Д.В. Маклаков - Нелинейные задачи гидродинамики потенциальных течений с неизвестными границами (1163230), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Конкретный вид 1 будет оговорен ниже, С помощью тождества 1 / С(8, 81) !Ь 2яг,/ 6(8, 81)61(8, 81) Х(81) — Х(яг) = Х1 + Хг + Хз + ХЯ. (11.57) Здесь 71 = — /.[Л(8) — Л(81)] ', (11.58) 1 / 0(8, 81) де 2яг' 6(8, 81)61(8, 8,) ' Хг = — †, / [Л(8) — Л(82)] ' , (11,59) 1 7 ЙЯ~ 82) !18 2яг' ./ 6(8, 82)6, (8, 82) ' ! Хз = —, / [Л(8) — Л(81)]К(8, 81, 82) !Ь, (11.80) 1 Х 2 я!,/ н1! Х Л(81) Л(82) .0(8, 82) ое 2я1 6(8, Яг)61(8, 82) которое является следствием того факта, что по любому контуру 5! сингулярный интеграл с ядром Коши с постоянной плотностью ра- вен нулю, представим разность Х(81) — Х(82) в виде суммы четырех интегралов: 175 111. Теорема существовании где иб) им) е'зц') е' ц') 11(з,з1,зг) 6(з, 31) 6(з, зг) 6,(з, 31 ) 61(з, зг) В свою очередь, зз представим в виде суммы трех интегралов: зз = У31 + 133 + 133 где 6(з„з,) Г [Л(з) — Л(31))С(з,з,) 1Ь 2иг' ,/ 6(з, з1)6(з, зг)61(з, зг) ' П)1 61(31, зг) [Л(з) — Л(31)[0(31, з)ейзП') збч)1 сЬ ззг =— 2иг 61(з зг)6(з, 31)61(з 31) лП С(31 зг) [Л(з) Л(31)]е)(з,б)-зб~)1 Дз ззз =— 231 61(з зг)61(3,31) П)! Теперь мы должны оценить каждый иэ выписанных интегралов.
При проведении этих оценок функции 6, 61, стоящие в знаменателях подынтегральных выражений, всегда будем оценивать с помощью неравенств [6(зг,з1)[ > )с[зг — 31[, [61(зг,з1)[) Цзг — 31[ (11.б1) (эти неравенства справедливы, так как 6,61 Е Се), функции 6,61, стоящие в числителях, — с помощью очевидных соотношений [6(з, 31)[ < [3 — 31[, [61(3,31)[ < [3 — 31), а функцию С вЂ” с помощью соотношений (А), (В) или (С). При оценке выражений, содержащих Л, используем тот факт, что Л Е Н„где т = тп — о, а пг — число, оговоренное в условиях леммы 4.2. Так как а < пг < )з + а, имеем т < )г и, если Ы = 11(т, )1), где Н(т,)1) — функция, определенная формулой (11.3б), то согласно лемме 4.1 справедливо неравенство [[Л[[н < ЩЛ[[н .
В итоге полученный интеграл оценим с помощью неравенства (П) или вычислим непосредственно. Табл. 7 иллюстрирует сказанное выше для получения оценки вида [1(31) — з(зг)[ < сопз1 [31 — зг[, а табл. 8 — для получения оценки [у(31) — з'(зг)[ < сопзг [1/31 — 1/зг[ .
При этом в первом случае в 176 Глава 4. Препятствия вблизи границы раздела сред Таблица 7 пастрееиие оценки вида )у(е2) — у(ет)( < ав))л))л ядр р = (ее — ет(, 1 = (е2 — 2В, е1 + 2в), Ы = К(т, В) 1 ]б 82[ ) — ]и — В1], 2 под [**) — иер(квеиство 1 в2 [в 22[ ~ ]в в1[ ° 2 в1 [вв) Неравенства [*), [»*) справедливы на соответствующих интервалах интегрирования Н 'Л !. Под обозначением ] [ понимается финальная качестве 1 выбран отрезок ! = [в1 — 2р, вт+ 2р], р = [в1 — вт[, а во втором случае ! есть связный участок действительпой оси, являющийся образом отрезка [1/вт - 2р, 1/в1 + 2р] при преобразовании ет = 1/в, где р = ]1/в1 — 1/вг].
