Д.В. Маклаков - Нелинейные задачи гидродинамики потенциальных течений с неизвестными границами (1163230), страница 4
Текст из файла (страница 4)
1+8 С помон!ью выражения (1.28) найдем /1 — ач 1 1+а и Т(а) = — Т ( — / + — !па!и — + —. ~Щ) !,1+а/ т 1 — а 4 В силу аналитичности функции Т(а'! формула (1.26) справедлива во всей верхней полуплоскости. Формула (1.26) с учетом того, что Т(1) = л/4, Т( — 1) = — л/4 (103, стр, 653), позволяет записать следующие интегральные представления функции Т(а), справедливые в верхней полуплоскостн: 11. Максимизация сопротивления для схемы Кярхгофа Скомбинировав (1.25) и (1.31), получим следующую эффективную с точки зрения вычислений формулу для Т(а) при 0 < а < 1: 2 а г ы я гС~ (2я+ 1)г »»О если 0<а<~/2 — 1; (1.32) гг ~ (2п+ 1)г 'х1+ а/ »»О если г/2 — 1 < а < 1.
Т(а)»» я ) 1+а — + — 1и — 1п а— 4 я 1 — а ьг ( ьг(еьг) = -гТ вЂ” /! + — 1и — + 1. г, сове/ л 1+ созе Отсюда и нз (1.30) следует, что 1- соко. гг. ьг(е" ) = рТ( сов е) + — !и — — -г + 1 — !и сов е. (1.33) я 1 + совгг 2 Формула (1.33) подтверждает справедливость граничного условия (1.3) для функции ьг(г') и дает простую связь между углом д наклона вектора скорости н переменной о". л 1 1 + совгг В= -- — — !и + Т(сове).
2 гг 1 — сове Использовав равенства (1.19), (1,20), выведем отсгода, что 9 = — — — — 1п +Т(з/Ь), 0 < з/Т < 1; (1.34) я 1 1+в/Ь 2 т 1 — з/1 Р=-- — — 1и х 1 1+ е1г/1 о + Т(е)'/'го), 0 < (г/Ъо < е '. (1.35) 2 я 1 — е 1г/Ро Формула (1.34) дает искомое распределение угла наклона вектора скорости по длине экстремальной дуги, а формула (1.35) определяет линию, соответствующую криволинейной дуге в плоскости годографа В формуле (1.32) значение ~/2 — 1 является корнем уравнения а = (1 — а)/(1+ а).
Поэтому в (1.32) аргумент степенного ряда всегда меньше /2 — 1, что обеспечивает быструю сходимость, Необходимо сохранить только пять членов, чтобы просуммировать этот ряд с точностью 10 з при а = х/2 — 1. Пусть теперь 1 = е". С помощью (1.22), (1,24) будем иметь 20 Глава 1. Экстремальные задачи теории струй Рвс. 3. Область вамевеввв фувкгдю Жуковского м длв вюквтр' воловввм течеввв около дуги максвмальвого совэотвалеввв, обтеав4мой во схеме Кврхгофа скорости. На рис. 3 показана область изменения функции Жуковского ы для нижней половины течения около дуги максимального сопротивления. В малой окрестности концевой точки А экстремальная дуга скручивается в спираль, так как 1пп д(э/Л) = — со.
Первопричиной это- ггь 1 го факта является то обстоятельство, что Ъ'(е/Ь = 1) = Р~е г, и в точке В происходит разрыв модуля вектора скорости при переходе с криволинейной дуги на струю. Аналогичные спирали йолучэются при моделировании кавитационных течений с помощью второй схемы Тулина (см. [19Ц, [192), а также [36, стр. 190]). Течения с подобными спиралями упоминаются также в монографии Биркгофа и Сарантонелло (см. [16, фиг. 351).
