Д.В. Маклаков - Нелинейные задачи гидродинамики потенциальных течений с неизвестными границами (1163230), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Лаврентьевым [63], [66], и теорема о неподвижной точке Лера-Шаудера [164, стр. 63]5. В качестве схемы кавитацнонного обтекания выбрана схема Жуковского-Эпплера-Рошков. Применение неконструктивных методов оказалось весьма эффективным и позволило установить необходимые и достаточные условия существования и единственности решения, однолистности области течения при любом наборе исходных гидродинамических параметров. Работой, наиболее близко примыкающей к данному исследованию, является статья И.Л. Гуревича [31], в которой доказаны сушествование и единственность решения задачи о кавитационном обтекании криволинейного выступа на дне в поперечном поле силы тяжести, причем существование решения также гарантируется для всего диапазона чисел Фруда. 314.
Постановка задачи и вывод интегрального уравнения Рассмотрим плоское установившееся течение идеальной несжимаемой жидкости, схема которого изображена на рис. 82. Согласно этой О примекении метода сравнения и теоремм Лере-Шаудера к струйным и кавитапионнмм течениям см. монография Биркгофа и Сарантонелло [16, стр. 115- 124], Гилбарга [147, стр.
ЗВО-ЗЗ7]. еСм, главу 1, стр. 23. 221 ~14. Постановка задачи и вывод интегрального уравнения Рис. 82. Физическая область течения Рис. 83. Параметрическая плоскоста 4 222 Глава 5. Кавнъируюпщй клин в продольном поле силы тяжести ,~д~ 1 гг — = Уо —, гг (14.1) где»ро > Π— постояннаи, имеющая размерностьи»гтенциала скорости. »»некем функцию Жуковского йг 1 х(1) = 1и — = 1п — + (й Йи~ Р (14.2) и будем искать ее в виде суммы Х(1) = Хо(1) + Х*(1). (14.3) 'Э»несь Х'(1) — неязвестная аналитическая функцИя, Хо(1) = стн»+ а 1и— 1 — ит 1 — К (14.4) есть функция Жуковского для клина, обтекаеагого невесомой жидкостью.
Если функция «'(1) и параметры»оо, и найдены, то из формул (14 1) — (14.4) нетрудно получить параметрическую зависимость 1 г(1) = о»о е "* — ~ — ех Й, (14,5) а»Ч1о 1 12 7 СлУчай О = О нс рассматривается. Отяоситепьно исто см., например, [34, стр. »831. схеме за клином А'ОА образуется каверна, огранИченная свободными линиями тока АВ и А»УЧ', которые замыкаются нв две параллельные пластины ВН и В'Н, простирающиеся до бескоиечности. Угол раствора клина равен 2он длина его щеки — 1. В точках А и В известны скорости $»и > О и Ъц > О соответственно.
Течение симметрично относительно оси н, параллельной вектору ускорения силы тяжести Й = ( — И, О) (у ~ О'). В силу симметрии будем рассматривать лишь верхнюю половину С', области течения С». В качестве канонической области возьмем верхний полукруг 6', И параметрической плоскости б Соответствие точек между областями 0» и О», видно из рис. 32 и 83 С помощью метода особых точек найдем проИзводную комплексного потенциала 223 11ж постановка задачи и вывод интегрального уравнения — =е вг1 — е к01, ( 6) которая полностью определит течение в физической области ж Предположим, что вместо скорости Ъл задан математический параметр 0 < lг < 1, н выясним, каким условиям должны удовлетворять фУнкциЯ Х*(г) и паРаметР 1вв в зтом слУчае.
На твердых стенках ОА, АН и на оси симметрии течения имеем д = О, д = ат и д = 0 соответственно. Отсюда с помощью формул (14.2), (14.3) найдем, что 1тХ*(с) = О, б б ( — 1, 1]. (14.7) Обозначим через а полярный угол в параметрической плоскости 1. Условие постоянства давления на свободной поверхности АВ $' (и) + 2дд(о) = сопв$ продифференцируем по о'.
Использовав выражения (14.5) и (14.6), получим — = 2д~рвв1пое "сов [Ф(п,lг)+ г], 6р . а (14.3) гйт где р = НеХ*(егв), г = 1пгХ'(е"), /1 — /с о1 Ф(а,й) = 1пзХо(егв) = 2оагссй ]ч — ссй- ) . ~,1+ и 2,~ Задание скорости гун и длины щеки клина 1 приводит к следующим соотношениям ИеХ ( — 1) = — )п гн (14.9) (14.10) 1ео— 1 — ело«) др е Здесь дв(с) — значение вещественной части функции Х(г) на действительной оси б: рвЮ= Н Х Ы) Итак, если функция Х*(1) и параметр 1рв удовлетворяют условиям (14.7) — (14ЛО) при некотором значении 0 < и < 1, то формулы (14.5) 224 Глава Ь.
