Д.В. Маклаков - Нелинейные задачи гидродинамики потенциальных течений с неизвестными границами (1163230), страница 25
Текст из файла (страница 25)
2 ~', 7(~') ' к о Рг ЬН Е .2808 .5 1 0.30 .3201 .725 0.35 ,3564 .931 0.40 .3895 1,155 0,45 .4192 1.396 0.50 .4456 1.652 0.55 .4684 1.924 0.60 .4874 2.217 0.65 .5027 2.542 0.70 .5143 2.916 0.75 .5221 3.377 0.80 .5267 3.996 0.85 .5291 4.968 0.90 .5295 7.035 0.95 .5296 10.980 0.98 10 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 0.55 Рис. 56. Плоский фоихаи: зависимость Ь,7Н ое Рг (маркеры— расчетные точки) На рис. 57 изображены формы свободных границ при различных числах Рг.
Кривая 5 на рис. 57 соответствует случаю Рг = 0.5296. Отметим, что эта кривая построена при Г = 0.98, при этом й;7' Н = 10.98. Таким образом, полученное решение близко к предельному случаю Р = 1 (Л = оо), а полученное значение Ег = 0.5296 Расчет был произведен в диапазоне 0.3 < Р < 0.98. При этом число Фруда изменялось в пределах 0.2808 < Рг < 0.5296.
На рис. 56 показана зависимость Л;/Н от Рг. Как вядно из графика, эта кривая при Ег = 0.5296 имеет вертикальную асимптоту. По классификации предельных режимов из 38, при Рг = 0.5296 мы имеем здесь режим обтекания, близкий к водосливному, с вырожденным цугом очень длинных волн вниз по потоку. 110. Задача о плоском фоитаие У 0 — 0.05 — 0.10 — 0.15 — О.
20 — 0.25 -0.30 -0.35 à — 0.40 — 0.45 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Рис. 57. Формы свободных гранил при различных числах Р» для плоского фонтана: 1 — Рт и 0,3201; 2 — Рт = 0.4192; 3 — Рт = 0 5027; 4— Р» и 0.5267; 5 — Р» = 0.5296; 5' — Р» = 0.5262. Сплошные линни — расчет по настоящему методу; штриховые линии — расчет М.А. Гольдтптика и Г.Ю.
Степанова (24] по методу узких полос должно быть несколько меньше истинного предельного значения г'г, при котором Ь;/Н = оо. В предельном случае 51/Н = сю волны на свободной поверхности вниз по потоку отсутствуют, и именно такое течение изучалось в работах [29] и [173]. В зтнх статьях установлено, что безволновой режим течения может иметь место только при вполне определенном числе Фруда. В статье [29] получено, что Р'г = 0.5317, а в статье [173]— г"т = 0.5296. Таким образом, наше предельное значение полностью совпадает с вычисленным в статье [173] и незначительно отличается от результата работы [29] (разница между истинным предельным значением и значеннем г т = 0.5296 будет, видимо, в пятом десятичном знаке).
Недавно А.М. Гольдштиком и Г.Ю. Степановым [24] был предложен приближенный метод решения задачи о фонтане, основанный на асимптотнческих формулах метода узких полос [66]. Задача сведена к обыкновенному дифференциальному уравнению второго порядка относительно функции у(я), описывающей форму свободной поверх- 158 Глава 3. Нелннейная теория докрнтнческнх течений ности: ул = — р(1 — у)с181 у(0) 1 у О (10 15) ргт 2 2р' На рис. 57 штриховыми линиями показаны формы свободной поверхности, найденные этим методом.
Табличные числовые данные были любезно предоставлены нам Г.Ю. Степановым. Максимальное значение числа Фруда, при котором уравнение (10.15) дает физически реальную форму свободной поверхности, равно О 5282, что очень хорошо согласуется с результатом данного параграфа и результатом раб ты (173). В статье (174)4 волновые режимы в задаче о фонтане исследованы в точной постановке. Однако ее авторам не удалось получить переход волнового режима течения в водосливный, и задача, таким образом, осталась е недорешеннойе .
Отметим, что при малых числах Гг (Гг < 0.35) волны на свободной поверхности имеют очень малую амплитуду. Например, для случая г'г = 0.2808 крутизна волн (отношение удвоенной амплитуды к длине) к = 0.00018. Этот результат хорошо согласуется с данными работы (174), где на основе анализа числовых расчетов показано, что амплитуда волн на свободной поверхности при малых г'г удовлетворяет уравнению А = сопн1 ехр ( — 1/Ргт).
Для малых значений г'г длина волны пропорциональна квадрату числа Фруда (см, формулу (8.22)), что н приводит к столь незначительной крутизне волн уже при г"г < 0.3. В статьях [1 та] н [1 74] нсследована несколько более оонтая задача о фонтане, котла нсточнюс расположен на некоторой вмсоте нан Лнокс Глава 4 Препятствия вблизи границы раздела сред Данная глава посвящена исследованию нелинейных задач обтекания крыловых профилей вблизи поверхности раздела двух невесомых идеальных жидкостей. Основная трудность при решении подобных задач состоит в том, что поток здесь является двухслойным и константы Бернулли в каждом из слоев отличаются друг от друга.
Взаимодействие потоков происходит вдоль некоторой заранее неизвестной линии раздела, которая является линией тангенциального разрыва скорости и определяется из условий непротекания и непрерывности давления. При исследовании подобных задач в точной постановке традиционный путь состоит во введении для каждого слоя жидкости своей области параметрического переменного с последующим выводом уравнений связи между граничными точками зтих областей. При исследовании задач взаимодействия струй такой способ использовался П.М. Белоцерковским [10); [15), З.Н, Валидовой и О.М.
