Д.В. Маклаков - Нелинейные задачи гидродинамики потенциальных течений с неизвестными границами (1163230), страница 27
Текст из файла (страница 27)
(1125) 2 2 Здесь ~о в-е А 1 Р Л(в)е'в<') йв 1 /' Б[Л,д] = и.р.—, [ = 1пп — l +, (11.26) 2я1 ~ и(в) — и(в)) в- 2я1 Л(в)е- В(в) 6в 8,[Л,д] = —, У и(в)[1 — и(Б1)и(в)] (11.27) (11.28) Функция ~(1) в виде (11.24) по построению удовлетворяет условию (11.13) непротекания для контура профиля, условию сопряжения (11.14) и условию на бесконечности (11.17). Для определения неизвестных функций Л(в), В(в) и параметра )1 имеем, таким образом, соотношения (11.15), (11.16), (11.18). Граничные значения функции К(1) на А1 получим из (11.24) с помощью формул Сохоцкого: 168 Глава 4.
Препятствия вблизи границы раздела сред Если обозначить правую часть уравнения (11.16) через У, то оно приобретет простой вид: ~е" — е " = У и его можно разрешить относительно Л. После подстановки вместо У соответствующего выражения, получаемого с помощью (11.25), будем иметь з л.,)=в~в~, г=евввв=в.(вРе-:-~, ° род~, 1 (11.29) О (2 ) 1п езт в ( езт)2 + 2 (11.30) 2 2 Из[О,О] = — 1пуо[и(в1)], Вз[О] =!п,, (11.31) у'[и(в1)] К Цодставив (11.25) в условия (11,15) и (11.18), получим О(в1) = 1п1 Б[Л,О]+ у Я [Л,О,О], (11.3ф 1 р = в' — О1 + Я'[Л, О]. (11.33) Итак, гидродинамическая задача сведена к системе уравнений (11.29), (11.32), (11.33) для определения функций Л(в), О(в) и параметра О, Данная система и будет объектом исследования.
Ниже будет доказана ее разрешимость с помощью принципа сжатых отображений. 11.2. Вспомогательные оценки. Для исследования системы (11.29), (11.32), (11.33) введем следующие функциональные пространства; пространство С непрерывных функций, определенных на всей действительной оси 1в и таких, что 1нп Л(в) = 1пп Л(з) = Л(оо) < со, с нормой [[Л[[с = впр [Л(в)[ ьел и пространство Не С С (О < а < 1) функций, удовлетворяющих на й условию Гельдера вместе с Л(1/з). Норму в Н, определим так; 169 111. Теорема существования ьз;ея !з в1! з *,ея !1/в — 1/зг! ) Демма41. ЕсвиЛЕН и0<а<гп, пго ЦЛЦн.
< 4а, щ)ЦЛЦн., (11.3ц) зде 1-а Н(о, пг) = 2 — + — ' (11.36) Доказательство. Имеем !Л(вг) — Л(вг)! < !в| — зг! 1в| — вг!'" аЦЛЦн (11 37) а~ 1 !Л(зг) — Л(вг)! < !зг — вг!а — — — ЦЛЦн . (11.38) ! вг вг !вгвг! Выберем произвольное число а > О. Пусть !зг!,!вг! < а. Тогда из (11.37) следует, что !Л(в1) — Л(вг)! < 2~ "а~ а!вз — вг! ЦЛЦн . (11 39) Пусть |вг !, !вг! > а. Тогда из (11.33) следует, что «1- а !Л(вг) — Л(вг)! < 2™' а — — ~!в1 — вг! ЦЛЦн„. (11.40) Пусть, наконец, !вг! < а, !зг! > а. Для определенности положим, что вг > а.
Тогда из (11.39), (11.40) выведем !Л(вг) — Л(вг)! < !Л(зг) — Л(а)!+ /Л(а) — Л(вг)! < анъ-а(а в )а + а-пъ-а(в а)а (11Щ < 2 !вг — вг! ЦЛЦн (а — вг + вг — а)а (11.34) Функции, принадлежащие С, Н, вообще говоря, комплекснозначные. Те случаи, когда зти функции могут принимать лишь действительные значения, будут оговорены особо.
Пространство Н обладает обычными свойствами гельдеровских пространств. А именно, если 0 < о < т < 1, то любое ограниченное множество в Н,а компактно в Н . Справедлива лемма. 170 Глава 4. Преллтствии вблизи гранины раздела сред Отсюда следует, что !Л(з1) — Л(зт)) < 2 В(а))з1 — зз), (11.42) где ~о-е .а + -и\-а В(а) = птахд(з), д(з) =, и = —. .>а (з+ 1)е ' за — а Проанализировав функцию д(з), получим, что она достигает единственного максимума в точке з = а~ и, следовательно, (12ы/(1-е)+ 1)1-е В(а) = В случае, если зт < -а, неравенство (11.42) может быть доказано с помощью замены величины а на — а в первой строке неравенств (11.41) и аналогичных рассуждений. Заметив, что В(а) > д(оо) = а™ ~, В(а) > д(0) = а, и сравнив (11.39), (11.40) и (11.42), выведем, что неравенство (11.42) справедливо при любых значениях з1, зт.
Минимум функции В(а) достигается в точке В силу произвольности а мы можем положить а = а'. Отсюда следу- ет, что (Л(з1) — Л(зт)/ < с~(о, гп)(з1 — зт(~. (11.43) Неравенства (11.37), (11.38) будут иметь место и для разности Л(1/з1) — Л(1/зт). Поэтому !Л(1/з1) — Л(1/зт)) < И(а, гп) /з1 — зт / (11.44) Так как И(а, пт) > 1, иэ неравенств (11.43), (11.44) следует соотношение (1!.35). Лемма доказана. Заметим, что И(о,пз) = 1 при а = гп. Поэтому оценка (11.35) является точной при о = т.
