Д.В. Маклаков - Нелинейные задачи гидродинамики потенциальных течений с неизвестными границами (1163230), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Пластина находится в жидкости с плотностью р . Число кавитации г ,-(1г-)г (р -)г где р, и ре — давления на бесконечности и в каверне соответственно, 1га — скорость на границе каверны. Как и в 111 и 112, здесь 7 — линия тока, на которой выполняется условие непрерывности давления: где 1г+, И вЂ” граничные значения скорости при подходе к Ь сверху и снизу, 7 = р+($',+)г/р ($',, )г — отношение скоростных напоров на бесконечности в потоках.
В качестве схемы кавитационного обтекания выберем схему Тулина-Терентьева (см. главу 6). При определении гидродинамических характеристик данная схема дает практически те же результаты, что и схема Эфроса (см. 1351), однако имеет меньшее 413. Кавитанионное обтекание пластины 207 Рис. 74. Физическая область течения количество математических параметров, подлежащих определению в ходе решения. Выбор схемы, таким образом, продиктован соображениями математических удобств. Введем систему координат г = х + )у с началом в точке А. Ось х направим параллельно скоростям набегающих потоков.
Обозначим через С, область течения в физической плоскости т, через С,— внешность единичного круга параметрической плоскости 4 = с + 1п (рис. 75). Будем искать конформное отображение т = т(4) области бс на С„такое, что т(оо) = оо, «( — 1) = О, Пусть Еч — прообраз линии Л Рис.
75. Параметрическая плоскость | 208 Глава 4. Препятствия вблизи границы раздела сред в плоскости 1 при отображении з(1); С»+, С, — части области С„лежащие выше и ниже Ь» соответственно; 1р, 1в, 1с — прообразы точек Й,В,С; ур, »»»в у»с — аргументы»р,1в 1с (-»г <»»»р < у»в < ч»с <»г); параметры »»р, и»в, у»с неизвестны и определятся в ходе решения задачи. Введем функции Й(1) = 1п —, ы(1) =!и, 1 б С»~. (13.2) Р3 а. Крт 41 »1И' ' »(И' Здесь И» — комплексный потенциал течения; К =~ г'(со) ~ — неизвестная постоянная, имеющая размерность длины; Й(1) — функция Жуковского, ы(1) — функция Жуковского для фиктивного течения в области С» с комплексным потенциалом И'(1).
Функции Й(1), ы(1) терпит разрыв на Ь» и, следовательно, кусочно-аналитичны в области С». Через Й(»), м(1) можно выразить функции г(») = К е» 1 "00»1», — (») = И,е И», 16 С, (13.3) »81 И» »11 1 и тем самым полностью определить течение в физической области С,. Поставим краевые задачи для определения Й(1), ы(1). Функция »1И»/ »11 есть комплексно-сопряженная скорость фиктивного течения в области С», поэтому на единичной окружности имеем 1ты(е") = и — »г/2, 1п»ы(е» ) = »г + т/2, (13.5) Для функции Й(г) краевые условия на параметрической окружности имеют вид: 1гпЙ(е»е) = »г — а, — т <»г <»рр, 1гпй(ег ) = — о, 'рр <»г < 'рв (13.6) 1 Ве Й(е»е ) = й = — — 1п(1 + Я), »рв <»»» < к. 2 На бесконечности Веы(1) О, рс <»г < 2я+»пр, (13.4) Юр<и< рс.
209 113. Кавитационное обтекание пластины Из физических соображений следует, что функция Й(1) конечна в точках -1, 1п, соответствующих концам А и В пластины: (13.7) Й( — 1) < оо, Й(1п) < оо. Кроме того, выбранная схема кавитационного обтекания требует существования полюса первого порядка у функции Й(г) в окрестности точки 1с [112]: Й(1) - (1 — 1с)-'. (13.8) Соотношения (13.4) и (13.6) есть условия задачи Шварца и смешанной краевой задачи соответственно, Если линия раздела отсутствует, то функции Й(1) и ы(1) аналитичны и определяются по краевым условиям (13.4) — (13.8) при заданных ур, ув, рс в виде конечных формул (см.
ниже в разделе 13.2). Присоединив к (13.4) — (13.8) условии на бесконечности для Й(1) (13.9) Й(1)) - О, 1- оо и условие однозначности функции г(г) еп01 "01о1 = 0 (13.10) (Сп — окружность бесконечно большого радиуса в плоскости 1), аналогично [112] можно получить замкнутую систему уравнений для отыскания параметров рп, рп, ус и коэффициента при (1 — 1с) в разложении функции Й(1) в степенной ряд.
Однако в нашем случае функции Й(1), ш(1) кусочно-аналитичны и должны удовлетворять еще четырем дополнительным соотношениям на линии скачка Ьб [Й+(и) — ше(и)] — [Й (и) — м (и)] = О, (13.11) 1щ[ьз~(и) — ы (и)] = О, (13.12) д = 1щи (и), (13.13) 7 ехр[ — 2 Ией+(и)] — ехр[ — 2 пеЙ (и)] = 7 — 1, (13.14) где и б Ьо Й+, ы+ и Й, ы — граничные значения Й, ы при подходе к Л~ соответственно сверху и снизу, д — угол наклона к оси 8 касательной к Ьо Соотношение (13.11) вытекает из аналитичности функции 210 Глава 4, Препятствия вблизи границы раздела сред е(1) в области О~, .(13.12), (13.13) отражают тот факт, что Х, является линией тока; (13,14) эквивалентно (13.1).