Киселевым [17], [18], С,В. Кузьминым [59], [60], [62], Н.Н. Лукерченко [77), Л.И. Мальцевым [90), В.М. Шурыгиным [123]. Этот же способ применен О.М. Киселевым [48] при решении задачи об обтекании ямы, содержащей точечный вихрь, и С.В. Кузьминым [6Ц в задаче об обтекании точечного источника'двухслойным потоком. Б.Д. Моисеенко и Б.Л. Рождественский [94] использовали метод конечных разностей для расчета стационарных течений несжимаемой жидкости в канале при наличии линий тангенциального разрыва скорости. Этот же метод применялся Н.Н. Лукерченко [75] для расчета соударения двух газовых струй с разными константами Бернулли, текущих вдолыцек клина [течение дозвуковое, адиабатическое).
В статье [77] того же автора комбинированным методом рассчитано взаимодействие безграничного несжимаемого потока и сжимаемой струи, вдуваемой в поток под некоторым углом. 160 Глава 4. Препятствия вблизи границы раздела сред Метод дискретных вихрей для расчета взаимодействия струй применялся В.И, Бабкиным, С.М. Белоцерковским и В.В. Гуляевым [8] и В.О.
Москаленко, В.Н. Тимофеевым и С.К. Холодновым [96). Морисом [177] проведен расчет истечения газа из двухструйного сопла методом конечных элементов. Нелинейная задача о движении тонкого профиля вблизи поверхности раздела двух тяжелых жидкостей с разными плотностями рассмотрена В.В. Головченко и Д.Н. Гореловым [149] и сведена к системе нелинейных интегро-дифференциальных уравнений. Авторами перечисленных выше работ предложены различные итерационные процессы для решения уравнений сопряжения.
Исключение составляют лишь работы [10] — [15), в которых решение отыскивается разложением решения в ряд по степеням малого параметра. Доказательства сходимости процесса итераций приведены лишь в работах О.М. Киселева [48] и З.Н. Валидовой и О.М. Киселева [17). Эти доказательства основаны на принципе сжатых отображений и исследованиях поведения интеграла Гильберта при замене переменной [19], [49) . Теоремы существования в задачах взаимодействия потоков доказаны также Н.Е.
Кочиным [55) и С.Р. Синхом [108] при исследовании периодических внутренних волн. Для решения использовался метод, основанный на разложении искомых функций в ряды по степеням малого параметра, связанного с амплитудой волн. Для достаточно малых значений этого параметра доказана сходимость указанных рядов и найдены начальные члены разложений. Неконструктивное доказательство однозначной разрешимости задачи о взаимодействии двух безграничных потоков, линия раздела которых включает две симметричные бесконечно тонкие криволинейные твердые стенки, смыкающиеся на бесконечности, дано в работе И.Л.
Гуревича [32). Вариационные методы при доказательстве теорем существования для задач взаимодействия потоков были применены в работах Альта, Каффарелли и Фридмана [126), [127). Задачи обтекания крыловых профилей вблизи границы раздела сред, изучаемые в данной главе, исследованы, главным образом, в линейной постановке (см., например, [9)). Для исследования этих задач в точной постановке в данной главе предложен численно- аналитический метод, основанный на конформном отображении всей области течения на внешность круга единичного радиуса. При таком подходе задача в параметрической плоскости сводится к опре- Глава 4.
Преиятствия вблизи границы раздела сред 161 делению функции комплексного потенциала Иг, которая в отличие от безграничной жидкости будет не аналитической, а кусочно- аналитической функцией комплексного параметрического переменного 1. Функцию дИ'~ й предлагается отыскивать в таком виде, чтобы граничные условия непротекания поверхности профиля удовлетворялись по построению. В итоге задача сводится к системе нелинейных интегральных уравнений, служащих для определения линии скачка в параметрической плоскости, Похожий прием, связанный с предварительным конформным отображением и автоматическим удовлетворением граничных условий на поверхности профиля, был применен ранее Г.Г.
Тумашевым и Н.Д. Черепениным [118] и Н.Д. Черепениным [121] в задачах обтекания тела вблизи свободной поверхности или поверхности раздела. При этом граничное условие на линии раздела линеаризовывалось и образ этой линии в параметрической плоскости был известен заранее, Впоследствии метод Тумашева-Черепенина получил дальнейшее развитие в статьях М.В. Лотфуллина [69] при решении задачи о движении системы двух профилей под свободной поверхностью и М,В. Лотфуллина и С.И.
Филиппова [74], [73] для задачи обтекания одиночного профиля многослойным потоком. В з11 главы 4 дано конструктивное доказательство сходимости процесса прямых итераций для решения выведенной системы уравнений при достаточной удаленности профиля от линии раздела. Прн этом профиль может иметь совершенно произвольную форму. Дока'зательство основано на исследовании поведения сингулярных интегралов с ядром Коши по бесконечным контурам при варьировании пути интегрирования. В з12 предлагаемый итерационный процесс использован для расчетов обтекания конкретных профилей различного вида, Было рассчитано обтекание точечного вихря, кругового цилиндра, плоской пластины, профиля Жуковского и профиля ХАСА66(втой). Установлено, что практическая сходимость наблюдается даже при очень малых (порядка сотых долей хорды) отстояниях профиля от линии раздела.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
