Д.В. Маклаков - Нелинейные задачи гидродинамики потенциальных течений с неизвестными границами (1163230), страница 24
Текст из файла (страница 24)
В случае обтекания ступени симметрия течения невозможна и, видимо, по этой причине решение, ответвляющееся от уединенной волны, обладает бесконечным волновым цугом. На рнс. 53 показаны формы свободных границ для неволновых решений прн г'г = 1.1 и различных фН ( О. Как видно из рисунка, предлагаемый метод позволяет производить расчеты неволновых режимов обтекания ступеней большой высоты. При ф/Н = 6.0 имеем течение типа водопада. '310. Задача о плоском фонтане 10.1. Предварительные замечания. В данном параграфе исследуется задача о плоском источнике при наличии над ннм свободной поверхности. За последние двадцать лет к этой задаче проявлен значительный и довольно неожиданный интерес со стороны ученых, развивающих теорию течений жидкости со свободными поверхностями.
Автору известно около двадцати работ в этой области. Этот интерес, видимо, может быть объяснен простотой постановки и неожиданной трудностью в достижении решения. Привлекает также очевидное противоречие в постановке:между течением от источника и течением, возникающим в результате затекаиия жидкости в сток, отсутствует какая-либо разница в уравнениях движения, Исследования в этой области можно разделить на две большие группы.
К первой относятся схемы, в которых над источником (стоком) образуется критическая точка. Такие схемы трактуются как задача об источнике. В исследованиях второй группы используются схемы с точкой возврата над стоком (источником), трактуемые как модель стока. Имеются, впрочем, экспериментальные данные, показывающяе, что в течении, индуцируемом источником, при определенных условиях могут реализоваться оба типа решений [154]. 110. Задача о плоском фонтане 151 Первая работа в зтспи направлении была выполнена Ю.Н.
Петуховым [99], который рассмотрел течение первого типа из затопленной щели конечных размеров, расположенной на горизонтальном дне, и дал приближенное решение методом узких полос [66] для безволновых режимов. Перегрин [179] исследовал задачу о точечном источнике в жидкости бесконечной глубины путем разложения решения в ряд по степеням малого параметра — квадрата числа Фруда. Впоследствии Вандеи-Броеком, Шварцем и Таком [197] было показано, что ряды Перегрина всегда расходятся, и, следовательно, его решение можно рассматривать только как асимптотическое разложение. Впервые численное решение задачи первого типа в точной постановке было получено Л.Г.
Гузевским [29], исследовавшим задачу, поставленную в упомянутой выше работе Ю.Н. Петухова. Для жидкости бесконечной глубины точные вычисления для задачи первого типа проведены Хокингом и Форбсом [152]. Эти же авторы впоследствии обобшили рассмотренную в [152] задачу и учли аффект поверхностного натяжения [143]. Схема с критической точкой при наличии плоского дна, исследована в точной постановке Мекиасом и Вандеи-Броском [173], [174], причем в работе [174] исследованы течения с образованием нелинейных волн вниз по потоку. Эти же авторы рассмотрели также задачу об источнике, жидкость из которого падает в некоторую другую неподвюкную среду [175]. Приближенное безволновое решение задачи об источнике над плоским дном приведено в монографии М.А.
Гольдштика [23]. Схема второго типа в жидкости безграничной глубины исследована в работах Така и Вандеи-Броека [190], Форбса и Хокинга [142], причем в последней рассмотрено пространственное осесимметричное течение. В жидкости конечной глубины течение с точкой возврата рассмотрено в статьях Л.М. Котляра и О.В. Троепольской [54], ВанденБроека и Келлера [196], Э.Л. Амромина, М.А. Басина и В.А. Бушковского [4] [осесимметричный случай), Э.Л. Амромина, В.А. Бушковского и Д.Ю. Садовникова [5]. Хокинг [150] получил численное решение задачи о стоке, расположенном на вершине клина.
Недавно В.П. Житниковым и Н.М. Шерыхалиной [39] выполнены подробные числовые расчеты для задачи об источнике, расположенном над горизонтальным дном, и найдено несколько типов предельных режимов. Имеется также сразу несколько решений задачи о стоке над плоским дном в невесомой жидкости (см. Коллингс (132], Хокинг [151], Кинг и Блур [159]), Отметим, что из перечисленных выше работ только в одной статье .152 Глава 3. Нелинейная теория докрктнческнх течений [174) исследовано течение с образованием волнового цуга справа и слева от источника. Укажем также, что зксперименты, проведенные В.Н. Карликовым [47), показали, что при отсутствии разделительной твердой стенки, совпадающей с осью симметрии течения, фонтанирующий режим истечения из плоских затопленных насадков нестационарен и носит установившийся автоколебательный характер.
10.2. Постановка задачи. Нелинейное интегральное уравнение. Рассмотрим стационарное течение идеальной жидкости от точечного источника обильности 2Я, расположенного в начале координат. Течение предположим симметричным относительно оси у. Непосредственно над источником на высоте Н на свободной поверхности имеется критическая точка.
Будем изучать течения, у которых слева и справа на бесконечности образуется периодический цуг нелинейных волн. На рис. 54 изображена правая половина течения. Рнс. 54. Плоеная фонтан'. правая половина течения Отобразим правую половину течения на полуполосу С~ ширины к/2 в параметрической плоскости 1 = (+ 1п [рис. 55). Тогда комплексный потенциал задается формулой И'(1) = — 1и( сЬ 21 — 1).