Для фиксации положения пластины АВ по отношению к линии раздела примем, что Ь| проходит через заданную точку 1о = со + тцо. Ниже будет показано, что соотношения (13.4) — (13.14) в сочетании с последним допущением образуют замкнутую систему условий для определения линии скачка Ьм функций й(1), ев(1) и математических параметров утп,чов 'рС. Неизвестный параметр К =) е'(со) ~, входящий в определение ш(1) и формулу (13.3), линейно связан с длиной 1 пластины 4В: вв -1 К = 1 ехр(Не(й(е' ) — ш(ее~))) еЬт (13.15) 13.2. Решения вспомогательных задач. Сформулируем три задачи, решение которых послужит основой построения итерационного процесса для определения й(1), ш(1), гч, утп, 'рв 'рс.
Пусть Ье — известный бесконечный контур в области Оь переходящий в простой замкнутый контур прн преобразовании т = 111. На контуре Ас задана такая действительная функция Л(и) (и Е Ье), что (13.16) 1цп Л(и) = О. Задача 1. Определить функцию ш(М) по краевьсм условиям (И.4), (И.5) и соотношению оз+(и) — ш (и) = Л(и), и б 1л.
(13.17) Задача П. Определить функцию й(С) по условиям (И.6) — (18.8) и соотношению й+(и) — й (и) = Л(и), и Е 1в. (13йв) Задача 1П. Определить параметпрм что, 1ов, ус и коэффициент при (1-1с) е в разложении функции й(1) по условиям (И.у), (13.10), считал, что й(1), ш(1) — решенил задач 1 11. Для решения задач 1, П введем аналитические функции шо(1) и йо(1), удовлетворяющие краевым условиям (134), (13.5) и (13.6)— 211 113.
Кавитационное обтекание нластины (13.8) соответственно. После преобразования т = 1/г зти функции можно построить с помощью формул Шварца и Келдыша-Седова для единичного круга [66): г ['ОЧг — Рс ого(1) =!и + г) (М вЂ” 1п)(8 — Мс) 1, 2 2/ ~о(1) =-(п +,, +~(~ ~)+Ф, н(г) — 1 Ми(1) н(1) + 1 кг(1) + сг где М вЂ” действительная постоянная, н(г) — фуняция, осуществляющая конформное отображение области С, на верхний правый квадрант плоскости к (рис.
76) с соответствием точек н(1в) = О, к(-1) = оо, к(1п) = 1; к(г) = (1+1п)(1 — 1н) (гп — ~в)(г + 1) (13.10) Параметр с связан с параметром ого соотношением сг = -иг(1с) В гг Рис. 7О. Вснамосатсльнаи параметрическая нноскость н й,(1) - О, ог„(1) - О, 1- оо. (13.221 Будем искать функции й(г) и ы(4) в виде й(1) = йо(1) + н(1)[й.(1) + й.(1/1) — 2 Пей,(-1)), (13 20) ы(1) = ого(г) + ог,(1) + о~,(1ф — Псы,(0), (13.21) где Й,(г), ы*(г) — кусочно-аналитические функции во всей плоскости 1 с разрывом на контуре 7 и Тогда й(1), ог(1) по построению удовлетворяют условиям (13.6) — (13.8) и (13.4), (13.5) соответственно.
Поскольку функции (13.20), (13.21) не изменятся, если к й,(~) добавить комплексную, а к ог(1) — чисто мнимую постоянную, то можно положить, с учетом условий на бесконечности (13 5), (13.16), что Глава 4. Препятствия вблизи грапяцы раздела сред 212 На линии скачка бг, исходя из соотношений (13.17), (13.18), получим 0, (и) — О. (и) = †, гп. (и) — ег, (и) = Л(и), и Е Ьг. (13.23) + Л(и) + к(и)' Восстановив функции 0,(Г), ы,(Г) по условиям (13.22), (13.23) [97), будем иметь Л( )би 1 17Л(и)д 0,(Г) = —, / „г,(г) — 1 2яг',г к(и)(и — Ф)' * 2яг / и — 1 Ь', Ь~ Таким образом, решения задач 1, П найдены. Для решения задачи 111 перейдем к новым неизвестным к„с, где к, — образ бесконечно удаленной точки при конформном отображении (13.19).
Связь между параметрами ыв, рв, егс и к„с дается формулами 1 — к~ гв = —— 1 — кт йт ст+ кт гв=- —, 1с=— е кт' сг+ к2 е е 'Подставив функции 0,(1) и пг (1) в условия (13.9), (13.10), найдем к,— 1 Мк, — 1и — + ' + к,Р+ фг — а) + д = О, (13.24) к, +1 кт+ст — + ' — М ' + ' ~1 — — ~+Р-О, (1325) 2 2к, к~ — с 4к, г' Рг Л к, + 1 кт+ ст (кт+ ст)т кт — кт ~, 2 г) где 1 Л( )с( 1 )г Л( )с( 2яг',Г к(и)и ай .( к(и)(и+ 1) ' Ь'! Рг = — у Л(и) ~ — ' — 1~ г(и — —,~ Л(и) ~ — — 1~ —, 2тг / ~к(и) ~ 2тг / (к(и) ~ ит' Ь» Ь! кеи кг и — +1 Уравнения (13.24), (13.25) — комплексные, поэтому система (13.24), (43.25) представляет собой систему четырех уравнений с четырьмя 213 113.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
