Д.В. Маклаков - Нелинейные задачи гидродинамики потенциальных течений с неизвестными границами (1163230), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Соответствие точек видно из рис. 5а и 5в. Областью изменения комплексного потенпдала И' является верхняя полуплоскость (см. рис. 56). Связь между плоскостями ! и И' имеет внд: И' = — — '(4+ — — 2), 4 где !о, > Π— значение потенциала скорости в то*.((бе С. Введем функцию Жуковского (2.3) Ко 6 Р ы($) = 1п — =!и — + 16. с)Иг (2.4) г(л) = Кем(еге), О < в <б. На свободной поверхности имеем Ке ы(е'е) = О, б < о < х'. На твердых горизонтальных стенках РА н СР 1гпм(б)=О, — 1<6<1. (2.5) (2.6) (2.7) Продолжив аналитически с помощью принципа симметрии и условия (2.7) функцию ы(1) на весь круг и использовав формулу Шварца [66), из (2.5) и (2.6) получим б 1-С' 7 (а)6,.
м(~) = — 1 т 1 1 — 28совсг+Р' о (2.8) Из формул (2.3) — (2.5) будем иметь равенства 12 вер! сЫ 4 ко се (2Л6 Пусть б — дуговая абсцисса точки В в параметричесйр)! плоскости и известна зависимость 26 Глава 1. Экстремальные задачи теории струй в = — б вшее обг, Огс Г „бе1 2$го .г' а 0<бг< 6, (2.10) Ь = — б в1пбге"1 ~ба. 2Ъ'о бг (2.11) о Интегрированием функции (2.9) по полуокружности бесконечно малого радиуса в плоскости 1 с помощью теории вычетов нетрудно найти величину И = — ге"1~1ог~(0). (2.12) 4Ъ'о Коэффициент донного давления б~ также выражается через ы(0).
Из соотношений (2.2) и (2.4) будем иметь т боб (2.13) б 2 — б и(е)ббг а Д = ехр (2.14) ,1гг Х = — ~Ы~~/Г+ б'„Ц[бг, б]ч (2.16) где б ) бг(е) сов а бе Л1бг,б) = а ) в1пбге"1")йт о 46Щйиубау 12'вчу"влажно, очевидно, записать в эквивалвнтной форме (2.16) и(а) Йбг = — 1п(1 + Я) = е. 2 о (2.17) Таким образом, задача определения дуги максимального сопротивления при заданных величинах р, К„„Е и Я эквивалентна задаче отыскания параметра 0 < 6 < т и функции бг(е) с областью определения 0 < е < б, доставляющих максимум функционалу (2.16) при ограничении (2.17). Формулы (2.1), (2.8), (2.11) — (2.13) позволяют выразить силу со.противления криволинейной дуги и коэффициент донного давления ЧЕРЕЗ фуНКцИЮ бг(Е) И ПараМЕтр 6: 27 12.
Максимизация сопротивления для схемы со следом 2.3. Нахоясдение глобального максимума. В реальных кавитационных течениях н течениях со следом давление в каверне (или в следе) удовлетворяет условию ро < р, . Поэтому мы будем искать максимум функционала Л[и, 6] в предположении, что Я > О. ПуСтЬ ПараМЕтр О < 6 < я И НЕКОтОрая фуНКцИя бт(а) удОВЛЕ- творяют ограничению (2.17). Так как для плоской пластины сила сопротивления 2Х положительна, мы можем предположить, не потеряв общности, что Л[и, 6] > О.
Введем новый функционал 1[и, 6] = Л [бт, б] К[бт, 6], (2.186 где /и(п) Йт — й К[бт,б] = ехр й(6) д(б) = 6+ я)пб. (2.19) Л(п) = бт(о) + 1п»8 (и/2). (2.20) Замена бт(п) на Л(п) в (2.18) позволяет записать равенство б /Л(п) сова Оо+ 6 — я(пб 1и ~8(6/2) 1[Л, 6] К[Л, б], /ед")(1+ сояп) Обт о (2.21) где /Л(»т) Ы вЂ” б — /!и 18(п/2) Оп К[Л,б] = ехр Если ограничение (2.17) выполнено, тогда К[и, 6] = 1, и задачи максимизации функционалов Л[и, 6] и 1[бт, б] при одном и том же ограничении (2.17) являются эквивалентными.
