Д.В. Маклаков - Нелинейные задачи гидродинамики потенциальных течений с неизвестными границами (1163230), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Прямая 2 на рис Г7 это оценочная функция (4.20). Как видно из сравнения линий 1 и 2, приближенное аналитическое решение дает завышенные значения мак"имального сопроттй аления уже при е' > 0.02. Разделив обе части неравенства (4.15) на РЪ'сотЕ,, получим, что для отнесенного к хорде коэффициента подъемной силы глиссирующщ дЕож еейэававпивэ ецщнг,е 51 14.
Задача о глиссироааинн с, 1 .0 .00 .05 .10 .15,20 .25 .30 .35 Рнс. 17. Зависимости Се м е от й: 1 - аналитический метен Ву н Внтюе [2оз]л к а; 2 — и а [4.2о); з — рно н и олиу н Витии [203[, осноааннеей на лаукчленном раэлоненнн Кроме приближенного аналитического метода в работе 1203[ предложен метод, основанный на разложении искомой функции в ряд Фурье, причем при выполнении расчетов удерживалось только два члена в этом ряде. Зависимость Сума,[к), полученная в [203] для двухчленных разложений, показана на рис. 17 кривой 3, Из сравнения линий 2 и 3 можно сделать вывод о том, что результат Ву и Витии, замечательно близок к нашему точному в окрестности точки к = 0.1752011. Прямая 2 практически касается кривой 3.
Это тем более интересно потому, что названные двухчленные разложения не дают особенностей на концах экстремальных дуг и, следовательно, не дают и спиралеобразных завитков. Тем самым, еще рэз подтверждается мысль, высказанная в конце 11, — спирали не вносят существенного вклада в оптимизируемую гидродинамическую характеристику. Заключительные замечания к главе 1. В данной главе получены аналитические решения четырех различных задач оптимизации гидромеханической формы при обтекании с отрывом струй. Однако для трех первых задач получена одна и та же зависимость угла наклона вектора скорости от модуля скорости вдоль экстремальных 52 Глава 1. Экстремальные задачи теории струй кривых.
Эта зависимость имеет вид (для верхней половины кривой) 1 1+е — „, р' д = — + — !и ~' — Т(е — ), 2 и 1 — е~~- о О« — е ро Как следствие, области изменения годографа скорости для течений около экстремальных дуг получились одинаковыми (ср. рис. 3, рис. 6 и рис, 12).
Это удивительное обстоятельство, видимо, должно иметь некое рациональное объяснение, которое пока не найдено. Экстремальные дуги для всех рассмотренных задач имеют на концах "микроскопические" спиралеобразные завитки. Асимптотически эти завитки являются логарифмическими спиралями н задаются уравнениями вида и = сопиФ е '~, где и — расстояние от конца экстремальной дуги до лежащих на ней точек, 1т — полярный угол. Спиралеобразный характер экстремальных кривых невозможно обнаружить при графическом построении в равномерных масштабах, поскольку каждые пол-оборота радиус-вектора и уменьшают его длину вехр(и ) а 2 10 раз. Первопричинойобразованиязавитковявляется разрыв модуля вектора скорости при переходе с криволинейной дуги на струи. На конце экстремальной дуги имеем Ъ'/Ъо — — е ', на струях и'/'го — — 1.
Числовой расчет, проведенный для дуги, обтекаемой по схеме Кирхгофа, показал, что завитки могут быть отрезаны без существенных потерь в коэффициенте сопротивления. Глава 2 Теория кавитационных диаграмм Данная глава посвящена проблеме проектнровання гндропрофнлей. В ней изучены свойства кавнтацнонной диаграммы — зависимостя коэффнцнента минимального давления на поверхности профиля от угла атаки, поставлена н решена задача о построении профиля, кавнтацнонная диаграмма которого в точности совпадает с заранее заданной функцней.
