Д.В. Маклаков - Нелинейные задачи гидродинамики потенциальных течений с неизвестными границами (1163230), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Тогда на основании теоремы 5.5 область течения с более длинной каверной обязательно неоднолистна, что противоречит лемме 5.6, поскольку у этого течения ун = О. Глава 6 Кавитационное обтекание гидропрофилей При очень больших скоростях движения профиля в воде избежать появления кавитации на его поверхности невозможно, и в этом случае гидропрофиль должен быть заранее спроектирован на режим кавитационного обтекания. В данной главе предложен численно- аналитический метод расчета обтекания профиля произвольной формы в режиме развитой кавитации. Этот метод может служить альтернативой известному методу Леви-Чивиты 1165] при исследовании кавитационных течений за криволинейными препятствиями.
Путем конформного отображения области течения на полукруг задача сводится к нелинейному интегральному уравнению, эквивалентному уравнению Вилла [198], и системе функциональных соотношений для определения математических параметров. Решение полученной системы уравнений классическим методом Леви-Чивиты сопряжено со значительными вычислительными трудностями, связанными с наличием на профиле участка большой кривизны вблизи носика.
Это приводит к необходимости отыскивать большое количество коэффициентов плохо сходящихся рядов Фурье. Анализу ошибок, возникающих при применении метода Леви-Чивиты к препятствиям с участками большой кривизны, посвящена работа 1130]. Здесь мы решаем интегральное уравнение методом дискретизации с аппроксимацией входящих в него линейных операторов матрицами с фиксированными коэффициентами.
Таким образом, процесс суммирования рядов Фурье заменен более алгоритмичным процессом умножения матриц на п-мерный вектор, компоненты которого определяют значения искомой функции в точках коллокаций. Аналогичный способ дискретизации для решения нелинейного интегрального уравнения был использован ранее Кингом и Блуром 1161] при расчете течения невесомой жидкости со свободной границей над неровным дном.
Следует заметить, что дополнительная си- 252 Глава б. Кавитацвопное обтекание гидропрофилей стема функциональных соотношений, необходимая для определения параметров, в задаче работы (161) не возникла. Кроме того, существенным элементом метода, развиваемого в данной главе, является аналитический способ вычисления якобиана системы уравнений на каждом шаге итерационного процесса Ньютона. Последний прием является основным ресурсом зкономии машинного времени и позволяет производить вычисления с высокой точностью на персональном компьютере.
Отметим, что расчеты кавитационного обтекания гидропрофилей по схеме Ву методом Леви-Чивиты были выполнены Конхойзером [162). При этом для исследования обтекания симметричного профиля НАСА 0012 удерживалось 64 коэффициента в соответствующем ряде Фурье. Схема Ву, однако, не позволяет определить длину каверны, и, следовательно, расчеты Конхойзера не дают полной картины кавитационного течения около профиля.
Некоторые результаты расчетов кавитационного обтекания профилей со скругленными носиками по обобщенной схеме Рябушинского с замыканием каверны на фиктивное тело, расположенное на засасывающей стороне профиля, приведены в монографии А.Н. Иванова (42). 817. Вывод системы уравнений 1Т.1. Постановка задачи и выбор схемы кавитационного обтекания. Пусть профиль заданной формы обтекается в режиме развитой кавитации плоским установившимся потоком идеальной несжимаемой жидкости. Предположим, что острая выходная кромка профиля совпадает с точкой отрыва потока В.
Вторая точка отрыва А либо фиксирована (посредством задания длины дуги омываемой части профиля), либо определяется из условия отрыва Бриллуэна. Вектор скорости невозмущенного потока на бесконечности направлен вдоль положительного направления оси я. Число кавитации 9 = Ц/Ъ'~ — 1, где Ъю,1' — скорости на границе каверны и на бесконечности соответственно. Форма контура профиля задана уравнением а = Р(э), где о — угол наклона касательной к профилю, а— дуговая абсцисса, отсчитываемая от точки В (рис. 89). 253 117. Вывод системы уравнений Области изменения комплексного потенциала И' и функции ЛевиЧивитыв ОИ', Ъ" Йь = г1п — = д+ г1 —, про» ~о' где 1» — модуль, а 8 — угол наклона вектора скорости, отобразим на единичный полукруг в плоскости вспомогательного переменного 1 = б + гг1 (] 1 ]< 1, 1пт1 ) 0) так, чтобы омываемая часть профиля перешла в полуокружность, а свободная поверхность — в ее диаметр.
При этом точке разветвления потока 11 соответствует точка 1. = ехр(1ее) на параметрической полуокружности, точке замыкания каверны С вЂ” начало координат в параметрической плоскости 1. Бесконечно удаленная точка перейдет в некоторую внутреннюю точку 1 = р ехр(иу ) (рис. 90). Рис. 89.
