Д.В. Маклаков - Нелинейные задачи гидродинамики потенциальных течений с неизвестными границами (1163230), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Тогда скорости 227 $15. Теоремы существования и единственности течений в точках М и 1т' удовлетпворяют неравенству 4(М) о(М) 4(~) ' -4(В) при условии, чтпо д(1т'),4(1т) ф О. Равенство достигается только тогда, когда зти течения совпвдвютп или 4(М) = О. Рис. 85. Иллюстрация ко второй теореме сравнения Будем называть кавитационное течение около клина простым, если оно обладает следующими свойствами: а) свободные поверхности АВ и А'В' не имеют точек самопересечения; б) скорость 1т на АВ, А'В' ни в одной точке не обращается в нуль; в) абсцисса точки В больше абсциссы точки А: ХВ ) хл,' г) абсциссы х точек свободных поверхностей АВ и А'В' удовлетворяют неравенству хл <х <хв Эти течения и будут объектом нашего исследования.
Задача настоящего параграфа состоит в установлении необходимых и достаточных условий их существования, если известен набор исходных физических параметров задачи: д, а, 1, 1'А, 1'В. Отметим, что область такого течения необязательно однолистная, так как свободные поверхности АВ и А'В' могут перехлестываться между собой. В предыдущем параграфе мы показали, что если функция рк б С[О,к) удовлетворяет уравнению (14.16) при некотором 0 < и < 1, то формулы (14.17), (14.6), (14.5) ставят в соответствие 223 Глава В. Кавнтнруювтпй клин в продольном ноле снлы тяжести этой функции половину кавитацнонного течения с заданными значениями д, о,1, 1тв.
Однако вопрос о том, будет ли это течение удовлетворять свойствам а) — г), остается открытым. Обозначим Ь = Ф(а, к) — Ои. Заменим в уравнении (14.15) функцию сов те, функцией Т(Ь), такой, что О, если тз > тг/2, Т(тл) = сов та, если — тг/2 < т5 < в/2, О, если Ь < — в/2, и рассмотрим преобразованное уравнение Е'[и, к] М[и, а] (25.1) Докажем лемму. Лемма 5.1. Пусть заданы значения параметров д, 0 < а < к/2, 1 > О, 1тв > О и 0 < к < 1.
Если функтгия и' б С[0, в] является решением уравнения (15.1), то она будет и решением уравнения (Ц.1б); формулы (Ц.17), (Ц,б), (Ц.б) ставят в соотпветствие этой функттии простое течение в физической плоскостпи г, у которого угол наклона вектора скорости на свободной поверхности АВ Ь'(а) = Ф(а, к) — Ри* удовлетпворяет неравенстпвам к тт — — < йт'(а) < — при 0 < ст < к. 2 2 (15.2) 1Эиртмо = О, Риитмл = О, Ь'(0) = ок, Ь (тг) = О.
,Цоиазательство. Пусть и' б С[0, в] — решение уравнения (15.1). Покажем, что в этом случае справедливо неравенство (15.2). Остальные утверждения леммы будут вытекать отсюда как следствия. Предположим, что св* < — тг/2 в некоторой точке а б (О, к), и рассмотрим точку 0 < тт' < тг, в которой Ь'(а) принимает свое минимальное значение. Существование такой внутренней точки из интервала [О, к] следует из того факта, что на границах интервала имеем 115.
Теоремы существования в единственности В точке а', очевидно, выполняется неравенство Ь' < — г/2. Отсю- 6р да согласно (15.1) будем иметь — (и') = 0 и на основании формул <Ьт (14.2) — (14.4) получим 1 Воспользовавшись тем, что !и — и Ь'(и) — граничные значер(а) ния двух сопряженных гармонических функций — 1п Р'(5, и) и д((, и), найдем, что 4д 4 1 — = — 1и — = О, (15.3) дп ], = ° сЬт 'г'(а) [ где и — внутренняя по отношению к области Ос нормаль к полуокружности единичного радиуса в параметрической плоскости 1.
Но в точке ехр(Ы') гармоническая функция д(5, и) достигает своего абсолютного минимума. Поэтому, согласно принципу максимума [16, стр. 106], имеем 46 — ) О. (15.4) бн[.=.. Соотношения (15.3), (15.4) взаимно исключают друг друга, следовательно, Ь' > — т/2. Аналогично можно показать, что Ь' < т/2. Итак, справедливость неравенства (15.2) доказана, Из него сразу следует, что решение и* уравнения (15.1) является решением уравнения (14.16). Покажем теперь, что соответствующее этому решению течение в физической плоскости г является простым. В самом деле, из соотношений (14.6), (14.13) найдем, что скорость на свободной поверхности может быть представлена следующим образом *г'(и) = е "1'1 = рв ехр к' Ы (15.5) В силу того, что 1'и ф О, а и* Е С[0, т], из представления (15.5) следует свойство 6). Из формулы (14.5) найдем, что е я(е) — хл — — 2~ро зш п ехр(-Ли') сов Ь' (Ь.