С помощью представления т 1 1 э о = -- — -!и 2+ — !в(1 — — ), 4 т т Ь ' которое справедливо при значениях е/Ь, близких к единице, нетрудно показать, что асимптотически эта спираль становится логарифмической и характеризуется уравнением (1.36) — = 2ехр(М + т!о), где И = — '/4 — 13 + ! [ /~5~ + 1), 21 1К Максимизация сопротивления для схемы Кирхгофа у — полярный угол (отрицательный), г — расстояние от точки А до точек экстремальной дуги. Из формул (1.32), (1.34) и соотношений х(з) = / сохо(з) Пэ, с у(з) = / 81пв(з) оз о (1.38) нетрудно численно определить форму экстремальной дуги. 0 х/Ь вЂ” 0.1 0.0 -0.1 -0.2 -0.3 -0.4 -0.5 -0.6 -0.7 -0.8 -0.9-1.0 р/б Рис. 4.
Половика препятствия наибольшего сопротввлеввя при обтекавви по схеме Кврхгофа На рис. 4 изображена нижняя половина дуги максимального сопротивления (с поворотом на 90' против хода часовой стрелки). Из (1.36) следует, что спиралеобразный характер этой кривой вблизи конца А невозможно обнаружить при графическом построении, так как каждые пол-оборота радиус-вектора г при движении по АВ уменьшают его длину в ехр(ят) ш 2 104 раз.
В табл, 1 приведены значения угла о наклона вектора скорости и величин х/Ь и у/ь для экстремальной дуги как функций дуговой абсциссы з. Наличие спиралеобразных завитков на концах экстремальной дуги ставит вопрос о достижимости оценки (1.18) кривыми с конечным угловым изменением. Заметим, что на основной части экстремальной дуги угол наклона вектора скорости сравнительно небольшой. Например, при з = 0.99951 имеем д = — 3.426876. Это позволяет предположить, что конец экстремальной кривой можно обрезать без суЩественного изменения коэффициента сопротивления. Для подтверждения этого предположения численно было рассчитано сопротивление симметричной криволинейной дуги, форма которой задана урав- Глава 1. Экстремальные задачи теории струй тб Угол В иаклоиа касателькойв коордииаты гискией воловики екстрегеааькой дЗтл как фулкллк дуговой абсииссм е В рал) нениями (1.34), (1.38), а дуговая абсцисса е изменяется в пределах 0 ( В < 0.999Ы, причем Е здесь уже не длина омываемой части дуги, а некоторый линейный масштаб.
Расчет был проведен по программе для определения течения Кирхгофа около дуги произвольной криволинейной формы, основанной иа решении уравнения Вилля 1161 Эта программа была составлена М.В. Наборовой. Коэффициент сопротивления усеченной дуги оказался равным 0.93649 и составил 99.97% от предельно возможного. .000000 .100000 .200000 .300000 .400000 .500000 .600000 .700000 .800000 .900000 .950000 .990000 .995000 .999000 .999500 .999900 .999950 .999990 .999995 .999999 1.00000 -1.570796 -1.570939 -1.571962 -1.574882 -1.581040 -1.592428 -1.612368 -1.647211 -1.711696 -1.854907 -2.027686 -2.490442 -2.702895 -3.207420 -ЗА26876 -3.93810Т -4.158588 -4.670752 -4.891369 -5.403652 .0000000 -.3553944Е-05 -.5770079Е-04 -.2995339Е-03 -.9820733Е-ОЗ -.2521186Е-02 -.5589849Е-02 -.11320$2Е-01 -.2180955Е-01 -А178742Е-01 -.5931582Е-01 -.8249301Е-01 -.8672816Е-01 -.90565ЗОЕ-01 -.9105771Е-01 -.9141007Е-01 -.9144132Е-01 -.9145542Е-01 -.9145514Е-01 -.914$371Е-01 -.9145291Е-01 .0000000 -.1ОООООО -.2000000 -.2999997 -.3999972 -.4999848 -.5999360 -.6997667 -.7991978 -.8970974 -.9438597 -.9760778 -.9ТВТ182 -.9797080 -.9796270 -.
