Д.В. Маклаков - Нелинейные задачи гидродинамики потенциальных течений с неизвестными границами (1163230), страница 13
Текст из файла (страница 13)
78 Глава 2. Теоркя кавитапяоннмх диаграмм Заметим теперь, что равенство (5.29) теоремы 2.1 справедливо для точек непрерывности /'(а). Если а~ есть точка разрыва функции /'(а), то для малых е имеем 1(оу ж г) = Ц4(о ж е),о ж е), (П5.15) где знаки + или — нужно брать одновременно в левой н правой частях. В силу непрерывности /(а) и М(т, а) мы можем перейти к пределу в равенстве (П5.15) при г -+ 0 и заключить, что /(ау) = Ц4(ау жО),о~1 Следовательно, функция 7(а) принимает значения 4(а1 ж 0).
Из монотонности у(а) выведем, что если уу есть одно из значений 7(о~), то 4(а~ — 0) < у1 < й(ау+ 0). Таким образом, равенства (5.29) выполняются для всех а. Теорема 2.1 доказана. 86. Теоремы сравнения и точные оценки 6.1. Профили, симметричные по отношению к хорде. Для профилей, симметричных по отношению к хорде, огибающие скоростей являются четными функциями. Это приводит к упрощениям при проверке свойств 2-3. В самом деле, в свойстве 2 центральный угол атаки а, равен нулю. Следовательно, /'(+0) ) О, 7с = 7о —— — 'уе — — 2 агсуб 1/ (+0)//(0)1, где 7е — начальная точка участка восстановления давлений при угле атакиа=а,=О.
Кроме того, в свойстве 2 в силу симметрии константа Кт — — О, и с помощью равенства (5.24) леммы 2.1 можно получить более простые выражения для констант Кщ Ку через функцию о( у) = д (у): Ке = 2т1п/(0) — (т — 7)(гк(7/2) — гк[7/2 — а(7))) Йт, (6.1) о 79 1б. Теоремы сравнения н точные оценка Кс = в1п 7( 18 (7/2) — 1к [7/2 — а(7)Ц 67. (6.2) о В формулах (6.1), (6.2) интегрирование можно провести от То, так как а(7) = а, = О при О < 7 < 7о.
Функция а(7) не убывает и удовлетворяет неравенству О < а(7) < х/2. Следовательно, Кс > О. В симметричном случае для профилей со связной носовой частью область Б(1') представляет собой круговой сегмент, опирающийся на дугу — 7о < 7 < То. При этом условия свойства 3 приобретают простой вид: Ке сов7о < 1чс < Ко. (6.3) Если допустить, что носовая часть профиля может быть несвязной, формулировка свойства 3 такова: Косову„< К1 < Ко, 7„= 2(а„+ агс18[/'(а„)//(а„)Ц, (6.4) где а„— крайняя правая точка разрыва функции /'(а). 6.2. Теоремы сравнения для кавитапионных диаграмм. Постоянные Ко, К1 являются функционалами от /(а) и, следовательно, их можно рассматривать как интегральные характеристики любой четной функции, удовлетворяющей условиям свойства 1.
Введем новый функционал ЛИ = Ко[Л вЂ” Кс[/). (6.5) В силу (6.3), (6.4) функционал Л[/] будет положителен, если /(а)— огибающая скоростей для некоторого профиля с замкнутым контуром. Докажем две теоремы сравнения для четных функций, удовлетворяющих свойству 1. Эти теоремы показывают, как изменяется ЛЩ при изменениях /(а). Теорема 2.3. Лусть /(а) четная функция, удовлетворяюецвя условиям свойства 1, а1 — некоторая фиксированная величина в диопвзоне О < а1 < л/2. Тогда четная функция /„(а) токая, что 1;(а) = 1(а) при О < а < аы (6.6) /ч(а) = в1па при а1 < а < х/2, (6.7) /(ас) сйп а1 пгвнже удовлетворяет условиям свойства 1.
Более того, (6.8) Л[/1 < ЛЛ и равенство в (6.8/ возможно лить тогда, когда /.(а) гв /(а). 80 Глава 2. Теория кавитационнмх диаграмм Доказательство. Для всякой четной функции, удовлетворяющей условиям свойства 1, имеем р(а) < я и, следовательно, /'(а)//(а) < с18а. Проинтегрировав обе части этого неравенства в пределах от аг до а, получим /(а) < †. яца при а1 < а < х/2. /( ) яп а1 (рледовательно, /,(а) > /(а). Отсюда следует, что /„(а + 0) > /„(аг — 0) и для функции /,(а) выполнены все условия свойства 1 (см. штриховую линию на рис.
21в). я/2 я/2 Рис. 11. Вариации У[о) в формах (6.7) (штриховая линия) и (6,14) (пунктирная ливия) (а); иллюстрация к предположению, что /(о) пересекает оценочную функцию Т(о) (6) Введем обозначения Ь(а) = 2(а + вгс(8 Е (а)//*(а)И а (7) = у. ~(7) (6.9) 71 — )(а1 — О) = д„(аг — О). 81 16. Теоремы сравнения и точные оценки Из формул (6.6), (6.7) найдем а,(у) = а(7) для 0 < 7 < уы (6.10) (6.11) для 71 < 7 < к. Подставив равенства (6.10), (6.11) в выражения (6.1), (6.2) для постоянных Ко, Кы придем к выводу, что неравенство (6.8) эквивалентно следующему соотношению Ь(у)(18( — — а„(7)) — 18(- — а(у)))67>0, (612) т1 где Ц7) = к — 7+ в1п 7.
