Д.В. Маклаков - Нелинейные задачи гидродинамики потенциальных течений с неизвестными границами (1163230), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Имеет место явление всчезвовеиия волн с ростом у 91Н .09 .03 .00 —.03 — 2 — 1 0 ! 2 3 */ тт Рис. 41. Формм свободнмх гравии для точек, отмеченимх маркерами иа рис. 40 136 Глава 3. Нелинейная теория доярнтнчесхнх теченнй С, 10~ 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 О 7 0 8 0 9 Рнс. 42. Зввнснмосхн Св (у) Нлн т > О. Имеет место трехкратное нсчсзновенне волн с ростом у па разрушающегося гребня сопровождается явлением периодического исчезновения волн с ростом 7. При этом над вихрем образуется свободная поверхность сложной формы с одним или несколькимн гребцами.
П момент ксчезцочндкя воцн С, = О., н. сдобонная поверхность симметрична относительно оси, проходящей через точку расположения вихря. Число гребней на симметричной свободной поверхности равно количеству исчезновений волнового сопротивления, произошедших при ее образовании. Отметим, что явление исчезновения волнового сопротивления имеет место только при Гг < 0.5. При г'т > 0,6 течение переходит в предельный режим раньше, чем исчезнет волновое сопротивление. Поэтому кривую С,(7) (7 > 0) на рис. 39 нельзя "дотянуть" до значения С, = О, Концу этой кривой (7 = 0.336) уже соответствует течение, близкое к предельному. 8 7.
О переходных числах Фруда. Переход течения в водосливный режим наблюдается как для отрицательных (кривая ВС на рис. 32), так и для положительных (кривая СР иа рис. 32) циркуляций вихря. Можно заметить, что при 7 < 0 абсцисса точки В всегда будет близка к Вр 0.761 независимо от глубины погружения вихря, то есть при 7 < 0 водосливный режим обтекания будет иметь место при гр < г г < 1, а режим разрушающегося цуга — при г г < Рр, где гр — переходное значение числа Фруда. В самом деле, точка В является общей для рехгимов разрушающегося цуга волн и водосливного и, следовательно, определяет течение, у которого справа к основному потоку присоединяется "цуг предель- ных солитонов".
137 $8. Численно-аналитический метод у/Н .Об .05 04 .03 .02 .01 .Оо —.01 -2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0 0.5 1,0 1.5 2.0 *~ Рис. 43. Свмметричвые безволвовые свободные поверхности с одним, двумя или тремя гребнями у/Н .ОВ .05 .04 .03 02 .01 .00 —.01 — 1.5 — 1 -0.5 0 0.5 1 1,5 2 2.5 3 Рис. 44. Формы свободных поверхностей для состояний, промежуточных к безволновым (видно, хах зарождаются новые гребни) 138 Глава 3. Нелинейная теория докритических течений Если подсчитать величину числа Фруда на бесконечности справа, то мы получим по формулам [8.23) для Ег = 0.761, что Ег[со) = 1.2937.
Это значение близко к числу Фруда, определяющему предельный солитон [30], [153], [200], [204]. Подтверждением сказанному служат кривые А1В1 и В1С на рис. 32, определяющие предельные режимы разрушающегося цуга и водослива при у с 0 и Ь/Н = 0.8. Заметим, что если воспользоваться точным значением числа Фруда для предельной уединенной волны, равным 1.29095, то из формул (8.23) можно получить, что ему соответствует Ер — — 0.7629, отличающееся от нашего переходного числа 0.761 в третьем знаке после запятой. Это отличие, во-первых, характеризует погрешность наших расчетов в наиболее предельной ситуации.