Будем искать теперь глобальный максимум функционала 1[», б], забыв на время, что существует ограничение (2.17). Для этого введем новую неизвестную функцию Глава ц Экстремальные задачи теории струй 28 Числитель в (2,21) можно оценить с помощью неравенства Йенсена (1.14). В результате получим неравенство ЦЛ,б) (0(5б,б), (2.22) где У+б — ешб 1и !8(б/2) С(У, б) —— д(б) АР ~~1+ ! !и бй(п/2) асс+ Оу) /Р(3)~ а б Л(о) соз а йг. (2.23) Таким образом, из (2.22) и (2.24) следует, что /(шахС(У,б) = б'(б), и (2.25) где б ) !и !8(бт/2)6бт — ашб !и !8(б/2) — й Р(б) = ехр р(б) и равенство в (2.25) возможно тогда и только тогда, когда У определяется через (2.24) и в то же время Л(бг) ав сопз!. Подставив Л(п) = сопве в (2.23), (2.24), получим, что равенство в (2.25] возможно тогда и только тогда, когда Л(п) = 1+ !и !8 (б/2) или и(е) = 1+!и Фй (б/2) — !и !8 (и/2).
(2. 26) Продифференцировав Р'(б), выведем, что для к > О (ь/ > 0) функция Г(б) достигает своего единственного максимума на интервале (О, я), если б удовлетворяет уравнению (2.27) о Продифференцирорав Функцию 0(У, б) по (/, можно показать, что для любого фиксированного б Е (О, х) единственный строго положительный максимум функции 0(У, б) по Гб достигается при У = вшб(1+1п 18(б/2)), (2.24) 12. Максимизация сонротивленяя для схемы со следом Величина этого максимума есть е ~ сгй (б/2).
Заметим также, что для б < 0 (Ч < 0) уравнение (2.27) вовсе не имеет корней в диапазоне 0 < б < т. Таким образом, мы показали, что при к > 0 1 < е ~ с$8(б/2), (2.28) Сеызх = — = е ЯЯ+Яс18(б/2), (2.29) 2Х '""" рь г В где б является корнем трансцендентного уравнения (2.27). Когда Ч - О, схема Жуковского-Эпплера-Рошко переходит в схему Кирхгофа и с помощью (2.27) и (2.29) можно показать, что С,„„ех = 8/(яе). Последнее равенство совпадает с оценкой (1.18) предыдущего параграфа. 2.4.
Свойства полученного решения. Подставив равенство (2.26) в формулы (2.10) и (2.11), найдем, что э а+ э1по А б+ зшб' (2.30) Из (2.4), (2.5) и (2.26) выведем равенство (2.31) — =е Ъ' „18 (о /2) 0 < ~т < б. $/о 18 (б/2) ' и правая часть неравенства (2.28) является глобальным максимумом функционала 1. Вспомнив теперь ограничение (2.17), мы с удивлением обнаружим, что для и(а) и б, удовлетворяющих соотношениям (2.26), (2.27), огра ничение (2.17) выполнено.
Это является следствием удачного выбора множителя К[Л,б) в (2.18). Таким образом, формулы (2.26), (2.27) дают решение поставленной задачи. Вышеприведенные рассуждения, конечно, не являются методом для нахождения максимума функционала (2.16) при ограничении (2.17). Это лишь доказательство того, что глобальный максимум достигается для А(а) и б, определяемых через (2.26) и (2.27). Стандартная техника вариационного исчисления приводит к соотношениям (2.26) и (2.27) после трудоемких и громоздких вычислений без всякой уверенности, что (2.26) и (2.27) действительно дают решение. Для коэффициента максимального сопротивления из формул (2.15) н (2.28) получим, что Глава 1. Экстремальные задачи теории струй 30 Формулы (2.30), (2.31) являются аналогами формул (1.19), (1.20) из Э1 и задают в параметрическом виде распределение скорости вдоль экстремальной дуги.