Но неравенство (6.12) справедливо в силу (6.11) и неубывания функции а(у). Равенство в (6.12) может иметь место, если только а. ( у) = а(у) при .71 < у < к, то есть если (. (а) = ((а). Теорема 2.3 доказана. Теорема 2.4. Пусть ((а) — четная функиия, удовлетворяющвя условиям свойства 1, величины ам ах фиксированы: О < а1 < аг < лу'2 и /',(а) — четная функция такая, что 1,(а) = 1(а) нри 0 < а < аы аг < а < л12, (6.13) (,(а) = Н(а) нри а1 < а < аг, (6.14) где Н(а) — тригонометрическвя хорда, соединяющая точки (ам 1(а~)), (а»Л г)).
Тогда у„(а) также удовлетворяет условиям свойства 1. Более того, вынолняется неравенство (6.81, и равенство в (6.81 возможно только в том случае, когда У,(а) г— н У(а). Доказательство. Так как любая тригонометрическая хорда лежит выше тригонометрически выпуклой функции у(а) (см. пунктирную линию на рис, 21в), то условия свойства 1 для функции 1',(а) очевидны. Снова. введем по формулам (6.9) функции у,(а) и а„(7).
Пусть 82 Глава 2. Теория хавитапиоииых диаграмм 72 = 4(аз+ О) = Ч*(аг+ 0) (6.16) В силу симметрии положим в соотношениях (6.15) и (6.16), что 72 = О, если а2 — — О, и 72 = л, если аг = л/2. Из условий (6.13), (6.14) теоремы 2.4 имеем а,(7)=а(7) при 0<7<7ы,г<л, а,(7) = аг при 71 < 7 < 7, (6.17) а,(7) = а2 прн 7о1 < 7 < 72, где величина 7 = д,(аг + 0) = д,(аг — 0).
Так как функция /,(а) удовлетворяет условиям свойства 1, функция 4„(а) не убывает и 72 < 7 < 72. Подставив равенства (6.17) в выражения (6.1), (6,2), (6.5) для констант Ко, Кг и функционала Л[/), выведем, что соотношение (6,8) эквивалентно неравенству 1(7)(18[7/2 — "(7)) — 18[7/2 а(7))) 67 > О, (6.18) В силу (6.17) подынтегральное выражение в (6.18) неотрицательно при 71 < 7 < 7,о и нрположительно при 7 < 7 < 72. Функция Ц7) монотонно убывает при 0 < 7 < я.
Отсюда можно оценить левую часть (6.18) снизу: 71 Ь(7)(28 [7/2 — а,(7)) — 18[7/2 — а(7))) 67 > 71 71 > Ц7 ) ( 18 [7/2 — а (7)1 — 18 [7/2 — а(7))) 67. 71 (6.19 Вспомним теперь, что функции /[а(7)] и /,[а,(7)) можно выразить через а(7), а,(7) по формуле (5.41). Приняв во внимание, что /[а(7)) = /,[а,('7)) при 0 < 7 < 7ы 7г < 7 < л, заключим из (5.41), что 71 [18[7/2 — а,(7)) — 28[7/2 — а(7))) 67 = О. (6.20) 71 Из соотношений (6.19), (6,20) следует неравенство (6.18) теоремы.
Равенство в (6.18) возможно, только если а,(7) = а(7), то есть когда У,(а) = /(а). Теорема 2.4 доказана. 83 16. Теоремы сравнения и точные оценки 6.3. Точные нижние оценки огибающих скоростей. Доказанные выше теоремы сравнения позволяют оценить снизу все огибающие давлений для симметричных профилей, Точные нижние оценки даются следующей теоремой.
Теорема 2.5. Пусть /о > 1 — фиксированное число. Для каждого профиля, симметричного относительно хорды, с огиБающей скоростей такой, что /(0) = /с, выполняются при всех 0 < а < п/2 следующие неравенство: Х а > Т а — Г /в сов а 0<а < '"+ 13Ь" /2) в1па] (6.
21) Здесь кисла а* Е [О, к/2] и т' Е [О, л] являются корнями уравнений А(0,а') = 2к!и/о и А(Т', а) = 2к!и/о соответственно, где А(т,а) = (л — 1+ тп1)[$8(1/2) — 18(1/2 — а)]Й. 7 Огибающая всех функз1ий Т(а) по параметру /о б [1,со] дает ое1енку, не зависящую от Ха: А(0, а) /(а) > Т'(а) = соваехр 2к при 0 < а < —.
(6.22) 2 д(а) = 2 а+ агсщб ~ > 0 при а б [О,к/2], / (а)) Отсюда следует, что /'(а)//(а) > — ьб а. Проинтегрировав обе части этого неравенства в пределах от 0 до а, получим, что /(а) > /о сова, при 0 < а < л/2. Следовательно, справедливо первое неравенство (6.21). Предположим теперь, что для некоторого профиля с замкнутым контуром огибающая скоростей /(а) пересекает Т(а) при а > а', то есть существует число а такое, что а" < ат < к/2, /(а ) = Т(ат) (см. рис.
21Б). Введем функцию /,(а) =/всова+У,'(0)в1па при О < а < а„„(6.23) /,(а) = [/вседа,„+/,'(0)]сйпа при ат < а < л, (6.24) Доказательство. В симметричном случае в силу свойства 1 функция Ч(а) удовлетворяет неравенству 84 Глава 2. Теория кавятацконнык диаграмм где У*(0) = [У(аль) Уо сока„]/з!пот. Формула (6.23) определяет тригонометрическую хорду, соединяющую точки (0,/о) и (а,/(а )). Функция (6.24) удовлетворяет условиям теоремы 2.3. Так как /(а) — огибающая скоростей для реального профиля с замкнутым контуром, из свойства 3 и теорем 2.3 и 2.4, имеем Л[/„! > Л[/) > О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