Во-вторых, его можно объяснить тем, что кривые ВС и В1С на рис. 32 построены при Е = 0.98, а не Е = 1, и лежат чуть левее истинных кривых 7(Ег), определяющих водосливные режимы при 7 с О. При 7 > 0 нижняя граница чисел Фруда, при которых увеличение ' 7 приводит к водосливному режиму, зависит от глубины погружения вихря. При Ь/Н = 0.5 эта граница равна Ер — — 0.77 [см. рис. 32). Объясняется это тем, что кривая РЕ определяет предельный режим с разрушающимся гребнем над вихрем, а не волновым цугом. Возвышения гребней волн на бесконечности справа для течений, определяемых кривой РЕ, ниже величины, задаваемой формулой [8.24). Точка Р определяет, таким образом, водосливный режим с волновым цугом солитонов, высота гребней которых не достигла предельно возможной величины.
39. Волновое обтекание ступени 9.1. Постановка задачи. Нелинейное интегральное уравнение. Рассмотрим стационарное потенциальное течение слоя идеальной несжимаемой весомой жидкости над неровным полигональным дном в форме ступени высоты Ы [рис. 45). Данная задача изучалась ранее в статье (158], причем ее авторами был исследован только случай повышаюшегося уровня дна, когда И>0. зПо данным Вильямса [200) это значение равно 1.29099, по давным Хантера и Вандеи-Броска [153) — 1.29091.
Недавао В.П. Житвиковым и Н.М. Шерыхалиной получено значение Рт м 1.29099045. 19. Волновое обтекание ступени Рис. 45. Схема обтекания ступени в физической плоскости е = т + ср А В Рис. 46. Параметрическая плоскость ~ и б + ся Отобразим, как и в случае обтекания вихря, область течения С, на полосу Сз параметрической плоскости 1 = б + щ (рис. 48) так, чтобы бесконечно удаленные точки области С, перешли в бесконечно удаленные точки полосы Сь Нри этом угловые точки дна А и В перейдут в точки О и В+ д на оси б соответственно. Комплексный потенциал течения Иг(е) дается формулой И'(4) = — В1о1. 2 (9.1) Функцию бтра' Й будем искать в виде (7.2), где т(1) — аналитическая в полосе 04 и непрерывная вплоть до границы функция, имеющая предел (8.1), где Ь > Π— длина волны в параметрической плоскости. Тем самым а ргзогз предполагается наличие волн справа на бесконечности и изучаются только волновые режимы обтекания.
Нормировку сдвига конформного отображения г(4) выберем так, чтобы выполнялось соотношение (8.3). Таким образом, параметры О и б не определены и должны быть найдены в ходе решения задачи. Глава 3. Нелинейная теории докритических течев» 140 г!д 2 в, — = — е "вгпт. ,~~ „и тг (9.2) На дне при гб = О 1пг гг(б) = О,, если 5 < Р, б > Р + б, (9.3) 1гпк(б) = в!8п(г!)и/2, если Р < ~ < Р-!-б. Кроме того, должны выполняться условие (7.5) отсутствия возмуще- ний слева на бесконечности и соотношение бг+б 2 — 1 ех® г1~ = г!/Н, (9.4) обеспечивающее заданную высоту ступени в физической плоскости.
Соотношения (7.5), (8.1), (8.3), (9.2) — (9.4) определяют краевую задачу отыскания функции гг(б) в области Сг. Сведем зту задачу к системе нелинейных интегральных уравнений. Функция ~(б) может быть восстановлена по заданной действительной части бб(() на верхней границе полосы Ог и краевым условиям (9.3) (51) в виде СО и+б Х(б) = — ~( 1 / бб(С) г!б в!8п(8) и/2 г(С и / сЬ(С вЂ” М) к вЬ(С вЂ” б) + Отсюда имеем Х(б) = — + й(б — Р,б), и ./ сЬ(с — б) (9.5) где 1, / 1 — е' б 1 — ег'г й(б, б) = - в!3п (г!) ~!и — !п — ) . 2 ~, 1+ег б 1+ег) ' Из формулы (9.5) легко получить связь между действительной !ба) и мнимой тф частями функции х(б) на верхней границе полосы 6г.' т(т) = 'Хбб + ьг(С вЂ” Р, б).
