Д.В. Маклаков - Нелинейные задачи гидродинамики потенциальных течений с неизвестными границами (1163230), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Нетрудно видеть, что 5" > О. В самом деле, если /е* < О, то из формулы (15.10) следует, что 236 Глава 6. Кавптнрующий клин в продольном поле силы тяжести на ехр(2Ли') и проинтегрировав полученное соотношение от 0 до т, будем иметь д= ' =~[ Р(2у '1) — 1]. Подставив это выражение для величины д в неравенство (15.22) и приняв во внимание, что и'>О если д>0 (15.23) и" <О, если д< 0 (справедливость неравенств (15.23) следует непосредственно из фор- мул (15.9), (15.10)), придем к следующему соотношению: Н1(д) < ехр( — Ли') < Н(д), (15.24) где 1, при д>0, кл/ив, при д < 0; Н(д) = ) ив/Ъ'л, при д > О, 1, при д< 0. Для получения оценки функции ехр( — Би) заметим, что гармоническая функция Ве(1[и)(~+ 10)) (и б С(0, т]) не может достигать абсолютного экстремума на действительном диаметре полукруга Со Этот факт следует из краевого условия (14.7) и принципа максимума.
Поэтому пппЛи < Би < тахЛи. (15.25) Отсюда с учетом неравенств (15.23), (15.24) выведем, что (15.26) Н1(д) < ехр(-зи') < Н(д). Итак, требуемые оценки (15.22), (15.24), (15.26) получены, Докажем теперь, что для любой неподвижной точки Л' = (и", а') б Я оператора уЕо справедливо неравенство к' < Ну < 1. Предположим противное: пусть для всякого 0 < ф' < 1 существует решение Л' = (и',к') б Я уравнения Л = уЕоЛ при некотором 0 < у < 1, причем к* > ф'. Тогда можно указать такие последовательности ('у ) (Ло) (О < у„ < 1, Л„ = (и„,й„) б 9), что Лв = уоЕОЛ», (15.27) !!5. Теоремы существования в единственности 237 !нп б„= 1.
о со (15.28) Покажем, что совместное выполнение соотнес й (15 27) (15 23) пРотивоРечиво. Дла этого Рассмотрим последопательности положительных чисел 1 бг г! бо = М(ип, бо) = / —, ~ ~" ~ ехц $и„) !г о б„' = Мг[и„,б„) = в!паехр(-Ли„)с А о би = ехр( — Ли„) сов Ь„ба, о / б' = ехр — — Л! и„ас)а о о Ь„= Ф(о., lс„) — Ои„. Вычислим пределы этих последовательностей ппи и неравенствам (15.26) имеем б„< Н(д) Следовательно, 1пп б„ = О. о оо (15.2Щ Из (15.22) найдем, что 2 2 б' ~ А Вб„. 4д! Отсюда с учетом соотношения (15.29) получим !пп б„' = О. в оо (15.39) 238 Глава 5.
Кавнтнрующнй кляп а продольном поле сялм тяжестн С помощью равенства (15.30) можно показать, что и (15.31) !пп 6'„' = О. В самом деле, пусть О < е1 < я/2 — некоторое действительное число. Представим величину 6" следующим образом 6„" = ехр( — Лсс„) соя са„ ест + ехр( — Лсс„) созс5а с(сг+ о с с! с-сс + ехр( — Лра) соз Ь„с)сс. сс Оценив в выражении (15.32) два первых интеграла с помощью второго неравенства в (15.24) и заметив, что при к1 «т < я — е1 справедливо НЕраВЕНСтВО З1П Сс/З1ПГ1 > 1, ИЗ фсрМуЛЫ (15.32) ПОЛУЧИМ 6„" < 2Н(у)е1+ —," э(п е1 Перейдя здесь к пределу при и — оо, будем иметь Пт 6н < 2Н(у)С1.
и оо Поскольку число с1 выбрано произвольно, равенство (15.31) справедливо. Для вычисления предела последовательности (6„') воспользуемся следующим выражением для величины 6„" 1 6,", = — 6„' — згп асс / — ~ " ~ ехр( — Бра) с(6. (15.33) йа" / 6~5 /с Его можно показать, проинтегрировав аналитическую фупицию а У1(М) = — — ехР(К[1](ю )) по границе области Сс.