Картина течения в физической плоскости» -1 0 1 Рис. эв. Параметрическая плоскость г В качестве схемы кавитационного обтекания выберем схему Тулина-Терентьева [191], [112], которая характеризуется следующими свойствами. ~фуякпия Леви-Чивитм О» отличается от функции Жуковского м 1п (1о о»/оур) лишь миоиигелем. Глава В. Кавитациоиное обтекание гядроярофилей 264 1. Систему тело-каверна можно охватить замкнутым контуром целиком расположенным в области течения. П. Все линии тока начинаются в бесконечно удаленной точке и заканчиваются в ней же.
П1, У функции Пь(1) допускается минимальная особенность в точке, являющейся образом точки С схода потока. 7 бг 1гп ~ — Й=О, .Г' 61 (17.1) где г(1) — функция, осуществляющая конформное отображение канонической области в параметрической плоскости 1 на область течения, а интеграл вычисляется по любому замкнутому контуру, охватывающему в параметрической плоскости образ 1„бесконечно удаленной точки. При таких предположениях свойство 1 не выполняется и разложение функции т(1) в окрестности точки 1 будет иметь вид: «(1) = +а1!п~1 — 1 )+~~~ с„(1 — 1, )", (17.2) Льв Из свойств 1 и П вытекает, что топология течения здесь будет такой же, как и при безотрывном обтекании замкнутого контура. Свойства 1 и П, таким образом, находятся в противоречии с требованием постоянства скорости на границах каверны, так как у гладкого замкнутого контура скорость в точке схода потока равна нулю.
Примирение этого противоречия достигается за счет введения особенности в хвосте каверны (свойство 1П). Платой за "примирение" является сложный неоднолистный характер течения в окрестности точки схода потока. Для коэффициентов сопротивления и подъемной силы данная схема дает практически те же результаты, что и схема с возвратной струйкой Эфроса (см. [35]), но обладает тем преимуществом, что содержит на один математический параметр меньше и, следовательно, не требует исскуственных условий для замыкания системы уравнений. Способ замыкания каверны особенностью был предложен Тулиным 1191], ]192] при решении задач кавитационного обтекания в линейной постановке. Ларок и Стрит «163] использовали этот способ для решения нелинейных задач. В качестве дополнительных условий для получения замкнутой системы уравнений они предполагали, что циркуляция вокруг системы тело-каверна равна нулю и, кроме того, 255 117.
Вывод системы уравкеаий где а — действительной число. Так как а ф О, функция о(т) не является однозначной, и каверна замыкается на две конгруэнтные линии тока, простирающиеся до бесконечности (как в схеме Ву [201], [202]). Более сложное условие замыкания системы уравнений для схемы с особенностью Тулина было предложено недавно Ингхэмом и Веном [155] при исследовании симметричного течения около кругового цилиндра: верхняя и нижняя спирали, образующиеся в конце каверны„ должны касаться друг-друга.
При исследовании поставленной выше задачи кавитационного обтекания гидропрофиля будем использовать условие, вытекающее из свойства 1: (17.3) где интеграл берется по тому же контуру, что и в условии (17.1). Условие (17.3) представляется наиболее логичным и простым в математическом плане, так как из него следует однозначность отображаюшей функции т(1) (коэффициент а в разложении (17.2) равен нулю). Условие (17.3) было предложено А.Г.
Терентьевым [112]. 17.2. Нелинейное интегральное уравнение. Построим по особенностям производную комплексного потенциала о(Ит/ о)1: 0И' й$~ 1(12 — 1)(12 — 21соэп. + 1) 41 р4 (4 1 )2(1 ) ))2(1 ]/1 )2(1 1/1 )2 4 2 — о/( )~ (17.4) где 14 — постоянная, имеющая размерность длины. Функцию ЛевнЧивиты представим в виде суммы [35]: йо(2) = йо(1) + М(1' — 1)/1 + й(1), (17.5) 1 — ехр(ит,) о,=,— ° -,- ~ ото = Р(0) (17 б) 1 — 1ехр(ит„) ' Здесь йо — функция Леви-Чивиты для пластины, обтекаемой по схеме Кирхгофа, й(г) — аналитическая в полукруге функция, непрерывная вплоть до границы.
В соответствии с выбранной схемой кавитацнонного обтекания, в точке 1 = 0 функция Леви-Чивиты должна иметь полюс первого порядка [35], что и является причиной появления члена М(12 — 1)/1 в сумме (17.5), где М вЂ” действительная постоянная. С помощью формул (17.4) — (17.6) все характеристики данного потока могут быть выражены через функцию й(2) и параметры и, Глава 6. Кавитационное обтекание гицропрофилей 256 М, с,, 1, = р, ехр(!се,). В частности, конформное отображение с(1) параметрического полукруга на область течения имеет вид: о(со!о У ~, ! 1 с(1) = / — — сИ = й / ехр ~!Йо(1)+зМ вЂ” + ай(Ф) До)6!. ,/ 6 61,/ й(1) = ~ ~с„!", (17.8) а=1 где с„— действительные коэффициенты. При таком представлении условие постоянства скорости на границе каверны 1тпй(1) = 0 при 1=~, — 1 <( < 1 (17.9) будет удовлетворяться автоматически.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
