Д.В. Маклаков - Нелинейные задачи гидродинамики потенциальных течений с неизвестными границами (1163230), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Коэффициенты с„должны быть найдены в ходе решения задачи таким образом, чтобы полученный с помощью отображения (17.7) контур имел заданную форму. Основу метода, развиваемого в данной главе, составляет интегральное представление функции й(1). Пусть й(е'") = Л(п) + !р(с). Продолжим аналитически с помощью краевого условия (17.9) функцию й(!) с верхнего полукруга на весь круг. Использовав формулу Шварца, найдем представление аналитической функции й(1) через действительную функцию Л(а): е 1 — 1т /' Л(с)бс к,/ 1 — 21 соо с + Р о (17.10) Выведем теперь интегальное уравнение для определения Л(с). Из формулы (17.10) нетрудно получить связь между действительной и мнимой частями функции Й(1) на параметрической полуокружности, соответствующей омываемой части профиля: (17.11) где С вЂ” линейный интегральный оператор вида СЛ = — / (Л(с) — Л(у)] ~с1к — — с!к — ~ !Ы.
(17.12) 1 / с+7 с — 71 2т,/ 2 2 о (17.7) Таким образом, гидродинамическая задача сведена к отысканию аналитической функции Й(1) и параметров !о, М, с„1„. Отметим, что в методе Леви-Чивиты функция й(1) отыскивается в виде ряда 117. Вывод системы уравнений я(а) = й / д(7) ехр( — СЛ вЂ” 2М сйп г) г)7, о где 4 ягп 7[1 — соя (7 + а,)] д(т) [1+рт — 2р соя(7 — а~)] [1+р~~ — 2р~соя(7+а~)] Для функций йо(Г) + М(гт — 1)/1 и йь(1) на параметрической окруж- ности выпеваются условия [ гт — 1] ( ао — гг при О<а<а„ Ке]й +М— ) ~ ао при а,«т<т, а — т при ] а при 0 < а < о., а„< о'< т.
Отсюда с помощью формулы (17.5) найдем, что Л = а — ао, и нели- нейное интегральное уравнение для определения функции Л(а) будет иметь вид а й д(т) ехр( — СЛ вЂ” 2М сйп 7) г(7 . (17.13) о Л(а) = — ао+ г" Заметим, иго это уравнение отличается от уравнения Вилла [198], в котором искомой функцией является зависимость я(а) дуговой абсциисы я от полярного угла а, а не Л(а). Для рассматриваемой задачи уранение Вилла приобретет вид: «(а) = )с д(т) ехр( — Сг [я(я)] — 2Мя(пт) г(7.
о (17.14) Уравнения (17.14) и (17.13), очевидно, эквивалентны. С помощью формул г)я/ г1а = ] бя/ Й[, (17.7) и (17.11) дуговую абсциссу я контура профиля представим как функцию полярного угла а в параметрической плоскости: 258 Глава б. Кааитаяионное обтекание гидроярофилей 17.3.,Дополнительные соотношения для определения математических параметров. Для определения параметров и, М, н., р~, н необходимо получить пять дополнительных соотношений. Задание длины дуги ! омываемой части профиля приведет к уравнению вида я д(7)ехр( — СЛ вЂ” 2Мз(п у) 87 = !. о (17.15) Здесь же рассмотрим требование выполнения условия гладкого отрыва Бриллуэна в верхней точке отрыва потока А. В книге (16, стр.
104] показано, что отрыв будет гладким (то есть кривизна свободной поверхности в точке отрыва будет равна кривизне омываемого контура), если й'( — 1) = О. С помощью представления (17.10) выразим условие гладкого отрыва через функцию Л(п): т 18 — ' + у Л (-у) 18 — 87 = 2тМ. ! ~ 7 2 .! 2 о (17.16) В зависимости от варианта постановки задачи при решении будем использовать либо уравнение (17.15), либо (17.16). Задание числа кавитации Я и направления скорости на бесконечности приводит к условию й(1„)+йэ(1„)+М вЂ” +г1п(Я+1) =О, (17.17) !2 1 1 2 !й'(! ) + !М(1+ — „) + — +, + !.„— ехр( — иг, ) (17.18) ! 2~„, + — 0 р а(пи р~ — 1 Условие (17.18), как и (17.17), после разделения действительной и мнимой частей даст еще два дополнительных действительных соот- ношения между параметрами.