Кавнтацнонная днаграмма — одна нз важнейших характернстнк гндропрофнля, позволяющая определить диапазон углов атаки, в котором будет отсутствовать кавнтацня. Построение кавнтацнонной диаграммы, таким образом, — необходимый элемент проектирования, так как для гндропрофнля кавнтацня является крайне нежелательным явлением, ведушям к серьезным нзмененням гндродннамнческнх характеристик я возможным повреждениям поверхности профиля. Основным методом проектирования крыловых профилей с заранее заданными свойствами является метод обратных краевых задач ээрогядродннамнкн [ОКЗА), Этот метод позволяет, задав распределение скорости вдоль поверхностн профиля как функцию дуговой абсциссы э нлн на параметрической окружностн, определить затем с помощью явных интегральных представлений уравнение контура профиля н потенциальное течение вокруг этого контура.
Опнсанне современного состояния теории ОКЗА можно найти в обзорах [36], [134] н в монографии [37]. Прн решении ОКЗА в классической постановке Манглера [172] н Г.Г, Тумашева [117] каждому распределенню скорости соответствует профиль, расположенный в потоке вполне определенным образом н, следовательно, под вполне определенным углом атаки. Поэтому классическая постановка неудобна прн проектировании профилей с хорошими кавнтацноннымн свойствами, так как а рг1ог1 неизвестно, каким будет распределение скорости прн других углах атаки.
Однако 54 Глава 2. Теория кавитационнмх диаграмм в теории ОКЗА имеется несколько вариантов постановок, при которых распределение скорости задается на двух н более углах атаки (см. [38], [41], [92], [137], [138], [148], [169]). Наиболее последовательно эта идея была реализована Эпплером [137], [138]. Метод Эпплера состоит в задании распределения скорости на различных дугах параметрической окружности прн различных углах атаки. За исключением первой и последней дуги около точки, являющейся образом задней кромки профиля, скорости на соответствующих углах атаки полагаются постоянными, причем значения этих постоянных заранее неизвестны и должны быть определены в ходе решения.
Этот метод был первоначально развит для проектирования аэропрофилей [см. [137] и монографию [138]), однако он был с успехом применен Эпплером и Шеном и для проектирования гидропрофилей [139], [140]. Следует отметить, что в методе Эпплера, равно как и в других упомянутых выше методах проектирования с использованием распределений скорости ка разных'углах атаки, функция Р(а) заранее не известна и может быть построена только после процедуры проектирования. Поэтому при проектировании гидроцрофилей в работах [139], [140] применяемый метод дополняется специальными итерационными процессами. Аналитический метод проектирования, предложенный в 35 настоящей главы, позволяет построить профиль с заранее заданной кавитационной диаграммой. Дано явное описание класса функций, каждая из которых может быть реализована как кавитационная диаграмма для некоторого профиля с замкнутым контуром.
Тем самым, установлен критерий разрешимости поставленной задачи проектирования. В 36 главы 2 с помощью сформулированного критерия решена задача об отыскании форм симметричных гидропрофилей, имеющих максимально широкий бескавитационный диапазон углов атаки. Класс подобных профилей был построен ранее Эпплером и Шеном в работе [139] на основе гипотез и численной оптимизации. Полученные в 36 точные нижние оценки кавитационных диаграмм, во-первых, аналитически подтвердили "оптимальность" профилей работы [139]. Во-вторых, применение этих оценок к профилям работы [139] показало, что оценки являются почти достижимыми с помощью реальных профилей, обтекаемых безотрывно в определенном диапазоне чисел Рейнольдса.
55 ~Б. Проектирование по кавитационной диаграмме 55. Проектирование ио кавитационной диаграмме 5.1. Постановки основных задач. При проектировании гидро- профилей под кавитационной диаграммой понимается зависимость 7(а) коэффициента минимального давления, взятого с обратным знаком, от угла атаки он Р(о) — Срана(о) — 2 Рсю Ропп(о) ,Кг где рмгв — минимальное давление на поверхности профиля, р, — давление на бесконечности, г' — скорость набегающего потока, р— плотность жидкости. Функция г" (а) — одна из важнейших характеристик гидропрофилей, позволяющая определить диапазон углов, в котором будет отсутствовать кавитация.