В табл. 7 и 8 в столбце "] в указаны участки, по которым вычислены соответствующие интегралы, в столбце "Л/[[Л]]п„в — оценки модулей выражений, содержащих функцию Л, поделенные па норму ~]Л[]п„, в столбце "С" — способы оценки функции С. В столбце вд" указана дополпительяая операция, необходимая для оценки модулей знаменателей подыптегрвльвых выражений. Под [*) понимается не- равенство 111. Теорема существования 177 Таблипд 8 Построевие опкики випа ).7(зг) — 3(зг)) < а"))Л))д„ЬВр'": Р = )1/м — 1/зг!, 8 = 4т, и), бо = 0о (а) 1 — образ отрезка (1/зг — 2р, 1/зд + 2р] при преобразовзлии о = 1/* Таблицаща построевие опеики вида ).7(зг)) < аз"))л)(сглб: 1= (-1,1), Но = до(~) Глава 4.
Препятствия вблизи границы раздела сред 178 оценка модуля подынтегрального выражения. В столбце "Сп." указан способ, с помощью которого оценен интеграл от ~ ~. Если в столбце "Сп." стоит прочерк, зто означает, что оценка интеграла получена прямыми вычислениями. Просуммировав выражения, стоящие в последних столбцах табл.
7 и 8, получим й(гд) 2 +1+3"'+1 2 +2 (11.ф2) 14(г,д)<1о(а) ~2 +1+3 21+в+21+ я/„.2 а (11фЗ) 2м Р+2ш 2ш — ю + + 5(1 — гп) 1 — гл+ а Для оценки модуля функции 1(е1 ) представим ее в виде -1 н1[-150 1 у =,71+ ут — —— 2тХ где подынтегральные выражения такие же, как в формуле (11.56). В табл. 9 дан способ получения оценок для 11 и ую В итоге имеем 1 ( 1 Д < а*'* = — ~ — + 2Но(а) я5та (а+1 (11.64) Из соотношений (11.62) — (11.64) следует, что а = щах(а', а", а"*), и, таким образом, неравенство (11.47) леммы 4.2 доказано. Для доказательства неравенства (11.48) можно использовать введенное выше разбиение функции У(в1) — 7(вт) в виде (11.57).
Однако неравенство (11.48) не содержит гельдерову норму йЦн„функции Л, позтому здесь можно применить более простое разбиение. А именно, положим 74 = 0, а 71,,71, Хз — это интегралы, определенные формулами (11.58) — (11.60), с тем только отличием, что разности, содержащие функцию А, заменены на функцию Л(в). Теперь можно 179 111. Теорема существования заметить, что табл.
7 и 8 снова применимы, если положить в них г = О, д = 1, тп = о. Отсюда следует, что ]гт(бт) — гт(вг)! < Ь'ПЛПсД0[вт — бг! 1 1 ! 7(бт) 7(вг)! < ь *ПлПодв бт б2 где [2+'+3 +1 1+2 Ь кйг(о+ 1) [ 2о Ь(1 о) + +2 до(о) [3 2+' 1+2 +2 . кйг ~ о Ь(1 — а) Лемма 4.3. Пусть комплексная функция Л е С, а функции 0,01 Е Ср„С С, где Ср„— мноэтсестпво действительных функций О, таких, чтпо [и(б)! > г, [и(б)! > р[б!). (11.65) Здесь и(б) определена формулой (11.00), а г > 1, О < р < 1 — постпо- яннме. Тогда для операторов Б [Л, О, (У], 1 = 1, 3, при любом О < тп < 1 справедливы оценки П8,[л,в]П „ < ",(")ПЛП,, ][Фчл,в] — я [Л,в,]П „ < †, ПЛП Пв — Ф1Пс, Ьт(г) (11.66) ПБ,[в,д]П„< ("), Ц$2[0, Р] — Бг[0,0]Пн < птах(П0 — 01 Пс, !)7 — дт!), Ьг(г) гт (11.67) Пяз[в]Пн„< —,„, аз(т) ПБз[0] — Бз[вт]Пн„< —, Пв — 01 [[с, Ьз(г) (11.68) Следовательно, Ь = щах(Ь', Ь", а" **) и лемма 4.2 доказана.
