Д.В. Маклаков - Нелинейные задачи гидродинамики потенциальных течений с неизвестными границами (1163230), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Кавитирующив клин в продольном поле силы тяжести Отсюда следует, что ехр и' Йт < 1+— (16.7) Неравенства (16.2), (16.6), (16.7) доказывают справедливость соотно- шении (16.3). 1 йз 2 Г ст — — — | и*вша сЬт < О. 1 о (16.8) Доказательство. Предположим, что утвержттение леммы не верно. Тогда существуют такие последовательности (и ), Ра), что Е'[и, х„] М[и„, х„1 (16.9) (16.10) ~а а вт ь2 с ст —" — — / и„в)по йт > О, (16.11) о Покажем, что совместное выполнение соотноптени11 (16 9) — (16 11) противоречиво.
Из формул (16.10), (16.5) найдем, что е вш тт сов Ь„ (16.12) и„ М[.,й.)+8 |.1. -.Ь.б и где Ь„= Ф(в, х„) — 1зи„. Оценив с помощью (16. 2) знаменатель (16. 12) сверху и подставив полученное неравенство в (16.11), будем иметь | втп о' сов Ьа па < У4(хтъ). о (16.18) Лемма 5.5. Найдептся тттатсое число 0 < туз < 1, зависящее только ота д,а,1, т'в, что ара й = 1уг уравненае (т5.1) либо вообще не насеста решений и' й С[0, х), лабо 245 $16. Теоремы одяолистиости Здесь сс 1 — Ят ~4(я) = — о Уз(/с) + бг!. 2 яг С другой стороны, заметив, что от а ош Пи„с1 а < / 11 и» оси а Ы = о о т 1 — /с! — и»о!вайа < — о — », 2 я„ о легко показать справедливость неравенства ьйп а ~ 8!пса» ~ с1а < 15(сс»)~ о (16.14) где т 1 — кт ~о(1с) = / осп аоспФ(а','lс) с(а+ — о —.
2 я о 81птаба < А(/с„)+УБ(/с„). о (16.15) Функции Я»с) и „Со(Й) стремятся к нулю, когда й — 1, поэтому перейдя в (16.15) к пределу при и - оо, мы придем к противоречивому соотношению осп а с1а < О, / о из которого следует утверждение леммы. Итак, справедливость лемм 5.4 и 5.5 установлена. Перейдем к доказательству разрешимости системы (16.1). На множестве Я, введенном в предыдущем параграфе, рассмотрим оператор Е11 = (М[и, ЦЕ'[и, к1, Ри), (16.16) Заменив в опенкин (16.13), (16.14) соо сз„на соо тсз„, ! ош Ь„) на , [ зш сз„[ и сложив полученные неравенства, найдем, что 246 Глава б.
Кавптлрующнй клин в продольном поле силы тяпсестк где М(и, е] — функционал, определенный формулой (15.10), — ( Ри, если Ри = 112, если Ри < 122, Ри>Дг, Дбе17) 1 2 ( Ри = — -- ~ ив)ппбп+ 2а т/ о (16.18) Покажем, что оператор Ег имеет в 1~ по крайней мере одну неподвижную точку. Из формул (16,16) — (16.18) и леммы 5.4 следует, что всякая неподвижная точка Л' = (и', к') оператора уЕг при 0 < у < 1 удовлетворяет неравенствам 0 < "* < Фг йи йс < 2 1+ 6е 2 = )уг. (16.19) еиг )уг (1 — )22)2 (1 — Фг) 2 ( — — 1 ившп<Ьт+ о Отсюда вытекает неравенство 1 — 112 2 ( — и'вшпйп > О, Фг о Отсюда следует, что на границе множества Я рг, д„где )12 < йз < 1, Уз > Уг, уравнение Л = уЕг Л не имеет решений.
Кроме того, оператор Е1 вполне непрерывен на множестве Я,чзд, (доказательство этого факта проводится аналогично доказательству леммы 5,3). Следовательно, оператор Е1 удовлетворяет условиям теоремы ЛерэШаудера на множестве ЯИ, в, и имеет по крайней мере одну неподвижную точку, для которой справедливы неравенства (16.19). Покажем, что эта неподвижная точка является решением системы уравнений (16.1). В самом деле, противное может иметь место лишь тогда, когда Ри' > 112.
Но в этом случае й' = 112, и из соотношения (16.18) получим, что 247 $16. Теоремы одиолисткостя которое противоречит утверждению леммы 5.5. Следовательно, неподвижные точки оператора Е~ являются решениями уравнения (16.1) и теорема 5.4 доказана. Таким образом, мы установили, что при д > 0 всегда существует простое течение с замкнутой каверной и заданными значениями д, о, 1, Ьв. Следующая лемма говорит о том, что область такого течения является переходной от однолистной к неоднолистной. Лемма 5.6. При д > 0 длл однолистности области простого течения необходилсо и досгааточно, чтобы ордината точки В была неотрицательна, то есть рн >О.