9794459 -.9794070 - 9Т93700 -.9793650 -.9793613 -.9793608 23 12. Максимизация сопротивления для схемы со следом 32. Максимизация сопротивления для схемы со следом 2Л. Предварительные замечания. Основное допущение модели обтекания Кирхгофа состоит в том, что давление ро в следе за плохо обтекаемым телом всюду постояыно и равно давлению р в ыабегающем потоке. Это допущение на практике никогда не выполняется, поэтому коэффициент сопротивления, даваемый теорией Кирхгофа, намного меыьше экспериментального [182), [183).
Расхождения происходят как раз вследствие предположения о величине донного давления ро, которое, как известно из экспериментов, намного меньше р, Волее реальные результаты по сопротивлению можно получить, если воспользоваться кавитационыыми схемами [16), [35). Одной из них является схема, введенная Н.Е. Жуковским' [40, 1890 г.], Эпплером [135, 1951 г.), [136) и Рошко [182, 1954 г.), [183) (см, также [147, стр.
325 и 343)). Согласно этой схеме, каверна за телом замыкается на две параллельные стенки, вдоль которых скорость моыотонно изменяется от значения (Уо на струе до эыачеыия У в набегающем потоке. Эта схема весьма удобыа для определения плохо обтекаемой формы, так как сопротивлеыие 2Х в ней вычисляется по простой формуле [135), [34, формула (23.17)): 2Х = ррг ьгй, (2.1) где 1„) — коэффициент донного давления (число кавитации), 2(Р. — Ро) 1уо' (2.2) ,1г ~г 5 — половийа расстояния между пластинами.
Параметр с„х в схеме Жуковского-Эпплера-Рошко должеы определяться из эксперимеыта или из дополнительыых допущений с учетом вязко-невязкого взаимодействия потенциального потока с завихренным потоком в следе [109). Однако, как будет показано ниже, форма Л В работе [40, газо х.) Н.Е. Жуковским решена задача о нахекавии потока жидкости на пластину, прикрмваюшую вход в канал с параллельными стенками. При эхом рассмотренная им схема течения полвосхью совладает с моделью следа, предложенной Эпплером и Рошко. 24 Глава 1. Эхстремальвые задачи теорвв струй дуги максимального сопротивления слабо зависит от (,1 в диапазоне О ( („1 < 2, и, следовательно, экстремальная дуга, полученная в 11 при (а' = О (формулы (1.34), (1.33), рис. 4), является близкой к кривой максимального сопротивления н при Я ф О.
2.2. Постановка задачи. Эквивалентная задача макснмнэапнн нелинейного функннонала. Требуется определить форму симметричной криволинейной дуги длины 2Ь, имеющей наибольшее сопротивление при отрывном обтекании по схеме Жуковского-Эпплера-Рошко. Жидкость предполагается идеальной, несжимаемой и невесомой. Течение, как и в предыдущем параграфе, — потенциальное и установившееся. Схорость набегающего потока — )(, скорость на струях постоянна и равна Ъо. Коэффициент донного давления (число кавитации) считается заданным. Плотность жидкости равна р. В силу симметрии рассматривается верхняя половина течения (см.
рис. 5а). — 1 О 1 Рнс. 5. Физическая область течевяя в плоскостя т м в + 1В (е); область язмевеввя комялексяото потепомала 1Р (а) ~ параметрвческав плоскость С (е) Физически схема Жуковского-Эпплера-Рошко допускает две трактовки. Либо это модель следа за плохо обтекаемым телом и тогда Д вЂ” коэффициент донного давления, либо это модель кавнтацнонного обтекания и („1 — число кавитации. Поставленная задача, таким образом, также имеет две трактовки. Либо отыскивается дуга с наи- 25 12.
Макскмязацяя сояротяелеяия для схемы со следом большим сопротивлением при обтекании маловязкой жидкостью при больших числах Рейнольдса, либо определяется кавитатор, доставляющий максимальное сопротивление (следовательно, и максимальную ширину каверны) в потоке жидкости с большими скоростями. Отобразим хонформно область течения О, в физической плоскости с = з+ 1у на верхний полукруг С~ параметрической плоскости $.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