Среди операторов, входящих в систему (11.29), (11.32), (11.33), наиболее трудным для исследования является оператор Я, который представляет собой главное значение сингулярного интеграла с ядром Коши по бесконечному контуру 51. Этот оператор является 171 111. Теорема существования линейным по Л и нелинейным по В.
Следующая лемма дает оценку нормы разности д(8 ) = В(л, в! — В(л, в,! (11.45) двух сингулярных интегралов с одной и той же плотностью Л, взятых по двум различным контурам. Введем множество действительных функций Сь, такое, что если В Е Сь, то (и(вь) — и(вг)! > 6(81 — вт!, (11.46) где 0 < Ь < 1 — фиксированное число, и(8) определяется через 0(8) по формуле (11.20) и задает в параметрическом виде контур Е т. Лемма 4.2. Пусть в,вь — две дейстпвитпельиые функции, тпакие, что В, Вт Е Н, 0 < о < 1 и О, вт Е Сь.
Пусть Л Е Н„(0 < ьь < 1) и тп — действительное число, удовлетворяющее неравенствам о<т<ьт+о, т<1. Тогда найдутся постоянная а, зависящая от о, Ь, р, т, и постоянная 6, зависящая от о, Й, такие, что !)д(8)!)Н < а()л)(Н„!)0 — ВЬ(!Но, (11.47) (! Е(8)((н < Ь)(Л)!с(! — В~!(~ (11.48) ,Доказательство. Прежде, чем перейти к оценке модуля и констант Гельдера функции х(8), докажем несколько вспомогательных неравенств.
Пусть а, 6, вт, 0 < о < 1 — действительные числа. Тогда 21-о < — !Ь вЂ” а!~, а (Е) (ЕЕ) т ь нке Е ь — связный участок действительной оси, не содержащий нуля: ( а, Ь), если 0 Ф (а, Ь), Ель (11.49) ЕЕЛ(а,Ь), если 0 Е(а,Ь). ь т18 (8 8 (1-о О | с18 !8(зо!8 — 81(1 28 1 1 <— а Ь а 172 Глава 4.
Препятствия вблнзн границы раздела сред В самом деле, вычислив интеграл в (1), получим ( [(6 — з1) +(з1 — а) 1/о, з1 Е(а,6), (11.50) з1~ ((з1 — а) — (зг — Ь) )/о, з1 К (а, Ь). Здесь мы для определенности считаем, что Ь > а и, если зь к (а, Ь), то зь ) 6. С помощью хорошо известных неравенств з, +лт < 2' (к1+зт), (ль — з. ( < (я1 — лт! (11.51) (з )З(те(З вЂ” З (1 " 1 ь 1/Ь 1/а 1/Ь + — Йиь 1/Ь 1/Ь /-- йи1 )иь ь)иь (1- а 1/а 1/а 1/а Отсюда и из неравенства (1) следует (11). Введем обозначения 1ад = ((Р— 01 '0, 8~ Фа б(зю з1) = / ез00 йз, 61(зт, зь) = е~'(')ь(з, (11.52) О(з, зь) = еь ®61(з, з1) — еь П'16(з, -з1).
покажем, что для функции с(з, зь) справедливы оценки (0(з, зь)( < ьье, (З вЂ” З1( +' о+1 ~а+1 (сь(з, зь)1 < 1(а(о) т ~0, (см., например, (97, стр. 21]), которые справедливы при любых неотрицательных х1 и яю из формулы (11.50) выведем соотношение (1).
Для доказательства оценки (П) сделаем в интеграле замену переменных: и1 — — 1/гг,еь — — 1/з1. Тогда с учетом второго неравенства (11.51) имеем 173 111. Теорема существования ~а+1 !С(в. в1)~ < 0о(.) Дд, (в~а(з (а (с) где 1 х'- + 1 Ив(о) = — п1ак 1 — о *по а+1 Легко видеть, что !6(в,в1)3 < !0(и) — 01(и) — 0(з) + 01(в)111и $1 (11.53) Отсюда сразу следует неравенство (А). Для доказательства нера- венств (В) и (С) заметим, использовав (11.53), что !а(в, з1)! < Д0 )и — в( 11 и фа)з(а 'Э, < Дд (в~а (11.54) 1в- ! = Дд д(в, в1), д(з, в1) = )в)а Ввдчислив последний интеграл, найдем —)~з)' — )в1~~ ), если з в1 > О, д(з,з1) = !~з/1 + /в1!1 ~, если в з1 < О. Отсюда следует, что 1 — х' 1 — х 1+ х' 1+в Но при х > 0 выполняется неравенство 1+т' " 1 — х' а > 1+х 1 — х Поэтому д(в,з1) < но(а).
(в — в1! (11.бб) ~з — В1~ д( )= (1 о)(в)а х=! — ), з в1<0. Глава 4. Препятствия вблизи границы раздела сред 174 Подставив эту оценку в (11.54), придем к неравенству (В). Так как д(8, 81) = д(81, 8), из неравенства (11.55) получим, что ] — 81[ д(8, 81) < !го(а). ]81] Отсюда и из (11.54) следует неравенство (С). Перейдем теперь к оценкам констант Гельдерн'у функции 1 / Л(8)0(8, 81) пЯ Х(81) = —, l 2тг' Х 6(8, 81)61(8, 81) (11.56) Пусть ! — некоторый связный участок действительной оси. Он может быть конечным или содержать бесконечно удаленную точку, являясь дополнением отрезка до полной оси В.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