При этом точка Н обходится по полуокружности бесконечно малого радиуса, и в полученном уравнении нужно выделить мнимую часть. 239 116. Теоремы существования н единственности Из соотношений (15.33), (15.2б) найдем, что и согласно формуле (15.31) (15.34) !пп 6„' = О. о оо Итак, мы показали, что все последовательности (6„), (6'„), (6о), (6„') стремятся к нулю при и — оо. Однако из первого неравенства в (15.24) следует, что 6„' ) Нг(д), и равенство (15.34) невозможно. Полученное противоречие доказывает существование числа (ды такого, что а' < 1уг < 1.
Теперь нетрудно убедиться в справедливости оценки (15.21). В самом деле, из соотношений (15.9), (15.10), (15.24), (15.25) получим ((и*((с < т — (Н(д))~ Н1(д) — пс < 2 1(Н( ))з < Рг Н() (1 11)г Таким образом, оценка (15.21) имеет место, и лемма 5.3 доказана. Леммы 5.2 и 5.3 позволяют применить теорему Лера-Шаудера к оператору Ео. Для этого на множестве Ял,,у, рассмотрим однопараметрическое семейство преобразований Л' = тЕоЛ. Согласно лемме 5.2, каждое преобразование этого семейства является вполне непрерывным.
Кроме того, на основании леммы 5.3 на границе множества Ян, ш уравнение Л = уЕоЛ не имеет решений при 0 < г < 1. Следовательно, оператор Ео удовлетворяет всем условиям теоремы Лера-Шаудера и внутри Яи, д, имеет по крайней мере одну неподвижную точку. Теорема 5.1 доказана. Вопрос о единственности простого течения решает следуюшая теорема. Теорема 5.2. Может существовать лишь одно простое течение с заданнььии значениями д, а,1, Ул, Ъ'и.
240 Глава 5. Кавиткрующкй клин в продольном поле силы тяжести Доказательство. Предположим, что таких течений существует два. Согласно равенству (15.7), длины каверн у них совпадают. Будем называть одно из этих течений течением 1, другое — течением 11 1Рис. 86). 1 Н В В 11 Н Ряс. 86. К доказательству теоремы зд Из уравнения Бернулли имеем Ъг +2дк= Ря+2дяя, Ъгг+2дк= $д„+2дкя, где Рг и аы — скорости на границах каверн течений 1 и 11 соответственно, Следовательно, на границах каверн в точках с одинаковыми абсциссами я совпадают значения скоростей 1 г(я) и Ьы(я).
Будем смещать течение П вниз до тех пор, пока граница его не окажется целиком ниже границы течения 1, за исключением лишь некоторых общих точек. Пусть к* — одна из таких точек. Па основании теоремы Лаврентьева заключаем, что ры(я') рг(я') ) р2ао р1са где Р~, 'кт — соответственно скорости течений 1 и 11 на бесконечности. Отсюда Ъ'г ) рг Сместив течение 11 вверх, аналогично найдем, что р~ < кт Следовательно, течения 1 и 11 тождественно совпадают. С помощью теоремы 5.2 можно получить два следствия, которые будут использованы ниже при доказательстве теорем однолистности. Следствие 1.
Всякому простому течению соответствует некоторое решении и' Е С10,я), О < к' < 1 уравнения (Ы7). Рассмотрим любое простое течение и набор параметров д, о, 1, Ъя, Мв у него. Скорости кя и 1/н не равны нулю в силу свойства а). 241 116. Теоремы одполистности Кроме того, по теореме 5.1 у(1'л — 1'в) > 0 и — — <Ь'< — при зл<з<зв. 2 2 (15.35) В самом деле, согласно следствию 1 найдется такая пара и' Е С[0, я], 0 < lс' < 1, являющаяся решением уравнения (15.1), которой формулы (14.17), (14.5), (14.6) ставят в соответствие рассматриваемое течение.
