Д.В. Маклаков - Нелинейные задачи гидродинамики потенциальных течений с неизвестными границами (1163230), страница 23
Текст из файла (страница 23)
9.3. Область значений Ет, с(/Н, при которых возможно стапионарное волновое обтекание ступени. Для построения этой области были проведены систематические числовые расчеты. Фиксировалнсь значения Р' = сопЫ и строились кривые с(/Н от Нт для различных Е, Параметр Е изменялся в пределах 0.25 < Г < 0.98 при с(/Н < 0 и О.З < Г < 0.95 при с1/Н > О. Результаты расчета показаны на рис. 47, При с(/Н = 0 имеем Г = Р'т.
И/Н 0.5 0.4 О.З Г =0.98 0.2 Водослив 0.1 В 0 — 0.1 С Разрушаюшнйся цуг -О.З вЂ” 0.4 — 0,5 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0,8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 гт Рпс. 47. Область значений Ы/Н, Гт, прв которых возыожво стацповаряое волновое обтекание ступени Как видно из рис. 47, отличия величины Г от Ет, связанные с не- линейностью постановки задачи, здесь весьма значительны (сравните с рис. 32).
При с(/Н > 0 кривая с(/Н(Гт) при Г = 0.98 определяет предельный режим обтекания, близкий к водосливному (линия АВ на рис. 47). При с)/Н < 0 концы кривых с(/Н(Гт) соединены штриховой линией СР, которая определяет режим обтекания, близкий к режиму разрушающеюся цуга волн, Вдоль линии СР максимальная высота свободной поверхности достигается на гребне волны на бесконечности справа и составляет от невозмущенного уровня жидкости не менее 85% величины, заданной формулой (8.24). 144 Глава 3. Нелинейная теория докритических течений 9 4. Предельный режим типа водослива для ступени. Этот режим реализуется при и/Н > О.
В рассчитанном диапазоне чисел ръ 0.2 < г ~ < 1 вдоль кривой АВ параметр амплитуды А =!и — до- 1'р стигает минимального значения при ге = 0.2 и равен А = — 0.4636. Числовые расчеты показали, что прогрессивные волны близки к предельным при А > 1.2. Таким образом, "цуг уединенных волн", присоединяемый к основному течению, в рассчитанном диапазоне чисел Гг имеет высоту гребней значительно ниже предельной и вдоль АВ не происходит перехода предельного водосливного режима в предельный режим разрушающегося цуга волн, что имеет место на рис.
32 для задачи о вихре при у < О. На рис. 48 показаны зависимости й;/Н от Н/Н при различных числах г'г. Как видно из этих графиков, зависимости Ь;/Н от и/Н имеют вертикальные асимптоты 1сравиите с рис. 33) и так же, как в задаче о вихре, прн определенных значениях И/Н > 0 волновой цуг вырождается в цуг "уединенных волн". Ь;/Н 16 14 12 10 8 6 4 2 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 Рис. 4а.
зависимости йл/и от ы/и при различных Рщ иллюстрирующие переход течения и водосливный режим (маркеры — расчетные точки) В работе [158] были выполнены числовые расчеты для различных й/Н > 0 при единственном докритическом значении числа Фруда: Р'г = 0.5. На рис. 49 показаны формы свободных поверхностей, полученные настоящим методом при Ег = 0.5. Максимальное значение Н/Н, при котором сходится метод работы 1158), равно 0.156, при этом Ь;/Н 3.5.
Для режима, близкого к водосливному, при г' = 0.98 имеем И/Н = 0.1697 и Ь,/Н = 10.81. Как видно из рис. 48 и рис. 49, $9. Волновое обтекание ступени 145 у/Н 1. 00 .90 .85 .80 .75 .70 х(Н вЂ” 2 -1 0 1 2 3 4 5 6 Рвс. 49. Формы свободвмх поверхвостей длх реелвчвьсх ог'Н > О. Ливии 4 — прелельвый режим типа водослвва при значениях и/Н, близких к предельному, малым изменениям фН соответствуют большие изменения длины волны и глобальная перестройка потока вниз по течению (сравните кривые 3 и 4 на рис. 49). Для любых течений над ступенью, у которых свободная поверхность имеет горизонтальные асимптоты слева и справа на бесконечности, аналогично формулам (8.23) можно вывести [158): х'гг (,3,1УН)г (9.12) г'г "(оо) ( т ,)~Н ъ|2 (9.13) С, = — 1 — )7~+2 — (ф — 1) +2 1— Здесь )7 = у(оо)7'Н, у(оо) — ордината свободной поверхности справа на бесконечности, Гг(оо) — число Фруда в сечении на бесконечности справа.
Кривая АВ рис. 47 определяет максимально возможное для данного г1)Н число Фруда, при котором реализуется стационарное докритическое течение. При атом значении Гг режим обтекания является водосливным и не имеет волн ни вверх, ни вниз по потоку. Для расчета водосливов с широким порогом в гидравлике применяется 146 Глава 3. Нелинейная теория дохрихических хечеиий так называемый принцип максимума расхода (ПМР), согласно которому на пороге водослива с течением времени сам собой устанавливается безволповой режим обтекания с максимально возможным расходом [122].
