Д.В. Маклаков - Нелинейные задачи гидродинамики потенциальных течений с неизвестными границами (1163230), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Числовые расчеты показали, что если профиль движется в более плотной среде (случай подводного крыла), то линия раздела "отталкивает" его от себя. Поэтому при приближении подводного крыла к свободной поверхности подъемная сила падает. При движении профиля в менее плотной среде (крыло экраноплана) приближение его к линии раздела может вызвать как увеличение, так и уменьшение подъемной силы в зависимости от угла атаки. 162 Глава 4.
Препятствия вблизи гуавипы Раздела сред В 113 метод обобщен на случай кавитационнрго обтекании пластины по схеме Тулина-Терентьева (см. [19Ц, [122), [112]) вблизи поверхности раздела. Проведенные числовые расчеты выявили некоторые качественные закономерности. В частности, установлено, что при приближении пластины к свободной поверхности длина каверны существенно уменьшается, а формы каверны и участка свободной поверхности, расположенного непосредственно нвд каверной, становятся похожими на две концентрические окружности. Дано асимптотическое объяснение этому факту. Отметим, что задача о движении тела вблизи повеРхности Раздела сред как частный случай содержит в себе задачи о движении тела вблизи прямолинейного экрана и свободной поверхности.
Пре~~- лагаемый метод позволяет, таким образом, производить расчет этих важных частных случаев по единому алгоритму. 3ЪЪ. '7еореъьа т.-чът~ет:тъоъаъъь 11.1. Постановка звддчи и сведение ее к системе нелинейных интегральных уравнений. Профиль Аа обтекается безотрывно вблизи границы Ь раздела двух идеальных несжимаемых невесомых жидкостей с плотностями р+ и р и скоростяни на бесконечности Ъ+ и 1' . Течение считается установившимся. Точка схода потока фиксирована и согласно гипотезе Жуковскогс г1аплыгина совпадает с острой кромкой гп профиля.
Линия раздела Ь делит область течения на две части С+ и С, в каждой из которых поток является потенциальным. Направление натекания жидкостей на профиль совпадает с направлением оси я (рис. 58). Линия Ь является линией тангенциального разрыва вектора скорости, заранее не известна и определяется из успений: 1) А †лин тока; 2) при переходе через Ь давление р не терпит скачка; (11.1) Р— Р 3) линия Ь проходит через фиксированную точку ао: 163 111. Теорема существоваыия Рис.
58. Физическая область течеиия Из соотношения (11.1) и интеграла Бернулли найдем, что где 1'+, К вЂ” граничные значения скорости при подходе к Ь сверху и снизу соответственно, т — отношение скоростных напоров в потоках на бесконечности. Рыс. 59. Параметричесиая плоскость | Сделанные выше предположения позволяют ввести комплексный потенциал ИГ(т) и комплексно-сонряженную скорость отт'/ с1т, которые, в отличие от случая обтекания профиля однородной жидкостью, Глава 4. Препятствия яблнзн границы раздела сред 164 будут не аналитическими, акусочно-аналитическими функциями во внешности профиля Ье, терпящими разрыв при переходе через Ь. Для математической постановки задачи необходимо сформулировать краевые условия на границе Ье профиля Ье, условия сопряжения на линии раздела Г, и условия на бесконечности.
Граница Щ профиля является линией тока. Позтому (11.4) 1щ И'(г) = О, г Е Гт. Согласно гипотезе Жуковского-Чаплыгина, скорость в острой кром- ке гн профиля ограничена: — (гн) < оо. (11.5) Линия раздела является линией тока. Следовательно, 1щИг+(г) = 1тИг (г) = сопе1, г Е Ь. (11.6) Из условия (11.3) непрерывности давления при переходе через В выведем еще одно условие сопряжения (И.7) На бесконечности в потоке должно быть р'+ 6Иг бг 6И , 1г ог г- оо, губ+, (11.8) г -~ оо, г е б Соотношения (11.2), (11.4) — (11.8) определяют краевую задачу нахождения линии раздела Ь и функций И~(г), 6И'/6г. Главной особенностью и отличием атой задачи от обычных задач со свободной границей является то обстоятельство, что функции И'(г), 6И/6г отыскиваются в известной области — во внешности профиля Ге, однако являются не аналитическими, а кусочно-аналитическими функциями с заранее неизвестной линией скачка Ь.
Эта линия должна быть определена в ходе решения по условиям сопряжения (11.6), (11.7). Положим для определенности, что профиль Ее лежит в области б . Тогда нетрудно видеть, что случай 7 = О соответствует обтеканию профиля вблизи свободной поверхности, случай 7 = оо — обтеканию вблизи твердой стенки. В самом деле, из условия сопряжения 165 111. Теорема существования = У(1) (11.9) является конформным отображением внешности сч единичного круга в параметрической области 1 = б+ 1п на внешность профиля, причем 1(со) = оо, г'(со) = К > 0 (рис. 59).