Свойства ограниченности и непрерывности операторов Бу[Л, 0,(т], ) = Г$, и функционала Б" [Л,в] вытекают из следующей леммы. Глава 4 Препятствия вблизи срвииим раздела сред 180 еде з а,(Г) = — 1 +— к [, рг/ (1 „г)г' 2»с [ »г . 2»(2» †. 1) 2» аг()= —, Ье(») =с~ + —,—,+ —,1, » — ъ' ' Ь» — Я'" ят — 'д/- Мо»о»'с (»г 2»з аа(г') —, Ьз(») — Мо»ос + — —, » >»о.
(» — »о)г (» — »о)г р(» — »о) Е ~А„ Здесь с = 2г /(рг+тгр), »о ) 1 — фиксированное число, Мо = вар —" и ео А„— коэф4ициенты рида ч', Ав/1 = 1п/'Я/Ез, 1 Если доиолкитель6о предполонсить, что функция Л действительна и Л Е Н,„, що для функционала Я'[Л, В) справедливы оценки [ц [Л,В[<а,ЦЛЦн»-"'П ьг), [В'[Л,Вг[[ < ЬеЦЛЦн.Ц — ВгЦс»- Е1 +'1, (11.69) 'вде аа = (2+ 1/р"')/к Ье = ае/р. Доказательство. Представим операторы БЕ,З' = 1, 3; в виде абсолютно сходящихся рядов 8,[Л В[ = Ц ~„(Л,В)(М[В[)", 1 юй + е"ек1 ьо Б в,и= — т'' (мог",е,в=ч А ~ма~~", 1 1 (11.70) , рде 1 Е М[В[ — [и(в)]-г ы„[Л, В[ = — ~ Л(в)(М[В[)"+ е' 1'16в.
Справедлив следукгщий пРизнак принадлежности к пространству Но. Если функция о(в) е С и непрерывно дифференцируема при 181 111. Теорема существования всех з Е Л, причем (д(з)! < дз, ]д'(з)[)з]'" < ды )д'(з)))з]'+ < дг, то д(з) б Н и [[ьЕ[]н„< — игах(Чо, Чы Чг) (11.71) В самом деле, д(а) — 4(Ь) = / д'(з) дз = — / д'(з) ь)з, (11.72) ь ь где 1,1 — связный участок действительной оси, определяемый по формуле (11.49). При [з) > 1 имеем (д'(з)[[з)1 ™ < дь. При (з( > 1 имеем (д'(з)[[з[1 < дг. Отсюда выведем неравенство [д'(з)[[з(г < ьпах(дц дг), С помощью первого равенства в формулах (11.72) и неравенства (Е) найдем, что 21-ье (д(а) — ьЕ(Ь)[ < — пьах(д1, ь1г][Ьг — Ьг( .
