Д.В. Маклаков - Нелинейные задачи гидродинамики потенциальных течений с неизвестными границами (1163230), страница 19
Текст из файла (страница 19)
А(р, у) = А,(р, у) — ТЛР— ТУо, (Р 7) ехР[ЗМ(ЛР+ Уо)] в(п [Т(Л + гг )] ггг(6 7) Из неравенств (7.21) следует, что о г ) '2 и при а = 2 имеем а < ггг. В силу леммы 3.1 и неравенств (7.29), (7.30) операторы А(р, у) и Аг(р, у) переводят пространство Е в себя. Дифференциал Фреше оператора Аг имеет вид 116 Глава 3. Нелииейиая теория докритических течении С помощью формул (7.63) и (7.38) найдем, что (Т7о)* = (Тоуо)' = 2яРг(сЬыог — сЬыа) созыв.
Отсюда и из интегрального свойства (7.31) для оператора Ь выведем, что [Я [г(б)][= [1оТУо[= РгяЦсЬыаг — сЬыа[> ЛЦ при достаточно малых [7], так как аг — а при 7 — О. Кроме того, [[Хо[[и < ~г[7[ и, в силу леммы 3.1, имеем [[ТЯк < СгугЦ. Таким образом, неравенства (7.46) для системы (7.61), (7.62) выполняются. Выберем величину е так, чтобы (7.64) 0<в< [[1,ТЛ[[' Проверка условий (7.48) леммы З.З для операторов Рг и Рг не вызывает затруднений и проводится с помощью леммы 3.1 и неравенств (7.29), (7.30). При этом необходимо учитывать, что при достаточно малых [7[ имеет место неравенство [Щ) — Ц[и < Яу[.
Таким образом, согласно лемме З.З, при достаточно малых [7[ существуют единственные число Рг и функция р(б) с нормой [[р(б)[[и < е]7[, удовлетворяющие системе (7,61), (7.62). В силу неравенства (7.52) число Ут удовлетворяет соотношению (7.59). Для доказательства теоремы осталось показать, что для найденного решении Лр = р.
Введем банахово пространство С 1-периодических и непрерывных функций )7(4) с нормой [[Р(че)[[с = гпах Р(че)[. Введем в простраастве С оператор 3)У =,6(в) — — 1,0(()[2 совы(г — 4) + 1] д4 2ту о и функционалы Хоб = 11(с) совыс 6с, 1г)7 = р(с) в1пы4 о4, 1г(8) = Ф®6~. о о о 117 37. Теорема существования С помощью равенств (7.38) из леммы 3.2 и соотношений (Лй)' = ЛЛ*, 10 1 = 13 Л",,У' = О, Й осуществим предельный переход (7.24) в системе (7.61), (7.62). В результате получим, что функция р" (С) и параметр Гг являются решением следующей системы уравнений: )3(4) = — иА(К 7) + — ( —, — им [А(73, у) + ТЛф+ Ь(б)], (7.66) 10)3 = 6, (7.66) где А(ф, у) = ехр[ЗМЛ33+ ЗЬ1(б)] 81п [ТЛ~З+ Ь(Ь)] — ТЛ~З вЂ” ЬЯ), ЬИ) =ТоЛр+ ТоУо, ЬЯ) = МоЛр+ МоУо.
Оператор А(~3, у) зависит от 7, поскольку функции Ь(с) и Ь1(б) выражаются через функции р(б) и Д(с, 7), которые однозначным образом зависят от 7. Отметим, что к настоящему моменту в наших обозначениях наблюдается следующая закономерность. Все операторы, действующие нз Е в Е, и функционалы, определенные в Е, обозначены большими прямыми буквами; все операторы, действующие из С в С, и функционалы, определенные в С, — тильдой сверху; все операторы, действующие из Е в С, — чертой сверху.
В силу неравенства (7.27) для функции р', являющейся решением системы (7.66), (7.66), выполняется неравенство ]]р*[[с < 8( ссЫ,) [7[ = 81 [7]. Пусть ф(б) б С. Рассмотрим величину 10Т)3 = со8юя по 35(8 — б)ф(6) 66 = ~3(() Й4 35(8 — 6) совщ868. о о Осуществив в последнем интеграле замену переменной 8 = 81+ б, с учетом равенства (7.43) и периодичности функции 45(8) найдем 10Т33 = (10ф)(1035) + (11ф)(11Д5).
глава 3. Нелинейная теория догрятяческих течений 118 Отсюда следует, что ЛотЛВ = О, так как 1 ЛВ = О. С помошью Равенств (7.38) леммы 3.2,и интегрального свойства (7 31) дл~ ~пера тора Д найдем 1оТЛр+ 1оТ7о = 1оТоЛр+1оТЛР' +1оТо~о 1оЬ' (7 67) Из (7.67), (7.64) вытекает, что !1оЬ! > ~Л вЂ” с!!1оТЛ!!~ !7! = А!7!. (7.68) Применим в системе (7.65), (7.66) лемму 3.3, спитак при этом, что ,.