Линии Ь в плоскости 1 будет соответствовать линия 1т, проходящая через точку 1о = ба+ (Оо = 1 '(гв), а областям С+ и С вЂ” области С~+ и С, соответственно. Введем функцию Х(1), связанную с комплексным потенциалом И'(1) соотношениями КИ+е 'аоув(1)е х01 1 б с ~+ 81 КЪ' е 'оо~оЯе хЯ (11.10) где (1 — Емк)(1 — ЕОП ) Д + Д т Уа(г) = т, ао = — — —, Р ' 2 2' (11. 11) е'и, е'и' — образы критических точек течения вя, гв соответственно.
Согласно гипотезе Жуковского-Чаплыгина, е'д' = у ~(вв). Значение В должно определиться в ходе решения задачи. Функция е' '~в(1) является, как нетрудно заметить, комплексно- сопряженной скоростью для задачи обтекания круга единичного радиуса безграничным потоком с вектором скорости на бесконечности е' ', причем критические точки такого течения совпадают с точками е'~, е'В', Функция К(1) — кусочно — аналитическая во внешности единичного круга с разрывом по линии А~. Если функция т(1), а следовательно, и линия Ь1 известны, то фор- мула 6И 1 аи — (1) = —— бг ~'(1) й1 (11.12) вместе с соотношением (11.9) определит в параметрическом виде поле комплексно-сопряженных скоростей оИг/ йг. С помощью формул (11.9), (11.10), (11.12) краевую задачу (11.2), (11.4) — (11.8), поставленную для функций И'(в), ЙИ'~от, можно сформулировать для функции Х(1).
(11.3) при т = 0 имеем И = 1Г = сопвг и, следовательно, 1 — свободная поверхность. При у = оо из (11.3) выведем, что и'+ = И+. Значит, течение в области С+ представляет собой равномерный поток, движущийся со скоростью И+. Поэтому 1 — горизонтальная прямолинейная линия тока. Пусть функция Глава 4. Преиятствия вблизи границы раздела сред Условия непротекания (11.4), (11.6) для профиля и линии раздела приобретают следующий вид: 1»пХ(1) = О, 4 = е", (11.13) 1гп Х+ (») = 1п» Х (4), 1 Е » » (11.14) ао+ 1тХ+(4) = И, (11.16) где д — угол наклона касательной к Ь» к оси 4'. Условие (11.7) — условие непрерывности давления при переходе через Ь вЂ” можно представить так: р(Х+(Й) — Х (~)1 — ехр[Х (1) — Х+(1)) = (11.16) = (7 — 1) 1 ехр [Х+(С)+Х (М)], С Е Й.
— ~КД(1)1 Условия на бесконечности (11.8) эквивалентны соотношениям (11.17) гсеХ(оо) = О, 1п» Х(»:о) = — — —. я р — »3» 2 2 (11.18) Гипотеза Жуковского-Чаплыгина приводит к требованию ограниченности функции Х(4) всюду во внешности единичного круга. Кроме того, из (11.2) имеем равенство 4о=У (во)бйь (11.19) и(в) = 4о+ е» ~'1фк о (11.20) Введем функцию Х(в) = Х (в) Х (в).
(11.Щ Таким образом, мы пришли к краевой задаче (11 13) — (11.19) для отыскания кусочно-аналитической функции Х(»), контура Е» и параметра »7. Пусть и — дуговая абсцисса контура Ь„ отсчитываемая от точки го, 0(в) — функция угла наклона касательной к Ь» в зависимости от в. Тогда контур Ь» определится параметрическим уравнением 167 1ы.
Теорема существования В силу условия сопряжения (11.14) и условия на бесконечности (11,17) функция Л(в) действительна и Л(жоо) = О. Если предположить, что Л(в), )1(в) — известны, то функцию Л(1) можно восстановить по условиям (11.13), (11.17), (11.21) (см., например, [97]): х(1) = Ф(1) + Ф(1/1) — Пе Ф(О), (11.22) где Ф(1) — интеграл типа Коши по контуру й, с плотностью Л: 1 7 Л(и) йи Ф(г) = —, у 2я1/ и — 1 (11.23) а черта означает комплексное сопряжение. После несложных преобразований функцию к(1) можно представить следующим образом Х(1) = Ф(1) + —, 1 — 11тФ(О). (11.24) 1 7 Л(и) йй 2я1.! й(1 — 1й) Х~(в)) = ж-Л(в))+8[Л,д]+ 8)[Л,О] — -Б*[Л,0].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