О 230 Глава а. Кавитнрующнй клин в продольном поле силы тяжести Приняв во внимание неравенство (15.2), из этого соотношения выведем, что функция х(о) — монотонна. Отсюда вытекает, что кривая АВ не имеет точек самопересечения (свойство а)) и, кроме того, хв — хл > О, хл < х(о) < хв. Следовательно, выполняются свойства в), г) простых течений. Таким образом, лемма 5.1 полностью доказана. Перейдем теперь к вопросу существования течений с заданными значениями параметров д, а, 1, йл, 'йв. Теорема 5.1.
Для существования проетово течения е заданными значениями параметров д ф О, О < а < 1/2, ! > О, Ил > О, $'в > О необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство (15.6) д(Ъл — Рв) > О Доказательство. Из условия постоянства давления на свободной поверхности АВ имеем ил + 2дхл = рв + 2дхв. Отсюда хв — хл = — [и — И ].
2 2 л В ' (15.7) В силу того, что для простых течений выполняется неравенство хв > хл, из формулы (15.7) вытекает необходимость условия (15.6). Покажем достаточность этого условия. Согласно лемме 5.1 решению и' уравнения (15.1) соответствует простое течение с заданными значениями параметров д, а, 1, Ув. Из формулы (15.7) найдем, что задание скоростей 1~л, Ъв и ускорения силы тяжести д эквивалентно заданию величин йв, д и длины каверны Ь = хв — хл. Тогда из формул (14.5), (14.17) получим, что для доказательства существования течения с известными параметрами д, а, 1, йл, Чв достаточно показать, что система уравнений 231 115. Теоремы существоваиия и едииетвеииости Е'[и, к] М[и, к] Мс[и, 1с] М[се, Ц (15.8) где М1[о, Ц = 2 э(поехр( — Ли) соя[4(а, и) — ЛЛи]с(в, О ][Л]]н = []о[[с+ ! й ]. На множестве Ц С В, таком, что если Л = (о, к) б с,), то и < 1, рассмотрим оператор ЕоЛ = (М[и, к]Е'[и, к], Л+ 5 — М[р, 5]Мс[о, к]).
(15.9) Здесь 1 /М[и, Ц), если й > О, И[и,1] = (15.10) О, если Л < О. В силу того, что операторы Ли, Ви переводят пространство непрерывных функций С[0, и] в себя, оператор Ео отображает множество Я в В. Из формул (15.9), (15.7) найдем, что элемент Л" = (и*, к') Е Я может быть неподвижной точкой оператора Ео лишь тогда, когда й" > О. Но в этом случае пара и' Е С[0, к], 0 < й' < 1 является решением системы (15.8). Следовательно, для доказательства разрешимости последней достаточно показать, что оператор Ео имеет в Я хотя бы одну неподвижную точку.
Докажем две вспомогательные леммы, которые позволят применить теорему Лерэ-Шаудера к оператору Ео. Лемма 5.2. На миоассеетве Ян О, таком, что если Л = (и, lс) е Яесвс, то !]о[[с <Лс, ]5!<А 1 ['л (н]1 2д А имеет решение и' б С[0,и], 0 < lс' < 1. Введем банахово пространство В = С[0, я] х В (Я вЂ” пространство действительных чисел) с элементом Л = (и, к) и нормой 232 Глава а, Кавитпрующий клин а продольном поле силм тяжести где 0 < 1г' < оо, 0 < )г < 1 — действительные числа, оператор Ео является вполне непрерывным. Доказательство.
Операторы Ли, 11и вполне непрерывны в пространстве С[0, т] (см. [16, сгр. 206]), функция Ф(т, в) равномерно непрерывна по и и в при [ и [< )1, 0 < о < т, функции Т(сь), ез",е" удовлетворяют условию Липшица на любом ограниченном участке действительной оси. Отсюда следует, что оператор ЕоЛ вполне непрерывен на множестве 0мд, если только функционал М[о, Ц ограничен и непрерывен на этом множестве. Пусть Л = (и, и) б Ян в. Из формулы (14.15) найдем оценку нормы линейного оператора зьс [Щ< (15,11) Отсюда при и > 0 имеем где учтено, что при и < с < 1 выполняется неравенство 1 — 1( > 1.