которое при разделении действительной и мнимой частей даст два вещественных соотношения. В соответствии с принятой схемой кавитационного обтекания необходимо выполнить условие однозначности отображающей функции (17.3). С помощью теории вычетов найдем 259 118. Численный метод Полученная система уравнений (17.13), (17.15) — (17.18) представляет собой замкнутую систему соотношений для определения функции Л(гг) и пяти неизвестных параметров гс, М, гг„, р, гг при заданных функции Е(и), числе кавитации 1,1 и длине 1 омываемой части контура. Последний параметр не входит в число определяющих параметров задачи, если используется условие отрыва Бриллуэна.
Как частный случай рассматриваемой задачи было исследовано обтекание профиля по схеме Кирхгофа. Неизвестными здесь являются только два параметра )г, гг„так как число кавитации Я равно нулю, а условие однозначности отображающей функции вырождается в тождество. При этом в (17.13) имеем д(7) = 81п 7[1 — соз(7+ гг,)], а соотношение (17.17) примет вид 318. хХисленный метод )7(гг) щ ) Н(71)А1(сг), (18.1) гкц где А;(Оч) = бгу, у = 1, Ж; А" (0) = А" (гг), б;, — символ Кронекера: О, если 1 ф,~, ] 1, если 1= 7', 18.1.
Дискретизация системы. Для дискретизации системы (17.13), (17.15) — (17.18) на отрезок [О, гг] нанесем сетку узлов 'у;, 1 = 1, Ф; 71 — — О, 7Н = 1г и будем искать значения функции Л; = Л(53) в узлах 71. Пусть функции Аг(гг), 1 = 1, 11Г, представляют собой систему фундаментальных кубических сплайнов [3] на сетке 71 с нулевыми граничными значениями для вторых производных на концах интервала [О, т]. Тогда для любой дважды непрерывно-дифференцируемой функции В(гг) на интервале [О, т] можно записать аппроксимационную формулу Глава 6. Кавитапионное обтекание гидропрофилей 260 '1 М Л(7) 67 = ~ В;„Лу, о ,1'=1 1= 1,Ф, (18,2) е М Л(7)67 ж~~~ а Л,, о ,1 =1 (18.3) Й'(1 ) ж ~~~ й' (1~)Л1, (18 4) '1 а 1 — 1т) ВВ = / А (7) 117, а, = Яв11, й (1) = а,(1 — 1 ) я(1 — 21 сок 71 + Р) ' о В операторе СЛ и функционале )о Л'(7) Чй 7 67 при вычислении подыятегральных функций необходимо знать производные функции Л(1т) в узлах сетки.
Так как из (17.13) следует, что Л'(0) = Л'(я) = О, то для аппроксимации производных функции Л используем систему фундаментальных кубических сплайиов В1(а), у = 1, Х, с пулевыми граничными значениями для производных иа концах интервала [О, я]: В,(7,) = б11 у = 1, В; В'(0) = В'(я) = О.
Тогда СЛ в ~~~ С;,.Л,, при 7=7, 1=1,Ф, (18.5) т М Л (7) 187 о7 Е 11Лу о 1=1 (18.6) — ~с18 — сааб — ~, 1 ф. 7', а ( 71+7 71 — 7*-1 2я~ 2 2 В'(71) + г1 т а, ( 7,+7~ 7,— 711 — — с18 — с$8,1 = У', 2я~ 2 2 1=1,111 — а1 и 1Ч-1 11 = у а; 18 — 'В, '(71) — 2аю В,"(я). ~=1 Формулу (18.1) будем использовать для аппроксимации подыятегральных выражениЯ в системе (17.13), (17.15) — (17.18).