Найдем теперь распределение угла наклона вектора скорости. Для этого подставим функцию (2.26) в формулу (2.8) для ы(1). По- лучим (2:32) где б 1 — гг /!и 18 (а/2) — 1п Щй(б/2) / ! 2!сов< ! !г о Сделаем в интеграле (2.33) замену переменных (2.33) и = —, а =! — 18(б/2).
18 (а/2), 1 + ! $8(б/2) ' 1 — ! В результате будем иметь 2 Т !пивши Ф(а) = — —,а / тг .1 1 — игаг о (2.34) г г-г Разложив выражение (1 — игаг) в ряд по степеням игаг и затем произведя почленное интегрирование, найдем (2.35) Ф = — 1Т(а), 18 (б/2) а = — —. ьй (и/2) (2.36) где т(а) — аналитическая функция, введенная в 11 формулами (1.25), (1.26). Областью изменения переменной а является, как нетрудно заметить, левый верхний квадрант. Операция разложения подынтегрального выражения (2.34) в ряд справедлива при !а! < 1.
Таким образом, формула (2.35) верна, по крайней мере, в части области изменения а. Однако в силу'аналитичности функций Ф(а) и Т(а) формула (2.35) будет верна во всей области изменения а, то есть во всем левом верхнем квадранте. Пусть теперь | = е'", 0 < и < б. Тогда 31 12. Махсямязацяя сопротивления для схемы со следом Подставив выражение (2.36) в формулу (2.35), а затем в (2.32), полу- чим с учетом (1.30), что го(ег ) = 1+ 1и — + 13 (6/2) гй (гг/2) х /'хй(гг/2) г 1 13(6/2)+ 13(гг/2)1 2 1, гй(6/2) / я 13 (6/2) — гй (гг/2) ) (2.37) Формула (2.37) подтверждает справедливость граничного условия (2.5) для функции ы(Г) и дает искомое распределение д(гг) для экс- тремальной дуги: В т(13( /2)) 1 СК(6/2)+ 13( /2) 2 1, Сй (6/2) / т 13 (6/2) — Сй (гг/2) Из соотношений (2.38) и (2.31) выведем, что и=е —, 0« — е .
(2.39) 1'о Ро к 1 1+и й = — — Т(и)+ — 1п —, 2 1 — и Йв 4 Сй(6/2) 1 Ь0и 6+ вш6 [1+ итхйо(6/2)!т Последнее соотношение определяет линию, соответствующую криволинейной дуге в плоскости годографа скорости. Так как параметр 6 не входит в (2.39), форма этой линни не зависит от коэффициента донного давления Я. Поэтому соотношения (2.39) с точностью до знака совпадают с аналогичным соотношением (1.35) из В1.
Изменение знака обусловлено тем, что в 11 рассмотрена нижняя половина течения. Область изменения функции ы(1) для верхней половины течения около экстремальной дуги показана на рис. б. Если построить аналогичную область для экстремальной дуги, обтекаемой по схеме Кирхгофа, то нетрудно заметить, что границы областей изменения ы для задач из 11 и 12 будут совпадать. Формулы (2.30) н (2.31), (2.39) задают в параметрическом виде искомое распределение угла наклона вектора скорости вдоль экстремальной дуги.
Из (2.30) и (2.31) получим равенство Глава 1. Экстремальные задачв теории струй 4 в у'о 1п— И 0 0 Рвс. 6. Область неменеяня фувкпвн Жуковского н для верхней половяны теченяя около дуги мексвмельного сопротивления, обтекаемой по схеме Жуковского-Зпплере-Ромке Отсюда и из равенств (1.38) найдем к(и) 4вй(6/2) / Ь 6+ в1пб / о у(и) 4 вй (б/2) /' Ь б+ в1пб ./ о вшТ1(и) йи 11 + ив вй т(б/2)]в ' сов Тг(и) ои (2.40) 11 + ив вйт(б/2)Р ' Соотношения (2.40) в параметрическом виде задают форму дуги максимального сопротивления. Эта форма так же, как и дуга, найденная в 31, имеет на конце спиральный завиток.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