5 †При 5 < 0 справедливо равенство М[и,1] = О. (15.13) Из соотношений (15.12), (15.13) вытекает, что сан~ [ М[~,Л] [< (15,14) и, следовательно, функционал М[н, 1е] ограничен на множестве Ямд. Покажем непрерывность функционала М[и, Ц по и при заданной функции н(С). Для этого оценим производную с(М[и, й] сй При се < О очевидно, что (15.15) р=О, 113.
Теоремы существования н единственности 233 Для оценки величины р при й > О рассмотрим аналитическую функ- цию 1 — гг 11 — Н1 У(1) = — ~ — ~ ехр (т(и](т)) . Проинтегрируем ее по границе области С„обходя точку Н по полу- окружности бесконечно малого радиуса (рис. 83). Выделив из полу- ченного равенства мнимую часть, с помощью теории вычетов устано- вим, что — 2 япо ехр( — Ли)в1п(Ф(а,й) — Ои]бт о (15.15)) где Бо — линейный фуихпиоивл, опреде.оеииь й равенством 1 Г Бои = — / и(о)асЬт.
о (15.17) Использовав соотношение (15.16), придем к выводу, что при 1с > 0 .', а -г /1 — 5г (1 — 551" р = — / — ~ — ~ ехр( — Би) й5 х / бг 1 г та х — ) — — ехр( — Бои) х в(пат 1 А +' (1 5 2( х а — — — / ив(пи(Ьт — — ехр(-Бои)(1+5 )+ ,/ йе+г о яп и ехр(-Ли) сов ]Ф(и, Й) — Ои] Ьт +8а / (1 + 5)г 18 (о/2) + (1 — Й)г сг8 ( т/2) о Из зтого выражения для производной р, приняв во внимание, что '3Л(] < т, М(и, Ц = —, — ехр( — Бои) в(пат ~ й" 1 — 1г 2 / а — -/ ив(папи о 234 Глава 5. Кавптпрующпй клин в продольном поле силы тяжести будем иметь оценку р1 — — М[и, Ус1] — М[и, йг] при [ йг ],[кг ]< д.
В самом деле, ИМ[и, Уе] ок 1 с(М[и, Ц -1- Прг41вййив здесь неравенство Гельдера, с помощью равенства (15.15) и огвруки (15.18) найдем, что (15.19) ] рг ]<[ йг — Уст [ гг()1' УУ,ог), где (Уч',уУ,о1) = [Ягь(,УУ)], О < а1 < 1 — о. 1 — о — о1 Из неравенства (15.19) следует непрерывность по к функционала М[и,к] при заданных и. ПустьтеперьЛг — — (имйг) Е с,1ч„у, Лг - -(иг,кг) б фар. С помощью соотношений (15.11), (15.14), (15.19) получим [ М[и1,йь] — М[иг,йг] [<[ М[иь, Ц вЂ” М[иг,йг] [+ езкл + [ М[иг, йг] — М[иг, Йг] [< к[[и — и1 [[с+ у)г +Уг(Ф,Р,о~) [ /с~ — Ьг [ ' . Отсюда вытекает непрерывность функционала М[и, Ус] на множестве Ялд, а, следовательно, и справедливость утверждения леммы. Лемма 5.3.
Пусть Л' = уЕаЛ есть однопараметрпческое семейство отображений множества Я в В. Если Л* = (и', Уе") б Я есть неподвижная точка оператора тЕо прп некотором О < т < 1, то выполняются неравенства (15.20) О < Ус* < 81 < 1, ез 'чо / 8 Л 1 Л(УУ, УУ) [р[< . [ка+4Ф+2к-1— ( 1 — УУ)4 а1п от ] УУг) ьо Уса (15.18) 'СЬотношения (15.15), (15.18) позволяют оценить разность 235 115. Теоремы существование и единственности ]]и']]с < Фм (15.21) где ~У», Лсг — действительные числа, завнстцне только вт значений параметров д, а, 1, К», )сн. (и',1»") = 7 (О,в*+А), или и' = О, а* = 7(й" +Ь).
Отсюда получим, что (1 7)й = [ьл Рв] 2д Последнее равенство невозможно, поскольку, сопнасно предположе. нию, в" < О, а по условию (15.6) А в>0 2д Для доказательства остальных неравенств леммы предварительно получим оценки сверху и снизу функций ехр( — Ли'), ехр( — Би') и оценку сверху величины Мг[и', й'] М[и*,5'] ' Из соотношений (15.9), (15.10) выведем, что 1Л "В М»[и " ] 1 7ат 2д М[и', а" ] у 21 7 Величина — й' > О, поэтому справедлива оценка 7 М1[и*, а'] $~г 'йнг М[и", в'] 4д1 (1$.22) умножив обе части равенства Е'[и", (е" ] М[и', в "] Доказательство. Пусть Л" = (и*, в*) Е Я есть неподвижная точка оператора 7Еа и 0 < 7 < 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