Ь, в=вы — о В=С, 6=7, Ь(() = — — 'в1пыв (ДЛ,(цсовы864+ Ь + — созыв ~ДАг(~)в1пы~(М' 0т 7 П Г Ь~Ы) = — — / (ДА~И)бае†7. / - — совке (ДЛ,(~) совы(6( — — в1пыв (Д1г(4) в1~~46~ П, 7 0~ 7 Е Поскольку 1оТЛВ ги О, то второе из неравенств (7 47) выполнитсЯ автоматически. В результате получим, что при достаточно малых (7! пара р",г'г является единственным решенйем системы (7.65), (7.66), удовлетворяюшим условию !!р'!!с < с~ !7!, Пз1ст 8а- щомъщшчное йействнтекьное число. Введем подпро- странства пространства С: С~ = (,0 Е С ', В((о — с) = — Ща — с), !!р!!с = !!р!!о) Ст — — ()У Е С: В((о+4) = В((о — (), !!В)!с* = !!р!!с) Легко видеть, что оператор ЛВ переводит Ср в С1 Функпии йч(в) дв(в), через которые выражены операторы М и Т Явлиютси с'ответ'- ственно нечетной и четной.
Поэтому оператор М переводит Скв Ст, а оператор Т вЂ” С~ в Сь Функции Ь® и Ь|(~) имеют внд: 119 18. Численно-аналитический метод где Лт(б) = Лр+ Д. Поэтому, если в качестве бэ взять число ) 4ЬА~Я)а1пыбйб 1 Се — — — агстй Ы со Ф У бЬА~(Цсозыб(К то Ь(4) Е Сы Ь~(4) б Ст и оператор А(17, 7) переводит С~ в С~. Снова применим лемму 3.3 к системе (7.65), (7.66), считая, что В = Сь В результате найдем, что р" е Сь Отсюда следует, что р" (6) совы(б — (о) 66 = О, р'(6) 66 = О. (7.69) 1 Заметим, что бэ-,Ь О, поскольку Ь(6) Е Сн и если бэ —— О, то 1аЬ = О, что противоречит (7.68). Из (7.66), (7,69) установим, что 11р" =1эр=О, ) = 0,2.
Отсюда следует, что Лр = р, и теорема доказана. Поскольку и > 1, то из неравенства (7.59) вытекает, что при достаточно малых Ц выполняется неравенство Рг ( 1, то есть режим обтекания докритический, 38. Численно-аналитический метод 8.1. Новая система интегральных уравнений. В данном параграфе на примере задачи об обтекании вихря изложен численно- аналитический метод расчета докритических течений.
Проведенное в 17 доказательство теоремы существования задачи о вихре основано на принципе сжимающих отображений и поэтому является конструктивным. В принципе, для решения системы уравнений (7.61), (7.62) можно использовать метод последовательных приближений, сведя эту систему к уравнению вида (7.57). При достаточно малых Ц процесс последовательных приближений будет сходиться, и, более того, найденное таким способом решение будет удовлетворять трем условиям разрешимости (7.32) вспомогательной линейной задачи. Реализовать 120 Глава 3.
Нелииейяья теория докритических течеиий этот итерационный процесс численно не трудно, однако он будет сходиться во вполне определенном диапазоне безразмерных циркуляций 7 (возможнодаже, не "малом"), причем границы диапазона сходимости будут зависеть от выбранного способа решения, а не от физических особенностей задачи. Очень маловероятно, что таким способом удастся получить предельные конфигурации свободной поверхности. Универсальным методом решении систем нелинейных уравнений является метод Ньютона, который мы и будем применять в этом и последующих параграфах настоящей главы. Для построения эффективной итерационной процедуры будут существенно использованы свойства решения, установленные при доказательстве теоремы существования в предыдущем параграфе.
Сформулируем эту теорему в терминах функции Х(1). Напомним, что функция Х(1) связана формулой (7.2) с конформным отображением «(1) полосы г«г на область течения С,. Теорема 3.2. Для каждого набора .парамегпров 0<а<к/2, Ь>0 и достаточно малых Ц найдугпся число г г < 1 и непрерьгвная вплоть до гРаницы области Ог аналитическаЯ фУнкциЯ Х(1), Удовлетворлгощие условиям ~'7.8) — (7.б), при этом для Х(1) существует предел Нт Х(1+ Ы) = Х*(1), (8.1) где Х*(1) — й-периодическая и непрерывная вплоть до границы аналитическая функция.
Характер поведения г" (1) при больших ~(~ (5 = Ке 1) определяется неравенствами )Х(1)/ < сопвг ет1 при с < О, (8.2) !Х(1) — Х'(М)! < сопвФ е гг при С > О. :го гг Величину А назовем длиной волны в параметрической плоскости. Отметим, что параметр Ь явно не входит в условия (7.3) — (7.5), и наличие иля отсутствие волн справа на бесконечности является внутренним свойством нелинейной краевой задачи (7.3) — (7.5). Нетрудно вццеть, что параметр Л связан с длиной волны Л; в физической плоскости соотношением 2 Ь 5г = — 1'"оН вЂ”, к )г, 121 18. Численно-аналитический метод где е', — средняя скорость частиц жидкости на одном периоде волн справа на бесконечности, Следуя условиям сформулированной теоремы, мы будем а рг1огг предполагать наличие справа на бесконечности цуга нелинейных волн, считая величину Ь заданной, а число г'т определять в ходе решения задачи.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