Тогда получим 261 118. Численный метод Подставив формулы (18 2) — (18.6) в (17.13), (17.15) — (17.18), получим систему И+ 5 уравнений с 71г+ 5 неизвестными Лг (г = 1, Лг), 1, М, гт„ рсо, гтсо. Дискретные аналоги уравнений (17.13), (17.15) примут вид Лг = о 5~~г Яггдг.ехр( — ~ ~С,»Л» — 2Мзгпйу) — оо, 1=1 »=1 /с ~а,д; ехр — ~ Сг»Л» — 2Мзгпуг 1=1 (»=1 Здесь д = д(71 ), 1 = 1, Лг Условие Бриллуэна (17.16) запишем так я»8 — *+ ~ ~л Л = 2ггМ. 2 1=1 Дни соотношений (17.17) и (17.18) получим соответственно ехр 1~ ~Й (г )Л. — ~л+ 1 . х г'=1 12 хехр 1М( )+1'(гг — оо) = О, 1 1 2 +М(1+ г)+ + + гг 1 г х(;, ) 1 2е-ге + — = О.
р,„, згп гт,„, р,„, — 1/р~ Решение этой дискретной системы будем искать методом Ньютона. Квадратурные коэффициенты огг, ау, С,, л' (г',д = 1,Х) зависят только от положения узлов сетки 7, и их можно вычислить заранее. Вид формул (18.2) — (18.6) позволяет на каждом шаге итерационного процесса метода Ньютона заполнять якобиан системы аналитически, что значительно сокращает время вычислений. Созданный алгоритм реализован в виде программы на языке Фортран 77, работающей в диалоговом режиме и позволяющей задать форму обтекаемого профиля в виде массива точек, а также число кавитации, угол атаки ол и положение точки отрыва.
Нулевое приближение при расчетах 262 Глава б. Кавитацнонпое обтекание гидропрофилей выбиралось при малых значениях параметров 1, 1) и ов по способу определения нулевого приближения для слабо наклоненной плоской пластины 135, стр. 163]. Приближенные формулы из 135] для параметров и„, М, 1 „, к приобретут вид: о = агсгй ~ — ~/4+)1т — 2, М = — — ~,~4+~уз — 2, 14 Я Ь 16 -1 — 1(1 — Н) 1 ( — к = — (' фу) ехр(-2М з1п у) д у с+1(1+ и') о где с = — ~/4 +,У вЂ” 2, Ы = — ~/4+ Вт + 2, В = 1~/оо 1 1 2 2 При хорошем нулевом приближении решение с точностью 10 а достигалось за 4-5 итераций.
Время расчета одной итерации при Ф = 60 на 1ВМ РС(АТ-486 составило около 1 секунды. 18.2. Результаты числовых расчетов Для проверки зффективности метода был выполнен тестовый расчет обтекания кругового цилиндра. В монографии 135] приведены результаты расчетов Н.А.
Гладковой и А.Г. Терентьева симметричного обтекания круго- ваго цилиндра с определением точек отрыва из условия Бриллузна. При тестовом расчете нижняя точка отрыва В на цилиндре выбиралась согласно данным (35], а верхняя точка отрыва А определялась из условия Бриллуэна, В результате получалось симметричное течение как для схемы Кирхгофа, так и для схемы Тулина-Терентьева. Козффициенты сопротивления совпали с данными [35] с точностью до 10 4, а длины каверн — с точностью до 10 ~. Формы каверн за круговым цилиндром при различных числах кавитации Я показаны на рис.
91. Систематические числовые расчеты были выполнены для профиля Жуковского. Форма профиля и функция а(з) показаны на рис, 92. Если принять хорду профиля за единицу, то геометрические характеристики его таковы: толщина к = 11.82%, радиус кривизны в носике г = 0.016, периметр Р = 2.053. На рис. 93 представлены зависимости С,(!) для обтекания профиля по схеме Кирхгофа при фиксированных углах атаки, равных 5, 263 118, Численный метод 0 2.5 5 7.5 10 12.5 к Рис. 91.
Формы каверн за круговым палиндром нри различных числюг кавитапви гк У 0.25 0.25 0.5 0.75 к 100 -100 Рис. 92. Форма профиля Жуковского (а); фуикнни г'(з) для зтого профиля (Е) 264 Глава б. Кавитациоиное обтекание гидропрофилей 0.044 0.02 о 1 1.2 1.4 1.6 1.6 Рнс. 93. Зависимости Сх(1) для профиля, обтекаемого по схеме Кирхгофа 0.03 0.02 1.2 1.4 ! Рис. 94. Завискиости Сх(1) для профиля, обтекаемого по схеме Тулина-Терентьева, при различных числах кавитации о -0.2 — 2 0 2 4 6 л Рис. 95.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
