в главах 3 и 4. Автор придерживается мнения, что доказательство подобных теорем имеет смысл, даже если оценка для величины малого параметра получается очень плохой. Выражения типа "итерационный процесс сходится, а решение задачи существует при достаточно малых значениях параметра г" показывают, что записанная система уравнений корректна (последнее в нелинейных задачах часто бывает далеко не очевидно).
Тем самым обосновывается принципиальная возможность построения решения численным методом. Численно-аналитический метод расчета докритических течений, представленный в главе 3, может служить иллюстрацией к сказанному, так как существенно использует результаты, полученные при доказательстве теоремы существования. Неконструктивные методы, базирующиеся на теореме о неподвижной точке Лерэ-Шаудера и теоремах сравнения, применены в главе 5 при исследовании задачи о, кавитационном обтекании клина в продольном поле силы тяжести. Эти методы позволили доказать существование и единственность решения не в малом, а во всем диапазоне изменения исходных гидродинамических параметров задачи.
В последней главе 6 предложен численно-аналитический метод для расчета развитых кавитационных течений около криволинейных препятствий. Этот метод во многом схож с методом главы 3 исследования докритических течений и может служить альтернативой известному методу Леви-Чивиты.
Магистральным направлением развития науки, вообще, и гидро- динамики, в частности, является численное моделирование. Однако Предисловие аналитические подходы, видимо, никогда не утратят научной ценности. В своих исследованиях автор всегда стремился к разумному сочетанию аналитических подходов с вычислениями на ЭВМ. Численные эксперименты, зачастую, позволяют сделать обобщающие качественные выводы, которые впоследствии могут быть доказаны строго. Примером сказанному могут служить точные нижние оценки кавитационных диаграмм, полученные в главе 2 на основе анализа численных результатов Эпплера и Шепа [139]. При изложении материала данной книги использованы результаты работ [1], [2], [70], [78] — [81], [83] — [89], [129], [171].
Некоторые результаты получены совместно с Ф.Г. Авхадиевым, М.В. Лотфуллиным, М.В. Наборовой, А,Н. Угловым. Всем им автор выражает благодарность. Особую благодарность он выражает Г.Ю. Степанову, вдохновившему его на этот труд. Автор глубоко признателен О.М. Киселеву за постоянное внимание и полезное обсуждение результатов, а также А.М. Елизарову, сделавшему много ценных замечаний при редактировании рукописи. Работы, опубликованные в 1993-1996 г.г., были выполнены при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты 93-01-17552, 94-01-01763, 96-01-00123, 96-01-00111). Настоящее издание также стало возможным благодаря финансовой поддержке РФФИ (проект 96-01-14131). Глава 1 Экстремальные задачи теории струй В теории струйных и кавитационных течений задачи отыскания оптимальных гидродинамических форм, реализующих экстремумы гидродинамических характеристик, являются мало исследованными.
Первая задача такого рода была решена М.А. Лаврентьевым «63]. Им была найдена форма симметричного препятствия минимального сопротивления, обтекаемого по схеме Кирхгофа и имеющего заданные длину и ширину. С помощью теорем сравнения было показано, что искомая форма представляет собой вертикальный отрезок со сходящими с него свободными линиями тока. Профиль, построенный М.А. Лаврентьевым, долгое время оставался единственным известным профилем, обладающим экстремальными свойствами при струйном обтекании.
Позднее Серрин [186] распространил результаты М.А. Лаврентьева на осеснмметричный случай. Ву и Витии [203] рассмотрели задачу об определении дуги максимальной подъемной силы, глиссирующей по поверхности идеальной жидкости без образования брызговых струй. Длина дуги Ь и хорда ! предполагались заданными. Методами вариационного исчисления задача была сведена к решению нелинейного интегро-дифференциального уравнения. Получены линеаризованное приближенное решение этого уравнения при (Ь вЂ” !)/! << 1 и численное решение, основанное на разложении искомой функции в ряд Фурье.
Числовые расчеты были выполнены с сохранением лишь двух членов в этом ряде. Аналогичным способом Витии [199] исследовал задачу о форме симметричной дуги минимального сопротивления, обтекаемой по схеме Кирхгофа, Длина и хорда дуги задавались. В работах А.Л. Гонора и В.И. Забутной [25],[26) получено аналитическое решение задачи о форме осесимметричного кавитатора минимального сопротивления при заданной ширине каверны. При этом распределение давления по поверхности тела находилось по прибли- 10 Глава Ы Экстремальные задачи теории струй женной формуле квадрата косинуса, а коэффициент локального трения предполагался постоянным. Оптимизация проведена в классе каверн эллиптической формы при заданном числе кавитации.
В работе (27] тех же авторов представлены результаты точного численного расчета обтекания по схеме Рябушинского кавитатора оптимальной формы, определенного в (25], [26]. Показано, что отнесенный к плоШаЛи сечения миделя каверны коэффициент сопротивления такого кавитатора меньше, чем у диска. Задачи определения формы препятствий с минимальным сопротивлением обладаюх несомненной практической ценностью, однако в ряде областей техники возникает необходимость отыскания формы препятствия, обладающего максимальной тормозящей силой в потоке. Например, при конструировании парашютов требуется создать максимальную силу сопротивления при заданной площади поверхности парашюта. Задачи такого типа рассмотрены в 11 и в $2 настоящей главы.
В ~1 исследована задача об определении формы симметричной дуги заданной длины 2Ь, имеющей наибольшее сопротивление при отрывном обтекании по схеме Кирхгофа. Задача решена при естественном ограничении, что верхняя и нижняя струи не пересекаются. Показано, что отнесенный к длине дуги коэффициент сопротивления С не может быть больше, чем 8/(ле) 0.93679737, где е — основание натуральных логарифмов.
Установлено, что значение 8/(ке)— это глобальный максимум, который реализуется на дуге, имеющей тарелкообразную форму. Для этой формы найдено простое аналитическое представление. В 32 задача, исследованная в 11, обобщена на случай обтекания дуги с образованием следа конечной ширины. В качестве схемы обтекания со следом использована схема, введенная Н.Е. Жуковским (40], Эпплером (135], (136] и Рошко (182], (183] (см, также (147, стр. 325 н стр.
343]). Данную схему(можно трактовать н как модель кавитацнонного обтекания. В предположении, что коэффициент донного давления Я положителен и фиксирован, определена дуга максимального сопротивления. Установлено, что форма этой дуги слабо зависит от Я в диапазоне 0 < Я < 2,и, следовательно, оптимальную форму, найденную в з1 (Я = О), можно считать универсальной для любых 0 < Я < 2. Для вычисления максимального сопротивления получены простые аппроксимационные формулы. В $3 найдена наилучшая форма криволинейного дефлектора.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