Кавитируюпгий клин в продольном иоле силы тяжести и (14.6) определят половину кавитационного течения, для которого заданы значения величин д, а, 1, *он. Скорость )'л в зтом течении зависит от величины параметра 0 ( )с ( 1. Введем функцию* еге Г[гг](г) = — гг(с) !и,. г)о — !п (гн, (14.11) т ( (е1» — 1 о где и(с) с С[0, к], С[0, в] — пространство непрерывных функций на отрезке [О, к] с нормой [[и[[с = игах ] 1 (Я) ]. Функция К[и](!) аналитична в области См непрерывна в с.г и на границе области удовлетворяет условиям 6 — 11е1[н](ег ) = и(а), с)а Нег[к](-1) = — 1и)'н, (14,12) 1ги Г[ы](с) = О. Обовначин и = —, из соотношения (14.11) подуя(втв, что г(а (» = — 1 йа — !и)тн = — Лн — 1иУв (14.13) т = -- ~ тг(в)!и 1 Ов = †.ДФЬ, (14.14) н о 1 Г Я т + 1) сов а — 2д )го(о) = — — / и(в) агсс(й, г)~ — 1п)тн = т~ вш а(1 — ~1): (14.15 о = — Би — )и)н, »здесь обозначением г( ](1) подчеркивается, что правая часть соотигннения (14.11) есть не только фуикцня параметрического переменного 1, ио И оператор относительно функпии и(С).
где Ли, Ои, Би — линейные интегральные операторы отноейтельно функции и. $15. Теоремы существования к единственности 225 Соотношения (14.13) — (14.15) позволяют свести краевую задачу (14.7) — (14.10) к нелинейному интегральному уравнению вида и = — ейп и ехр(-Ззг ) соз [Ф(о, й) — 1зо] = е Е[щ Ц М[щ й] М[щЦ' (14,16) где 1 2у( Г1 — 42 [1 — Ю е= —, М[и,Ц= / — з ~ — ~ эхр(-Би)е)с. Если о* — решение уравнения (14.16) при некотором фиксированном 0 < й < 1, то решение краевой задачи (14.7) — (14.10) найдется по формулам Х" (1) =7И(1), ро = —, М[ы*, Ц' (14.17) а соотношения (14.5) — (14.6) определят половину кавитационного течения с заданными значениями параметров д, а,1, )l 315.
Теоремы существования и единственности х = Г»[х] имеет по крайней мере одно решение в области )з Теоремы существования, единственности и однолистности, доказываемые в этой главе, базируются на теореме о неподвижной точке Лерэ-Шаудера [164, стр. 55] и теоремах сравнения [63], [186]. Приведем без доказательства формулировки этих теорем Теорема Лерэ-Шаудера. Пусть Рч[к] — произвольное однопараметрическое семейство вполне непрерывных преобразований бакахова пространства Е самого в себя и 0 < 7 < 1.
Пусть, далее, Р ограниченная область пространства Е, в катаной преобразования семейства равностепенно непрерывны по 7 в том смысле, что для любого е > 0 существует е1 > О, такое, что при ]7 — 7'] < и имеет место неравенство [[вт[х] — Гз [хИ < е для всех х б Р.
Пусть х ф Р.„[х] при любом х, принадлежащем границ» области Р. Если, кроме того, 1) уравнение х = Уо[х] имеет единственное Решение хв б Р, х) в некоторой окрестности хо отображение Со[хо] = х — Ео[х] (локально) взаимно однозначно, то уравнение 226 Глава 5. Кавнтнрующнй клин в продольном поле силы тяжести Данная формулировка теоремы Лерэ-Шаудера заимствована из книги [16, стр. 199]. Отметим, что теорема сохраняет силу, если семейство вполне непрерывных преобразований йэ [к] определено не на всем баннховом пространстве Е, а лишь на множестве О, внутри которого гарантируется существование неподвижной точки [91, стр.
976]. Первая теорема сравнения (Лаврентьева). Пусть два плоских или осесимметричиых течения идеальной жидкости, имеющие одинаковую скорость невозмущенного потока, определены в областаях О и .О, ограниченных соответственно линиями тока Г и Г, проходящими через бесконечно удаленную точку ~рис. 84). Если Р С Р и если граничные линии тока имеют общую точку Р, то при этих условиях соответствующие скорости в и о удовлетпворяют в точке Р неравенстпву ч(Р) < ч(Р), причем равенство достигается только тпогда, когда эти течения совпадаютп или д(Р) = 6.
Г Рнс. 84. Иллюстрвпяи к первой теореме сравнения Вторая теорема сравнения. Пусть два плоских или осесимметричных течения идеальной жидкости определены в областях Р и О, ограниченных линиями тока Г и Г, простирающимися до бесконечности. Пусть линии Г и Г имеют общую дугу МХ, такую, что вдоль МЖ скорости обоих тпечений направлены от точки М к точке 1т". Пустпь, кроме того, пересечение областей О и Р ограничено линией М1т', дугой ( — сю, М), принадлежащей линии тока Г, и дугой (1т', +со), принадлежащей линии тока Г (рис, 85).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