(16.20), Доказательство. Необходимость условия (16.20) очевидна, докажем его достаточность. Предположим противное: пусть дв > 0 и на свободной поверхности АВ существуют точки, лежащие ниже оси х (рис. 87). Рвс. 87. К доказательству всиомогвтельиоя леьоиа 5.6 Обозначим через М наинизшую из этих точек, а через У вЂ” наивысшую из точек свободной поверхности, лежащих правее точки М. Проведем через М и Ф параллельно оси х лучи МР и ХЯ в отрицательную и положительную стороны соответственно и рассмотрим течение выше кривой РМ МЦ.
В силу следствия 2 теоремы 5.2 график кривой МХ есть однозначная функция абсциссы х. Пусть д(М), д(Х) и д(М), д(М) — скорости в точках М и Ф соответственно для реального и построенного течений. Так как хм < хж, то из уравнения Бернулли вытекает, что (16.21) д()11) < д(М). 248 Глава 5.
Кавитнрующий клин в продольном иоле силы тяжести Будем перемещать построенное течение параллельно самому себе до тех пор, пока смещаемая точка )ч' у него не совпадет с исходным положением точки М, В результате мы получим два построенных течения, совпадающих с точностью до сдвига, одно из которых лежит ниже другого, за исключением одной общей точки.
Применив к ним теорему Лаврентьева, найдем, что у(1у) < 4(М). (16.22) Из формул (16.21) и (16,22) заключаем, что д(М) д(М) д(Ф) ЯФ) Но согласно второй теореме сравнения д(М) д(М) д(У) д(Ф) Полученное противоречие доказывает достаточность условия (16.20). Итак, мы получили необходимое и достаточное условие однолистности области простого течения при д > О. Однако неравенство (16.20), вообще говоря, не решает вопроса, поскольку ордината ун заранее не задана. Критерий однолистности, выраженный через исходные гидродинамические параметры задачи д, а, 1, Ьл, Ьп, дает следующая теорема.
Теорема 5.5. При у > 0 для однолистности области простого течения необходимо и достаточно, чтобы (16.23) 1А < еА~ где Г" — скорость в точке А для простого течения с замкнутой хаеерной и теми зесе значениями у > 0,0 < о < х/2,1 > О, гв ф О, что и у исследуемого течения. Доказательство.
Мы ограничимся лишь доказательством достаточности этого утверждения. Необходимость доказывается аналогично. Пусть 1л < гл и область течения неоднолистна. Тогда в силу леммы 5.6 величина ун < О, а из равенства (15.7) следует, что (16.24) 218. Теоремы одиолистиости В" 111 Рис. 88. К доиавателъству теоремм 5.5 где Ь и Ь* — длины каверны исследуемого течения и течения с замкнутой каверной соответственно (рис. 88). Течение с замкнутой каверной будем называть течением 1, исследуемое — течением П.
Пусть скорости на бесконечности течений 1 и П есть у';„и у' соответственно. Будем смещать течение 11 вниз до тех пор, пока граница его не окажется целиком ниже границы течения 1, за исключением некоторых общих точек. Легко видеть, что обязательно найдутся общие точки, принадлежащие свободным поверхностям обоих течений. Тогда из уравнения Бернулли, теоремы Лаврентьева и следствия 2 теоремы 5.2 вытекает, что для некоторой точки 0 < я' < Е (начало координат здесь помещено в точку В (рис. 88)) будет выполняться неравенство < ув + 2дт*. $/ е р' Отсюда следует, что (Рн + 2дя.)(Ую $, 2) + 2д(Ь Ь))У;„< 0 (16 25) Приняв во внимание неравенство (16.24), из соотношения (16.25) найдем, что р' > $~ Усилив неравенство (16.25) подстановкой вместо я* величины А, получим )~ ° 2()ут 1 2дц > 1, 2 ();2 (16.26) С помощью преобразования подобия относительно точки Я с коэффициентом растяжения Ь'1ь преобразуем область течения П в область 250 Глава 5.
Кавитярующий кляп в продольном ноле сялм тяжести течения Пз, сохранив скорости в соответствующих точках. Будем смешать полученное течение Ш вверх. С помощью теоремы Лаврентьева найдем, что для некоторого значения 0 < к* < Ь' должно выполняться неравенство — Ъ~ +2д — к* < К +2дя . ос 2 * 3 о Отсюда с учетом того, что $~,"„> й, после элемеитариййй иреобраэо- ваний получим \~'з(1тоз + 2дЬ) < Р~~11соз + 2дЬ'), (16с27) Соотношения (16.26), (16.27) взаимно исключают друг друга. Следовательно, наше предположение было не верно, ун > О и достаточность доказана.
Полученный критерий однолистности (16.23), однако, не является полностью олределенлыхб поскольку зеы ке лекаэзлк, что скорость вл является однозначной функцией д, а, 1, 1сн. Вопрос об однозначности этой функции решает следующая теорема. Теорема 5.6. Может существовать лишь одно простое течение с замкнутой каверной и заданными значениями д > О, о,1, 'вн. Доказательство. Если таких течений существует два, то согласно теореме 5.2 длины каверн у них различны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