Так как Рг = Ц/1/рйв, где Я вЂ” расход жидкости, то при фиксированных д и Н число Фруда с точностью до множителя совпадает с Я. Если предположить, что иа пороге водослива сам собой устанавливается безволновой режим обтекания, то ПМР согласно рис. 47 является строго вериым. Однако следует учесть, что кривая АВ реализует максимальный расход (Рг) среди течений, которые при Рг < Егма„будут иметь бесконечный цуг волн вниз по потоку.
А согласно гидравлической трактовке ПМР, максимальный расход реализуется среди фиктивных безволяовых течений, удовлетворяюших уравнению (9.12). Рассмотрев уравиеиие (9.12) как зависимость Рг()3) при фиксированных с(/Н, получим, что максимальная величина числа Рг определяется из соотиошеиия 2+ Гг~ — 3Рге = 2с(/Н при этом из (9.12), (9.13) следует, что Рг(„) 1 д 5/Н+ Ргх)з (9,14) (9.15) Таблица 6 Связь мевхпу высотами схупеви и числами Фруда для режима хипа водослива Ы/Н 0.500 0.364 0.256 0.170 0.103 О.
055 О. 023 0.005 гх д Г'х(оо) Рх (ПМР) 5 (ПМР) 0.2 0.805 1. 188 0.205 0.847 0.3 0.4 0.765 0.743 1. 182 1. 175 0.307 0.410 0.820 0.808 0.5 О. 738 1.166 0.514 0.811 0.6 0.751 1.151 0.617 0.828 0.7 0.8 0.787 0.838 1.117 1.088 0.719 0.817 0.857 0.897 0.9 0.915 1.038 0.911 0.945 9.5. Предельный режим разрушающегося цуга волн для ступени. Согласно рис.
47 этот режим реализуется при с(/Н < О, то есть когда уровень диа понижается вниз по потоку. Расчет был произ- В табл. 6 приведены значения Н/Н, Рг, 13, Рг(ао) для кривой АВ и значения Рг, В, полученные из (9.14), (9.15). Из таблицы видно, что максимальный расход (Гг) может быть приближенно определен с помошью ПМР, ошибка составляет ие более 5%. Ошибка в определении )х' может достихать при этом 10%. 147 $9. Волновое обтекание ступени веден в диапазоне чисел 0.6218 < Гг < 1.283.
Можно предположить, судя по поведению кривой С11 рис. 47, что выход на режим будет иметь место для всех Гг < Гг" в 1.2909, где Гг' — значение числа Гг для предельной уединенной волны. На рис. 50 показаны зависимости А;/Н от Ы/Н при различных Гг. В отличие от кривых рис. 48 длины волн здесь уменьшаются с увеличением Ы/Н. Максимальная высота гребней при этом растет, стремясь достичь предельного значения Н(Гг "/2+ 1) (см. рис. 51). 12 7л/Н 10 -И/Н 0.4 0.5 0 0 0.2 0.3 0.1 Рис. эе.
Зааисимосхи го/Н ое о/Н при е/Н ( О и раеличиых Ге (маркеры — расчеекме кочки) р(а, А) = г(е, А) = Г„(э, А) = О. Одно из таких безволповых решений при фН = — 0.0б89 приве- Самое интересное на рис. 47 это то, что при И/Н < 0 волновые течения существуют и при Гг > 1. Кривые А/Н(Гг) при Г = сопа1 уходят в область сверхкритических значений числа Фруда. На рис. 52 показаны зависимости максимальной высоты свободной поверхности у,„от ~ ЦН при Гг = 0.9, 1 и 1.1.
Из графиков видно, что при Гг < 1 у,е — ~ 0 при 4/Н вЂ” О, а при Гг > 1 и й/Н -е 0 величина у,„/Н стремится к некоторому положительному значению, при этом й,/Н вЂ” + оо (см. рис. 50). Отсюда следует, что полученные при Гг > 1 волновые решения ответвляются не от равномерного потока, а от уединенной волны. Однако при Гт > 1 у данной задачи должны существовать безволновые решения. Для их отыскания можно воспользоваться уравнением (9.7), если положить, что 148 У,х/Н = 1+ Егт/2 1.2 1.О 0.0 о.в Рис. 51. Формм свободных поверхностей при Ес = 1.1 и раэлнчвмх Ы/Н < О: кривая 4 — разрупыювшйся пут; кривая 5 — второе неволновое решение 1.4 1.2 1.0 — И/Н .00 .02 .04 .06 .08 .10 .12,14 Рве. 55.
Зааисвмоств максвмальной высоты свободной поверхности от ЦН < О ври Рт > 1 и Рт < 1 (маркеры — расчетнме точки) у/Н 1.6 У /Н 1.6 Глава 3. Нелинейная теория докритических течений к/Н вЂ” 2 0 2 4 6 8 10 12 ~9. Волновое обтекание ступени Ин и/Н 2 Рис. 53. Формы свободиых гравии дли иеволловых региеивй 150 Глава 3. Нелинейная теория докритических течеиий дено на рис. 51 (кривая 5). Отметим, что волновое решение при указанном значении И/Н близко к предельному режиму обтекания типа разрушающегося цуга волн.
Наличие при Рг > 1 двух решений, одно из которых ответвляется от равномерного потока, а другое — от уединенной волны, было обнаружено ранее численно в статьях [133], [30) для задачи об обтекании кругового выступа над неровным дном и строго доказано для задачи об обтекании вихря [119]. Для этих задач оба решения обладают симметрией и не имеют воли ни вверх, ни вниз по потоку.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