Отсюда по лемме 5,1 вытекает неравенство (15.35). 316, Теоремы однолистности В 115 были получены необходимые и достаточные условия существования простых течений. Перейдем к изучению вопроса об их однолистности. Первоначально будем исследовать случай, когда ускорение силы тяжести у < 0 (всплывающий клин). Теорема 5.3. При д < 0 область простого течения всегда однолистна. Доказательство. Неоднолистной область течения становится в том случае, когда на свободной поверхности АВ существуют точки, лежащие ниже оси з. Рассмотрим любое простое течение при у < О. Согласно следствию 1 теоремы 5.2, найдется пара о' б С[О,я], 0 < lс' < 1, являющаяся решением уравнения (15,1), которой соответствует рассматриваемое течение.
Из второго неравенства в (15.23) и следствия 2 теоремы 5.4 вытекает, что — — < г3' = Ф(о,(г*) — Ро" < — при О< о < и, и' < О, Оператор 1Э положительно определенный, поэтому угол наклона вектора скорости Ь' на свободной поверхности АВ удовлетворяет и существует решение о' Е С[0, и], 0 < 5' < 1 системы (15.8). Из теоремы 5.2 следует, что этому решению как раз соответствует рассматриваемое течение.
Сл~хствие 2. Для простого течения угол Ь' наклона вектора скорости на свободной поверхности АВ удовлетворяет неравенствам 242 Глава 5. Кавптпруюший клин в продольном поле силы тяжести неравенствам я 0<Ь'< — при 0<о<я. Это означает, что на АВ не существует точек, лежащих ниже оси г, и область рассматриваемого течения однолистна. Итак, вопрос об однолистности при д < 0 разрешен. Рассмотрим теперь случай, когда д > 0 (тонущий клин). Как будет показано ниже, большое значение при исследовании этого случая играют течения, у которых величина ув = 0 ( ув — ордината точки В) и каверна замкнута. Поэтому прежде всего докажем теорему о существовании течений с замкнутой каверной.
Теорема 5.4. Существует простое течение с заданными значениями д>0, 0<о< —, 1>0 УвфО у которого ордината точки В равна нулю и каверна замкнута. Доказательство. Иэ формулы (14.5) с помощью теории вычетов найдем Фо я 1 — (я')з 2 Г ув = — — ехр(-Вон') се — — / и*айпи до ~'в к о где о', й" — решение уравнения (15,1), Вон — линейный функпдонал, определенный равенством (15.6), Отсюда следует, что для доказа- тельства теоремы достаточно показать, что система уравнений Е'[щ lе] М[щ к] 1 йз 2 Г а — — 1 пе4посео = 0 о (16.1) яиееет решение и' б С[0, э], 0 < )е' < 1. Доказательство разрешимости этой системы основано на двух леммах, которые позволяют построить такой оператор Е1Л (Л б В), что он будет удовлетворять всем условиям теоремы Лерэ-Шаудера, а его неподвижные точки будут решениями системы (16.1).
243 $16. Теоремы одиолнстмости Лемма 5.4. Если функция ы' й С[0, я] является решением уравнения Е'[ы, к] М[ы, к] ари некотором 0 < у< 1, 0< й' < 1, то ы' > О, ! 6с 1 1/2 1+ — ~ < ехр(я;Из~',~ < 1, Уз(к')1 Доказательство. Справедливость неравенства (16.2)':)й)йосрец ственно следует из соотношения Е'[ы", к" ] М[ы', к'] (16.4) ехр(ЗЛы') =1+, 1 з(пасозЬ'ош (16.5) Зс а Из неравенств (16.2) и (15.25) найдем, что ехр(-Яы') ) ехр — ы" йг (16.6) Оценив с помощью соотношения (16.6) функционал Мро', Зл] снизу, нз равенства (16.5) при а = О получим е ехр 3 ы*6а < 1+ — ехр ы'Оа уз(к") о о Умножив обе части уравнения (16.4) на ехр(ЗЛы') и проинте$2)ировав полученное соотношение от и до к, будем иметь 244 Глава 5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