[10.1) бт Функцию — будем искать в виде 41 сх( ) (Ь 2 ('„) [10.2) 41 к Р"о где ~~[3) — ограниченная и аналитическая в полуполосе С~ функция, непрерывная вплоть до границы, 1п — скорость в горбах волнового цуга на бесконечности. 153 110. Задача о плоском фонтане Рис, 55. Параметрическая плоскость т Из формул (10.1), (10.2) и уравнения Бернулли найдем, что Х(1) должна удовлетворять следующим краевым условиям на границе полуполосы Ст. 1гп х(6) = О, 0 < 6 < со, (10.
3) 1птХ(1п) = О, 0 < 21 < х/2, (10.4) 6п еза 2 2 д(7 — =Š— 51п г+, Е= — —, (10.5) с(6 112 26 5(т 25' я $Я ' Здесь д = Ке Ц~ + хт/2), т = Йп Х(~ + х(/2). В силу непрерывности Х(2) из (10.4) следует, что т(0) = О.
Для того, чтобы производная функции с(р/66 была ограничена в точке 6 = О, необходимо, чтобы Еезр(51т'(0) + 1 0 (10.6) и заменим соотношения (10.5), (10.6) эквивалентными уравнениями 6д ез", 2Š— = Š— з(п т+ — Цр,т), 6х 1)225 (10.7) ЕУ(12, г) = 1. (10.8) Правая часть (10.7) ограничена в окрестности точки 6 = 0 при условии, что р(6), г(6) — дважды непрерывно дифференцируемые функции и т(0) = О. При заданных значениях Е > 0 соотношения (10.3), (10.4), (10.7), (10.8) определяют краевую задачу отыскания функции 2с(1). В силу Краевое условие (10.5) не удобно для исследования, так как правая часть (10.5) ограничена только при выполнении (10.6).
Поэтому введем функционал У(д, т) = -е~"с~1т'(0) 154 Глава 3. Нелинейная теория донритических течений симметрии течения решение этой задачи а рг1оп' должно обладать свойством с1д/ос = О. Будем, как в ~8 и ~9, считать, что длина волны Ь в параметрической плоскости задана, а параметр Е определять в ходе решения задачи. Выберем иа оси С произвольную точку р > 0 и будем искать производную Йд/оС в виде — = Л(г) + 1(~)р(( + Р, А). дб (10.9) Здесь /(с) = 0 при 0 < с < р, 1(с) = 1 при с > р, р(с, А) — фуикпдя, Ф'о определяемая из системы (8.8), (8.10), А = 1п —, А < О, $ р — скорость 1~р ' во впадинах волн на бесконечности. Из равенства (10.9) следует, что дЯ = -МЛ+ /Я(гЦ+ Р,А) — д(Р, А)]+ д(Р, А).
(10.10) Здесь МЛ = Л(()б~, г((,А) = р(~,А)0(, д(Р,А) =г(р+Р,А), о Продолжим аналитически функцию Л(1) по принципу симметрии через мнимую ось на всю полосу ширины и/2 и воспользуемся формулой (8.13). Тогда ~(~) = — (с) „Ас (10.11) а Из (10.11) легко получить связь между функциями р(б) и т(с): т(в) = — / р(() ~ — 8( = Тр. (10.12) о Из формул (10.7), (10.9), (10.10), (10.12) выведем интегральиое уравнение для определения Л(г,) при 0 < г, < р: сй т(() + (7( МЛ+9(Р,А), ТМЛ+Е„(е,А,Р)], 2Е(А) (10.13) 110. Задача о плоском фонтане 155 где 1 Г Р„(в, А, Р) = — — ! [г(5 + Р, А) — д(Р, А)][Юг(з — б) — Яг(-з — 5)] дб, р При 4 > р считаем, что Л(с) ги О, то есть А,и/гК = р(5+ Р, А), р(4) = г(5+ Р, А). В уравнение (10.13) входят два неизвестных параметра Р н А, определяющие амплитуду и фазу волнового цуга.
Для отыскания этих параметров имеем всего лишь одно условие (10.8). Для получения второго условия воспользуемся, как и в 38, 39, соотношением ]Л(г) — Л'(г)] < сопак е гк, г =5+го, 5 > О, которое будем предполагать справедливым прн больших ]1]. Продолжим аналитически Л(г) на всю полосу и проинтегрируем функцию [Л(г) — Л(г — Ь)]е' по границе полосы, В результате получим р+ь -(1 — е~) Л(5)аЬ б 65+ — р(5+Р,А)(е4+Е~ г)45= 0. (1014) Соотношения (10.8), (10,13), (10.14) представляют собой замкнутую систему уравнений для определения функции Л(5) и параметров Р, А. После дискретизации система (10.8), (10.13), (10.14) решалась методом Ньютона.
Практика расчетов по предлагаемому алгоритму показала, что при р > 6, независимо от длины волны Ь в параметрической плоскости 1, будет иметь место неравенство ]Л(р) — р(р+ Р,А)] < 10 ~, чтб обеспечивает вполне удовлетворительную склейку решения на расчетном интервале [О, р] с бесконечным волновым цугом прн с > р. 10.3. Числовые расчеты. Решение рассматриваемой задачи зависит от одного параметра 0 < Ь < оо. Вместо него, как и в 38, 39, Глава 3. Нелинейная теории докритических течений 156 введем параметр 0 < Р < 1 по формуле (8.21), который однозначно определяет все остальные характеристики течения, в частности, число Фруда 2 /де где е!2 Н 7(о) = — ех1 л16р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