Классическое условие бескавитационого обтекания состоит в том, что давление р всюду в потоке должно быть больше давления насыщенного пара р„(см., например, [52)). Через функцию Г(о) условие бескавитационности обтекания запишется так: Р( )<Я, С)=2 р $.'2 где („) — число кавитации. При движении судна число кавитации ч' и изменения углов атаки (последние могут быть вызваны морским волнением или специальными устройствами управления) зависят от скорости движения. В зависимости от требований, предъявляемых к конкретному судну, при проектировании может возникнуть необходимость в различных типах кавитационных диаграмм, обеспечивающих бескавитационное обтекание как на крейсерском режиме движения, так и при совершении маневров. Целью настоящего параграфа является разработка метода построения гидропрофилей, для которых кавитационная диаграмма в точности совпадает с заранее заданной функцией.
Рассмотрим в плоскости г двумерное потенциальное обтекание одиночного профиля потоком идеальной жидкости. Пусть функция г = г(1) осуществляет конформное отображение внешности единичного круга в параметрической плоскости 1 на внешность профиля в 56 Глава 2. Теория кавитацноииых диаграмм плоскости т. Соответствие точек между плоскостями т и 1 таково; е(со) = со, т(1) = то где т, — комплексная координата острой кромки профиля (см. рис. 18а, б). Отображение т = т(1) устанавливает взаимно однозначную связь между точками параметрической окружности и точками на поверхности профиля.
Пусть 7 — полярный угол в параметрической плоскости 1, а — угол атаки относительно линии нулевой подъемной силы. Обозначим через г'(т,а) распределение скорости вдоль параметрической окружности при угле атаки а. Скорость на бесконечности положим равной единице. Рпс. 1В. Фвввчсская плоскость т(а); параметрическая плоскость 1 (В) Для функции И(7, о) выполняется известное соотношение (см;. [37], [138], [169]); !г(7, о) г (7~ о1) (5.1) ] сов(7/2 — а)] ] сов(7/2 — а1)]' Действительно,'если а — угол атаки относительно линии нулевой подъемной силы, то комплексный потенциал течения Иг как функция параметрической переменной 1 имеет внд Иг(1) = пс(е ' 1+ е' /1+ 2!в!и а!п1), (5.2) где ио > 0 — постоянная имеющая размерность потенциала скорости. с!И' дИ' /, С помощью формул — = — ! г'(1) и (5.2) найдем, что бк 61/ ( Ерт !)[Еет Е!в+Хо!С] И(у,а) =по (5.
3) 57 15. Проектирование по хэвитациоиной диаграмме Функцию «(«) можно представить в виде «(!) = е '"«э(!), где «ю(!) функция, реализующая конформное отображение области ф > 1 на внешность профиля, имеющего нулевую подъемную силу. Поэтому !«'(егт)! не зависит от угла атаки о и является функцией только пе- ременной 7. Из соотношения (5.3) выведем, что И(7, а) = ] сов(у/2 — а)!д(7). (5.4) где оР(7~ о) 7 да — 18( — — а)1'(7 о) = 6. 2 (5.6) Все три соотношения (5.1), (5.4), (5.6) являются эквивалентными и выражают связь между распределениями скорости при различных углах атаки.
Из формулы (5.4) вытекает, что функция д(7) полностью определяет распределение скорости при потенциальном обтекании профиля .идеальной жидкостью на любом угле атаки о. Если функция р'(7, а) известна для некоторого угла атаки а, то форма профиля может быть легко восстановлена с помощью теории обратных краевых задач (см. [37], [138]). В самом деле, зная г'( у, а) на некотором угле атаки, из соотношения (5.4) найдем функцию д(7) и с помощью формулы (5.5) построим функцию 1п!«э(е'")! = !пд(у) — !п(4ьэз!и -).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