(11.73) Из второго равенства в формулах (11.72) получим, что 11Ь )д(а) — д(Ь)/ < дг !з[ с1з = дг !и/~ сЬт, з = 1/з. ь ь Отсюда и из неравенства (Е) выведем 2' "'11 1 [4(а) — й(Ь)[ ~ дг (11.74) пь [а Ь Из формул (11.73) и (11.74) следует оценка (11.71). Положив д(з) = (М[д])", с помощью доказанного признака можно показать, что '9(М[з])" ([ < —, ![(М[Р])" — (М[91])" Пн < — „1+ — ПР - дЛс. р (11.75) В силу аналитичности функции 1п[/'(1)/К] во внешности единичного круга для коэффициентов ряда ~~ь А„/1" при любом гз > 1 сира«=1 ведлива оценка [А„[ < сопзг гз.
Следовательно, константа Мз, оговоренная в условиях леммы 4.3, существует. Подставив выражения 182 Глава 4. Пренятствия вблизи границы раздела сред (11.70) в левые части неравенств (11.67), (11.68) и оценив полученные выражения с помощью неравенств (11.75), после суммирования соответствующих рядов придем к оценкам (11.67), (11.68). Для доказательства неравенств (11.66) заметим, что Функционалы а„[Л, В] представим так: ы„[Л,В] = — + лц-се) (М[В])»+1Л(в)еы1') вв. Оценив первый интеграл с помощью первого неравенства в (11,76), а второй — с помощью второго, будем иметь ]ы„(Л,В)] < — [1+ — ] —.
[[л[[, у' т р (11.77) Аналогичным путем, использовав, кроме первой, И вторую пару не- равенств (11.76), найдем ] „[л,в]- „[л,в,][<— [[Л[[ ° [[ — В [[С / 1'1 / и+11 ~1+ — ] ~1+ — ). (11.78) я и» р р С помощью неравенств (11.75) — (11.78) легко установить справедли- »ость соотношений (11.66).
Функционал Б'[Л, В] с помощью тождества Б*[Л = 1, В] = 0 представим так: е Я'[Л, В] = 1пт —, + [Л(в) — Л(оо)](М[В])е4~1'1 ов, 1 в1 ВИ-е,е ] где т = г'Д 411. Из этого представления, неравенств (11.76) и соот- ношений [Л(в) — Л(со)] < 2[[Л[[с, [Л(в) — Л(оо)] < —" ПЛИн [в[э» следуют оценки (11.69). Лемма 4.3.доказана. ]м[в][ < —, 1 [м[в]-м[в,][< []в гр ]м[в]] <— - р]в[' [[в - в,[[о [м[в] — м[в,][ < — '~. рзв 183 111. Теорема существования Функция Е(Т), входящая в правую часть уравнения (11.29), также представляет собой нелинейный оператор. Его свойства даются следующей леммой.
Лемма 4.4. Пусть Т(в),Т,(в) б Н а ЦТЦн„,ЦТдЦн < ро. Тогда ЦР(Т)Цн < 2ЦТЦн, ЩТ) — Р(Тд)Цн < ТоЦТ вЂ” ТдЦн„, (11 79) где То = 2(1+ 4ро)гг(3д/3). Доказательство. Иэ соотношений г(0) = О, [г'(Т)[ < 2 и теоремы о среднем значении непрерывно дифференцируемой функции следует первое из неравенств (11.79). Для доказательства второго заметим, что дифференциал Фреше оператора г'(Т) имеет вид: оР(Т)[Ь] = Л(в)Р'[Т(в)].
Пусть Р'[Т(в)] = Ю(в). Тогда [У(в)] < 2 н [в(вд)Л(вд) — в(вг)Л(вг)[ < [з(вд) — в(вг)]]Л(в)[+ 2]Л(вд) — Л(вг)]. Так как Г"(Т) < 8ЯЗ /3), найдем отсюда, что 8 ]д(вд) — У(вг)] < — ]Т(вд) — Т(вг)[. — 3/3 Поэтому норму линейного оператора г)г(Т)[Ь] при Ь б Н оценим так: Ц г)г Ц < 2+8ро/(Зд/3) = То. С помощью формулы конечных приращений для дифференцируемых по Фреше операторов (см., например, [46]) придем ко второму неравенству (11.79).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