Поставим краевую задачу для определения функции х(б). На свободной поверхности при г! = и/2 имеем 141 19. Волновое обтекание ступени Здесь Т вЂ” оператор, заданный формулой (8.14), ~и(с,б) = в18п(8)(агс18 е» вЂ” агс18 ев в). 19.6) Ищем, как и в 98, функцию бр/ дб в виде (8.11). Аналогично (8.16), (8.17) получим интегральное уравнение для определения Л(б) Л(в) = — ехр[31(в)г(в, А) + ЗМЛ] х 2 (9.7) х вш [Е„(в, А) + ы(в — 12, б) + ТМЛ) — 1(в) р(в, А) и функциональное соотношение 2 = Е(А)ехр — 3 Л(б) бб (9.
8) необходимое для перехода уравнения (9.7) в уравнение (8,8) при в -+ +ос. Напомним, что г(в, А) и Р'„(в, А) — заданные функции своих аргументов, которые выражаются через р(б, А) по.формулам (8.16). Функции Е(А), р(б, А) определяются из системы (8.8), (8.10). Будем считать длину волны Ь в параметрической плоскости и число Фруда Ег заданными, а величину ф/Н определим после решения задачи из соотношения (9.4) (знак с~ в формулах (9.5), (9.6) задается заранее). Тогда неизвестными в системе (9.6), (9.7) будут функция Л(б) и параметры П, б, А. Для замыкания системы необходимы два дополнительных функциональных соотношения, которые выведем аналогично (8.18) интегРиРованием фУнкции [Л(1) — Х(1 — Е))е ' по гРанице полосы Св ПРи этом предположим, что для Л(1) справедливы неравенства (8.2) теоремы 3.2.
Эти неравенства, видимо, носят общий характер для докритических течений с дном, имеющим на бесконечности форму горизонтальных прямых. Во всяком случае, методом, аналогичным изложенному в 97, можно доказать теорему существования и справедливость неравенств (8.2) для течения, изучаемого в данном разделе, если высота ступени достаточно мала. 142 Глава 3. Нелинейная теория докритических течений В результате интегрирования будем иметь СО е/з / *' =.'» Л(С)е~4 б(С = р(С,А) вй( — — ~) ЙС+ — во а 81$п (И) ~о +к е (е — 1.
2 Соотношения (9.7) — (9.9) определяют задачу отыскания функции АЯ) и параметров А, Р, б. Система (9.7) — (9.9) решалась методом Ньютона по алгоритму, аналогичному описанному в б8. 9.2. Сила, действующая на дно. Составляющая по оси я силы, действующей на дно со стороны жпдкости, вычисляется по формуле «в (р- рв) 4 где интегрирование проводится вдоль ступени АВ, р — давление в жидкости, рв — давление на свободной поверхности. Без учета гидро- статического давления из уравнения Бернулли будем иметь Я, = — — вйе Здесь 1/ — скорость частиц жидкости на ступени.
Отсюда и из формул (7.2), (9.1) имеем О+б Св = — Ве — (1 — ехр( — 2 Не ~(()) ех® дс, (9.10) бб где С, = Я,! — Н. / Ре1в / 2 Сила Я, может быть подсчитана и с помощью теоремы об изменении количества движения. В результате получим я/з Св = — +2 — — + — ( — — 1) — — / е б)б/, (9,11) У 1 /У ~ 2 б -х'Вв) Н И Р' ( Н ),/ о 143 19. Волновое обтекание ступени где у' — ордината горба (при А > 0) нли впадины (при А < 0) волны на бесконечности. Два способа вычисления С (формулы (9.10), (9.11)) использовались для контроля точности расчетов. Как и в 38, предложенный алгоритм позволил добиться совпадения значений С, подсчитанных этими двумя независимыми способами, с точностью до 10 в.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
